拟常曲率黎曼流形在常曲率空间中的等距嵌入

本文定义凡Riemann曲率张量满足(a,b,v_1,…,v_n:任意已知函数)的黎曼流形Q~n(a,b)(n≥4,流形的二次基本形式可以是不正定的)是拟常曲率的。对这种流形证明了它在常曲率空间S~(n 1)(K)(基本形式不限于正定)中等距嵌入的若干性质,如 1. 任何黎曼流形M~n(n≥4)如可等距嵌入于S~(n 1)(K_0)和S~(n 1)(K_1)(K_0≠K_1),则M~n是一个Q~n(a,b)。 2. 对任何常数K_0≠a存在S~(n 1)(K_0)使Q~n(a,b)可等距嵌入于S~(n 1)(K_0)中。 3. 任何黎曼流形M~n(n≥4)最多只能极小嵌入于一个S~(n 1)(K)中。     

常曲率黎曼流形的共形平坦的极小超曲面(英文)

本文研究常曲率黎曼流形 S~(n+1)(c)中的共形平坦的极小超曲面 M~h,证明了下面结果.定理 设 M~h 是 n+1维常曲率黎曼流形 S~(n+1)(c)的共形平坦超曲面(n≥4),则 M~n是常数量曲率的极小超曲面的充要条件是:(1)M~n 的数量曲率 R=(n-1)c 时,M~n 是全测地超曲面,从而也有常曲率 c;(2)M~n 的数量曲率 R≠n(n-1)c 时,c>0和 M~n 局部可约为常曲率黎曼流形S~(n-1)(n/(n-1) c)与直线 R′的乘积.系,设 M~n 是具有非正常曲率 c 的黎曼流形 S~(n+1)(c)的共形平坦超曲面(n≥4),如果M~n 是常数量曲率的极小超曲面,则 M~n 是全测地超曲面。     

常曲率空间中平均曲率为常数的迷向子流形

设M~n是n维黎曼流形,S~(n+p)(e)是n+p维截面曲率为常数c的黎曼流形,设fM~n→S~(n+p)(c)是等距浸入,我们分别用和表示f(M~n)和S~(n+p)(c)的协变微分,那么浸入f的第二基本形式A为 A(X,Y)=x~Y-x~Y     

常曲率黎曼流形中的一类超曲面

设M~n是n+1维常由率黎曼流形S~(n+1)中的超曲面,其二个主曲率的重数L_1,L_2(L_1+L_2=n)保持为常数。本文证得:1.若L_1,L_2≥2则局部地至少有一个主曲率为常数。2.若L_1,L_2≥2,且M~n是常平均由率的单连通完备超曲面,则M~n=S~(L_1)×S~(L_2)。3.若L_1=1,L_2=n-1且M~n为常数量曲率和常平均曲率的单连通完备超曲面,则M~n=S~1×S~(n-1)。4.若M~n为单连通完备的S-流形,则 M~n=S~(L_1)×S~(L_2)。     

常曲率黎曼流形的极小子流形

本文目的在于建立下述定理:常曲率 a 的黎曼流形 V~(n p)中的紧致无边极小子流形M~n 常满足∫_(Mn){p∑R_(ijkl)~2 2p∑R_(ij)~2-R~2 n(3p-2n 2)aR}*1≥n~2(n-1)(n-p-1)a~2Vol(M~n),其中∑R_(ijkl)~2是M~n 的黎曼曲率张量的模长平方,∑R_(ij)~2是 M~n 的李齐(Ricci)曲率张量的模长平方,R 是 M~n 的数量曲率.上述积分不等式是 M~n 的内在性质.     

