函数在一点处的限教学设计

本文探究了函数在一点处极限的教学设计.从实际案例出发,抽象出函数在一点处极限的数学表达形式.从数形结合角度,解释本节课的难点,即ε和δ的关系.通过给出函数在一点处极限的定义,探索和思考用定义进行计算的关键问题.最后,结合课程思政,将课程落脚到育人.     

知识形成过程教学个案——数列极限的ε-N定义

个案包括三部分 :教学目标的确立 ;教学过程实录 ;对个案的分析与评价 .1　教学目标的确立数列极限的ε-Ｎ定义是学生相当难掌握的内容 ,往往需要学生在相当长的学习时间内 (甚至要到学习微积分以后 )反复体会才能加深对此概念的理解 .因此 ,一开始让学生接触数列极限的ε-Ｎ定义时 ,应注重让学生体会数列极限概念的合理性 ,并为学生创立一个比较容易独立进行准确、深入思考的语境背景和图形背景 .2　教学过程2 1　数列极限的描述性定义设计思想　在生活中学生也会使用诸如“极限”、“无限接近”等词语 ,对这些词语生活化的使用有时会给准…     

函数极限定义中的三明治结构

本文展示了函数极限ε-δ定义中的三明治结构,其中参数ε对应三明治结构中的"面包厚度",δ对应"面包半径",此外还有两个位置参数.     

浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊

极限的概念是微积分学的基础，如何合理引入和定义这一概念对于《高等数学》的教学显得较为重要．对于一元函数的极限而言，通常可通过数列的极限问题引入直观的极限的概念，并抽象出数列极限的。“ε-N”语言，进而通过空心邻域的概念导出一元函数的极限的一般概念（ε-δ语言），     

浅谈采用聚点的概念定义多元函数极限的利弊

极限的概念是微积分学的基础，如何合理引入和定义这一概念对于《高等数学》的教学显得较为重要．对于一元函数的极限而言，通常可通过数列的极限问题引入直观的极限的概念，并抽象出数列极限的“ε－Ｎ”语言，进而通过空心邻域的概念导出一元函数的极限的一般概念（ε－...     

二元函数极限的求法

函数的极限是高等数学中非常重要的内容 ,关于一元函数的极限及其求法 ,各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的 ,两者之间既有联系又有区别。例如 ,在极限运算法则上 ,它们是一致的 ,但随着变量个数的增加 ,二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多 ,但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详细 ,使初学者感到不便掌握。为此 ,我们就有关问题讨论如下。一　二元函数的极限定义　设函数 f( x,y)在区域 D内有定义 ,P0 ( x0 ,y0 )是 D的内点 ,如果对于任意给定的正数ε,总存在正…     

极限、数学归纳法

本单元知识点及重要方法1)掌握数列极限的定义 ,会对指定的ε求Ｎ ;2 )掌握数列极限的四则运算法则以及使用这些法则的两个前提条件 ,并掌握数列极限的求法 ;3)当 |ｑ|<1时 ,会求无穷递缩等比数列各项的和 ,从而进一步理解在一般意义下的Ｓ =ｌｉｍｎ→∞ Ｓｎ;4 )理解数学归纳法的基本步骤的必要性 ,并能熟练应用数学归纳法解题 ;5)会利用“归纳—猜想—证明”以及“特殊———一般”的思想解决探索性问题 ;6)会化无限循环小数为分数 .练习选择题1　下列命题中 ,使ｌｉｍｎ→∞ａｎ=Ａ成立的一个充分条件是 (　　 )(Ａ)对于任意给定的正数…     

无须极限新微分法

本文摆脱传统的除法，以括代除，无须极限也能求出切线，作出定理Ａ。由此微积分完全改观。这是依靠实数有序“无漏”，建立强无穷小ω（Δｘ），取代ε—δ，实质又相互等价，作出定理Ｂ。由ω（Δｘ）定义无穷小与连续，由连续再作极限更为自然。聚点是极限的初步，大可发挥。     

B(m→m)中的等距逼近问题

本文利用B(m→m)的算子表(?)定(?)中元的性质,解决了B(m中的“等距与几乎等距算子的关系(?)问题,(?)得到如下结果:设0≤ε<1/3,,则对B(m→m)中任意“ε—等距算子”(?) T,必存在B(m→m)中的等距算子U,使‖T-U‖(?)4ε。 定义Ⅰ 记号m表示(复)有界数列空间,记号同_0表示N上复值“简单函数”空间,(?)     

