再谈递推数列a_n=c·a_(n-1)+d·b~n通项的求法

文[1]指出了形如an=c·an-1 d·bn(c≠0,c≠1,d≠0,b≠0)的递推关系式均可由an λbn=c·(an-1 λbn-1)构造等比数列处理.     

递推数列的通项

递推数列是数列中的一类非常重要的问题，一般地，可以通过给出数列的第一项（或前若干项），并给出数列的某一项（或前若干项）的关系式来表示数列，这种表示数列的方式叫做数列递推方式．     

常见递推数列通项公式的求法

递推数列求通项问题是高考与竞赛的热点问题,本文按照数列递推式的发展演化递进顺序,运用化归与转化的思想,简述了九类递推数列通项公式的求法.     

递推数列an＋1-p＋q／an的通项公式及其性质

文 [1]中给出并证明了以下命题 .命题　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且实数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ 满足ｘ1=ａ ｂｘｎ,ｘ2 =ａ ｂｘ1,…ｘｎ=ａ ｂｘｎ - 1.则当ｎ为奇数时 ,ａ1=ａ2 =… =ａｎ;当ｎ为偶数时 ,ａ1=ａ3 =… =ａｎ- 1,ａ2 =ａ4 =…=ａｎ.上述命题实际上给出了满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ 的数列 {ａｎ}的一个性质 .经研究 ,本文拟给出满足ａｎ 1=ｐ ｑａｎ的数列 {ａｎ}的通项公式 ,并以此为基础给出比文 [1]更为深刻的结论 .现在记 ｆ(ｋ) =Ｃ1ｋｂｋ- 1 Ｃ3 ｋ 1ｂｋ - 2 … Ｃ2ｋ- 3 2ｋ- 2 ｂ1 Ｃ2ｋ- 12ｋ- 1ｂ0 (ｋ≥ 1,ｋ∈…     

探究递推数列通项公式求法的实质

已知数列的递推公式,求其通项公式是数列中一类常见的题型,这类题型如果单纯地看某一个具体的题目,它的求解方法是灵活多变的,构造的技巧性也很强.很多课外辅导资料均总结归纳了常见的几种递推数列通项公式的求法,题型上一般可以分为:形如an+1=an+f(n)型数列(其中f(n)不是常值函数);an+1=an·f(n)型数列;an+1=pan+q型数列;an+1=pan+f(n)型数列(p为常数);an=Aan/Ban+C型数列(A,B,C为非零常数).在日常的教学过程中,强迫学生死记硬背,或许能够收到一定的成效,但是数学是以培养学生思维能力为首要任务的学科,所以,我们有必要对以上几种题型的实质进行分析讨论,让学生明白所以然.笔者认为,无论哪种题型,最终均需要利用到等差数列(结合累加原理)或者等比数列(结合累乘原理)定义解决问题.     

含根式的数列递推式的通项公式求法探讨

数列通项公式在各类数学竞赛中既是一个重点，又是一个难点．成为难点的一个原因，就是求通项公式的方法灵活多样，分析、推理、综合等能力较强．下面仅就含根式的数列递推式的通项公式求法给予探索和分析．     

转化法求递推数列通项公式

求递推公式数列通项公式问题,是近几年高考的热点.通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题求解,通过变换递推关系,将非等差、等比数列转化为与等差、等比有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.     

巧设辅助数列求几类数列的通项公式

对于一些稍微复杂的递推数列,求其通项公式时学生往往感到不知所措,无从下手．本文试图通过引人辅助数列,巧妙地使得一些复杂的数列转换为常见的等差、等比数列,或把递推关系进一步变得简单、明了,从而达到化难为易、化繁为筒的目的,这样就能够比较容易地求出其通项公式．     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式：（1）Sn=a^n＋b^n=（a＋b）Sn-1-abSn-2；（2）Sn=a^n＋b^n＋c^n=（n＋b＋c）Sn-1-（ab＋bc＋ca）Sn-2＋abcSn-3．     

常系数线性递推数列通项公式的矩阵求法

设数列为,若有正整数K和K＋1个实常数使对任意自然数n都成立,则称阶常系数线性递推数列,（l）式称为递推公式．彭咏松先生在文［l」中利用等比数列和线性方程组的一些知识,研究了常系数齐次（ho一O）线性递推数列的通项公式．本文利用矩阵理论讨论了一般的常系数线性速推数列通项公式．则（1）变为：将（2）式反复迭代,则有：当矩阵E－A可逆时,由于从而（3）式变为当时,,于是可见求数列（n｝通项公式的关键就是求矩阵A的n次方幂,利用矩阵理论可解决此问题．下面举例说明（X。）的通项公式的矩阵求法．例至已知X;一O,X。一1,…     

二阶线型递推数列通项公式的求法

求递推数列的通项公式，既是中学数学学习中的一个难点，又是近几年高考的一个热点，近三年新课程高考压轴题都是求这类数列通项公式的问题．文[1]介绍了一些常见递推数列通项公式的求法，本文就求二阶线型递推数列通项公式，介绍一种通用的方法．     

利用函数不动点求数列的通项公式

递推公式是给定数列的一种重要的方式,已知数列的前,n项和递推公式求数列通项公式的试题在数学高考和竞赛中也屡见不鲜.     

用特征方程求两类递推数列的通项公式

求递推数列的通项公式已成为中学数学教学中不可忽视的内容之一,其解题方法也各不相同．等差数列和等比数列是中学阶段重点学习的两个典型数列,我们已经知道了这两个数列的通项公式,求解数列问题时我们可以用这两个数列的通项公式去探求其它数列的通项公式．     

分式线性递推数列的通项

分式线性递推数列an＋1=aan＋b/can＋d就是一个很值得研究的典型题例，本文给出它的一个重要性质并由此得到其通项的一般求法．     

常见的非线性递推数列通项公式求法

我们经常遇到含有分式根式或二次式等非线性递推关系．如何根据这些非线性递推关系求数列的通项公式呢？     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

递推数列特征方程的来源探究及应用

递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法,递推数列问题能力要求高,内在联系密切,蕴含着不少精妙的数学思想和方法.而近几年高考对于递推数列的考查也比比皆是,文[1],文[2]详细探讨了几种递推数列的通项公式的求法,在解决二阶常系数线性递推数列及分式型递推数列时,提到了特征方程法.但是没有给出使用这种方法的依据.笔者在与同行的交流中,发现很多老师,也仅仅是作为一种方法技巧告诉学生,至于为什么这样做?特征方程如何来的?都没有给出明确的解释.问渠那得清如许,为有源头活水来,笔者经过翻阅资料,思考后终于使这一问题迎刃而解.