空间形式中紧致超曲面的刚性

设(M~n,g)是一个黎曼流形,f:M~n→Q~(n+1)(c)是一个等距浸入,其中Q~(n+1)(c)是n+1维的空间形式.如果对于任一个等距浸入f:M~n→Q~(n+1)(c),都存在等距变换φ:Q~(n+1)(c)→Q~(n+1)(c),使得φ·f=f,则称f(M~n)具有刚性.本文证明:如果超曲面是紧致的,(1)当c≤0时,如果紧致超曲面的维数大于或等于3,则紧致超曲面具有刚性;(2)当c0时,如果紧致超曲面的维数大于或等于5,则空间形式中紧致超曲面具有刚性;这推广了经典的Cohn-Vossen定理.     

正曲率空间形式中超曲面的全脐性与高阶平均曲率

本文研究正曲率空间形式S~(n+1)(c)(c0)中紧致的闭的等距浸入超曲面M~n的全脐性质和高阶平均曲率,所得结果改进和推广了这方面最近有关定理.     

常曲率流形中具平行李奇曲率的超曲面

设f:M~n→M~(n+1)(c)为具平行李奇曲率的黎曼流形到常曲率流形的等距浸入,本文给出了该超曲面的分类。另外,若M~n还是极小超曲面,本文也给出了该超曲面的分类,推广了Lawson的有关结果。     

Local Isometric Imbedding of Riemannian Manifolds M^n into a Space of Constant Curvature S^{n+1}

本文求得黎曼流形M^n能够作为常曲律空间超曲面的内蕴充要条件，并举出这些条件的若干应用。设常曲率空间S^n+1的线素是$ds^2=eg\alpha\betady^\alphady^\beta(e=\pm1)$,即$g_\alpha\betady^\alphady^\beta$不一定是正定的，n+1维的S^n+1曲率是K_0，记为S^n+1（K_0)。M^n是n维的黎曼流形，g_ij是M^n等距嵌入于S^n+1中所诱导的黎曼尺度，R_ijkl是M^n的黎曼曲率张量，记 $T_ijkl \equiv R_ijkl-K_0(g_ikg_il-g_ilg_jk)$ $P_jlim \equiv T_jlT_im-T_ipT_jlm^p+T_plT_mij^p+T_jlq^pT_ipm^q-1/2T_klm^qT_qij^k$ 式内 $T_li=g^imT_jlim,T_jlm^p=g^pkT_kjlm,T=g^liTu$ 经过冗长的计算可以证明如下诸定理。     

关于拟常曲率流形中子流形的不等式

拟常曲率黎曼流形V~(n+p)可由下面的黎曼曲率张量的形式来定义 本文的主要结果如下: 设M~n是V~(n+p)的子流形,且M~n的数量曲率R满足其中q≥n-2,是M~n的第二基本形式的模,则M~n的截面曲率不小于c,即K_M≥c. 特别地当V~(n+p)是常曲率流形时(即b=0),且如取q=n-2,则所得不等式已为B.Y.Chen和M.Okumura所证明。     

关于伪脐子流形的一个整体定理

设 M~n 是截面曲率为 c 的(n+p)维黎曼空间 M~(n+p)(c)中 n 维子流形。如在 M~n 上存在函数λ使得:〈h(x,y),H〉=λ〈x,y〉成立,其中λ=H~2,则称 M~n是 M~(n+p)(c)的伪脐子流形。本文得到常曲率空间中紧致伪脐子流形的一个整体定理(定理2.1)。     

常曲率空间中具正Ricci曲率的子流形

设S~(n+p)(1)是一单位球面,M~n是浸入S~(n+p)(1)的具有非零平行平均曲率向量的n维紧致子流形.证明了当n≥4,p≥2时,如果M~n的Ricci曲率不小于(n-2)(1+H~2),则M~n是全脐的或者M~n的Ricci曲率等于(n-2)(1+H~2),进而M~n的几何分类被完全给出.     