用定义验证多项式函数的极限

用ε-δ语言证明函数的极限,关键在于对任意给定的正数ε,如何找出相应的正数δ,多项式函数极限的证明也是如此。本文采用配方的方法找出了这样的δ,从而使多项式函数极限的证明问题得到规范化、公式化的解决。     

极限的ε—δ语言超前训练的体会

<正> 极限概念是高等数学中最基本和最重要的概念,高等数学中的其它基本概念几乎都是用极限来定义的。因此,学生能否很好的理解极限概念是他们能否学好高等数学的关键性问题之一。在教学中,对于极限概念是遵循实例抽象一直观描述——精确定义——几何解释这一程序进行讲授的。一般说来,学生的思想在教学的前两个步骤上是能够与教师的讲解相合拍的。教师若以“一尺之杆,日取其半,万世不竭。”这一无限变小的实际过程作实例抽象概括出数列{1/2~n}的极限概念,并给变化过程以直观的描述,学生可以根据自己的体验来想像和理解。但是当用ε—N语言来阐述这一无限变小的过     

从定义出发确定数列极限的若干方法

使学生真正掌握ε-N语言,把握住极限定义的实质,灵活地从定义出发去解决有关数列的问题,以利于他们的后续学习,是一项重要而艰巨的任务。本文讨论了从定义出发确定数列极限的一些主要思想方法,并进行了一定的反思。希望通过问题的讨论,有助于上述任务的完成。一运用放大法。根据定义证明极根我们知道,ε-N定义中所要求的N并非唯一存在。对于数列{a_n},保证limn_n/(n→∞)n=A的关键在于当n>N时,不管ε是给定的多么小的正数,|a_n-A|<ε成立。现若n>N_O时,有|a_n-A|<ε,那么N_O+1,N_O+2,……中任一项都可作N。因为它们     

关于统一函数极限定义的建议

<正> (一)函数极限的两种定义一元函数、二元函数及n元函数的极限     

用定义证明极限对x限制时应注意的问题

按极限的“ε－δ”或“ε－M”定义来证明timf（x）=A或limf（x）=A，关键是要证明定义中的δ或M的存在。即对具体的f（X），就是要找出相应的δ或M来。而寻找δ或M最基本的方法就是求解不等式：|f（x）-A|＜ε。一般常采用“适当放大”的方法，将|f（X）-A|适当放大为（X），即有|f（X）-A|＜（X），由（X）＜ε。比较容易求解出|X—X0|或|x|，从而求出相应的δ或M。但是在将|f（X）-A|放大的过程中，为了得到适当（X），（适当体现在（X）＜ε。易求出），往往需要对自变量X做一些限制。要特别注意：这样的限制必须适当，有意…     

浅谈中学极限论教学的要求

极限概念是微积分中最基本、最重要的概念。我建议,课时可放宽到十二节到十四节,内容要进一步充实,在教学要求上,要适当提高。为了建立坚实的基础,通过极限论的教学,必须达到三个目的: 第一、通过对实例的观察、ε—N证法,使学生初步形成比较完整的极限概念。第二、能比较熟练地运用极限运算法则,极限存在判定定理和两个重要极限求有关数列、函数的极限。第三、初步学会用极限的方法解决某些实际问题。一、关于ε-N证法     

有序变量及其极限

数学分析这门课程,自始到终贯穿着极限的观念,如数列的极限、函数的极限、积分和的极限等等。各种教材在建立这些类型的极限理论时采用的方式有所不问,如有些教材光利用“过程”、“时刻”等概念对所有类型的过程作统一的叙述,不太严格地建立起一般的极限理论,而后对不同类型的过程分别给出不同的定义,并直接运用已经建立起来的极限理论;也有些     

对极限概念的剖析

从极限的定义出发,重点从正反两个不同的侧面对极限定义进行分析,并以几何直观进行讨论.对极限的定义进行深层拓展,介绍n维欧氏空间中函数极限的概念,距离空间中点列极限的概念,极限定义的D-语言,向量值函数的极限.     

对“关于微分方程的解的唯一性问题的一点注记”一文的意见

数学进展第六卷(1963)第三期刊有沈信耀著“关于微分方程的解的唯一性问题的一点注记”一文。现在提出两点改进意见: (1)文[1]中269页式(4)的下一行,如果换成那么原证仍然成立。这样一来,O类函数的定义,可以由“可微正值函数y=y_n,ε(x)是方程y′=F(x,y)的解”减弱为“可微正值函数y=y_n,ε(x)满足     

“极限定义及函数局部性质”教学的一种处理方法

对"极限定义与函数局部性质"的课堂教学提供了一种简洁形象的处理方法.用对话的方式很自然地引出数列极限的定义;采用"过程"、"时刻"、"时刻以后"等说法,不仅在形式上给出了函数在各个过程中极限的统一定义,还给出了函数各种局部性质的统一叙述方式.     

利用夹逼准则求数列的极限

判定数列极限存在可用下面的准则: 如果 1~0数列b_n≤a_n≤c_n(n∈N) 2~0.(?)=A、(?)=A.则数列a_n存在极限,且 (?)a_n=A 证明:∵b_n→A、以C_n→A。根据数列极限的定义,对于预先指定的无论多么小的正数ε,必存在N。当n>N时,不等式 |b_n-A|<ε、|c_n-A|<ε恒成立,而b_n≤a_n≤c_n,显然当n>N时,也有