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用构造法证明不等式 总被引:3,自引:1,他引:2
证明不等式时 ,从研究题目的条件与结论入手 ,巧妙构造方程、函数、不等式、数列、图形等 ,可以使不等式获得简捷证明 ,下面从四个方面谈谈怎样用构造法证明不等式 .1 寻觅题设或结论的固有规律进行“构造”例 1 已知a>b>c.求证 1a-b+ 1b-c+1c-a >0 .简析 :寻觅题设条件a >b>c的固有规律 ,若令x1>x2 >0 ,则必有a=x1+c,b=x2 +c .用构造方程a =x1+c ,b=x2 +c(x1>x2 >0 )去证明 ,简洁明快 .证明 因为a>b>c可构造方程a =x1+c,b =x2 +c(x1>x2 >0 ) ,将它们分别代入特征式 ,得 1a-b + 1b-c + 1c-a =1(x1+c) - (x2 +c) + 1x2 +c-c +1c- (x1+c) =… 相似文献
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有关调和平均的问题分布于初中的几何与代数之中,是学生感到困难的一类问题。如在平面几何中证明三条线段a,b,c具有关系 1/a 1/b=2/c(1)就是令学生望而生畏的一个难点。如果我们在教学中不仅仅限于此类几何题的证法技巧 相似文献
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根据条件和结论的结构特征 ,利用各知识间的内在联系 ,有目的地构造一特定的数学模型 ,从而使问题得以解决的思想 ,即构造思想 .运用构造思想解题常可以独辟蹊径 ,出奇制胜 ,对学生创新意识的培养大有裨益 .1 构造函数证明不等式可以说 ,有数学的地方往往也就有函数 ,因此 ,可以用一次函数的线性性质、二次函数的最值 ,以及函数的单调性等性质 ,对不等式进行证明 .例 1 若 | a| <1 ,| b| <1 ,| c| <1 ,a,b,c为实数 ,求证 :ab bc ca >- 1 .分析 构造一次函数f( x) =( b c) x bc 1 ,则有 f ( 1 ) =( b c) bc 1=( 1 b) ( … 相似文献
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为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1 如图 1 .已知P是… 相似文献
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在不等式证明中 ,有一类问题 ,就是在题设中都给出了a +b +c =1这一条件 ,但是证明起来方法却不尽相同 .如何用好这个条件 ,是证明成功的关键 .学习过程中 ,如果能够将这样的一些问题进行适当的区别与归纳 ,就可以起到事半功倍的效果 ,思维能力也可以得到锻炼和提高 .以下就举一些这样的例子 .1 利用条件将 1代换成a +b +c这种方法是很容易想到的 ,但是在证明的过程中又往往容易忽视 .例 1 已知a ,b ,c∈R+且a +b +c =1,求证 :(1-a) (1-b) (1-c)≥ 8abc .分析 利用条件将 1代换成a +b +c后 ,很容易发现原不等式等价于 (a +b) (b +c) (c … 相似文献
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我们知道,如果四条线段a,b,c,d满足a/b=c/d(即ad=bc),那么这四条线段是成比例线段,简称比例线段,此时也称这四条线段成比例.在解题时,如能发现图形中的比例线段,或根据图 相似文献
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关于a~2/b~2=c/d型平几题的证法,根据结构,从代数观点分析、观察,可得如下方法。一、等比法:根据图形,寻找或构作线段x,使a/b=c/x=x/d,其中线段x应是a、b、c的第四比例项,又是c、d的比例中项,举例如下:(仅给出例题分析) 例1 已知A是等边△PQR的边RQ的延长线上一点,B是QR的延长线上一点, 相似文献
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在平面几何里,有一类问题是求证形如 1/a 1/b=1/c的等式,其中a、b、是已知图形中的线段。关于这类线段等式的证明思路,本刊85年第9期《也谈〈关于证明“1/a 1/b=t/c”型线段关系式〉》一文,发表了有启发性的意见,读后得益非浅。作为对该文的补充,本文谈谈这类线段等式的另外几种证明思路,供教学参考。 相似文献
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我们知道,对于实数a、b,必有a>b a-b>0.将这个关系稍加改动,即可得到应用价值较大的一种重要思想方法——松驰量方法,即对于实数a、b:a>b必定存在实数c∈R+,使a=b+c.在这里,实数c也可以叫做松驰量.它往往可以将刻画大小关系的不等式a>b等价地化归为等量关系a=b+c.用它可轻松地化解相当多的问题,教材中的“不等式”一章中的不少问题都可以利用这种思想方法加以解决.例1已知a>b>c,求证1a-b+1b-c+1c-a>0.(全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上),人教版P30第8题)证明由a>b>c,存在正实数α、β,使得a=b+,αb=c+β,于是,a-b=,αb-c=,βc-… 相似文献
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题目 已知a,b,c,d∈R,求证:ac+bd≤√a2+b2·√c2+d2.
本题从比较法、分析法或综合法入手,均可以进行证明.但在教学过程中,教师也可以通过引导学生从不同角度、不同层次进行观察,运用各种思维方式,充分调动学生已有的数学认知结构,构造出不同的数学形式,达到解决问题的目的.同时,在教学过程中,教给学生在解决问题时应对什么进行构造,构造成什么,怎么构造,实行数学构造思想在教学中的渗透,提高学生运用构造性方法解决问题的能力.笔者通过对本题的几种构造性解法,说明在教学中如何挖掘和渗透数学构造思想方法. 相似文献
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大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求… 相似文献