在共形变换下断面曲率的不变性

引言本文用李导数的概念讨论 n 维黎曼空间 M~n 中断面曲率在共形变换下的不变性,我们得到了下面四个定理定理1 在 n(>3)维黎曼空间 M~n 中,单参数共形变换群{Φ_t}所产生的无穷小变换是(局部)等曲的的充要条件是(局部地)为共形平坦空间并满足方程(?)_ξK_μ~k=0或     

具有正Ricci曲率和体积Pinching流形的一个球定理

M~n是一个紧致无边单连通的n(≥3)维Riemannian流形,S~n为R~(n+1)中的单位球面.本文所关注的流形满足截面曲率K_M≤1,而Ricci曲率Ric(M)≥(n+2)/4以及体积V(M)≤3/2(1+η)V(S~(2n)),这里η是一个仅和维数n有关的常数.最终将给出一个具有正的Ricci曲率的球定理新证明.     

球面S~(n+1)(1)中的紧致2-调和超曲面

本文得到了S~(n+1)(1)中2-调和超曲面的一些结果.首先,我们将J.Simons的Pinching定理推广到2-调和超曲面上.当n=2,3时,我们还给出了它们的分类;其次,我们证明了S~3(1)中常平均曲率曲面的Pinching定理并得到了它们的分类;最后,我们给出了S~(n+1)(1)(n≤10)中具有非负截曲率的2-调和超曲面的分类;     

正拼挤流形的F-调和映射

设M~n(n≥3)是R~(n+1)中紧致凸超曲面,本文证明了:若F″≤0且M的n个主曲率λ_i满足0<λ_i<1/2∑_(j=1)~nλ_j,则M~n和任何紧致黎曼流形之间的稳定F-调和映射必为常值映射.     

关于Laplace—Beltrami算子的一个积分等式

1 设M是C~(r)(r>2)级的n维黎曼流形。对于任一点P∈M,存在包含P的坐标邻域(U,φ),使映射 _φ:U→R~n 是可微同胚。设(y~1,…,y~n)是U上局部坐标,a_(αβ)dy~αdy~β是局部坐标系下M的黎曼度     

局部对称Bochner-Kaehler流形的全实子流形(英文)

设(?)~n 为复 n 维局部对称 Bochner-Kaehler 流形,即其 Bochner 曲率张量恒消失,且又是局部 Cartan 对称的。显然,复空间型是局部对称 Bochner-Kaehler 流形.设 M~n 是(?)~n的 n 维全实子流形,Houh,C.S.,证明了:若 M~n 是紧致极小子流形,且其第二基本形式的长度平方‖σ‖~2<(n(n+1))/(4(2n-1))(?),((?)的定义见(32)),则 M~n 是全测地的,当(?)~n 为复射影空间 cp~n 且其常数全纯截面曲率等于4时,上述不等式成为‖σ‖<(n+n)/(2-(1/n)),且该结论为 Chen 和 Ogiue 得到,Ludden,Okumura 和 Yano 证明了若‖σ‖~2=(n+1)/(2-(1/n)),则 n=2且 M~n 是平坦的,M=S~1×S~1.新近,沈一兵以更一般的条件替代极小条件证明了类似结论,本文讨论局部对称 Bochner-Kaehler 流形(?)~n 中 n 维全实子流形,证得定理 设 M~n 是局部对称 Bochner-Kaehler 流形(?)~n 的 N(>1)维紧致定向无边的全实子流形,且非全测地.如果在 M~n 上成立 integral from M~n{sum from m~*(trH_(m*))(?)(trH_(m*))-W}(?)1≥0,其中 W 由(44)式给定,则 n=2,M~2极小浸入在(?)~2中,且对于适当的对偶标架场ω_1,ω_2,ω_3,ω_4,(?)~2的联络矩阵在 M~2上的限制为(?)其中函数(?)由(32)式定义。特别,当 M~n 为 cp~n 且其常数全纯截面曲率为4时,(?)=4,我们就     

S^n上具有极小高斯象的子流形

本文证明对于标准球面 S~(n+p)中的子流形 M~n 当 n=n 或 p=1时,其高斯象是Grassmanniam G(n+1,p)中的极小流形当且仅当 tr_Gh=0,即曲面的二次基本形式关于Grassmanniam 子流形度量之迹为零。     

关于平均曲率为常数的迷向子流形

设S~(n+p)((?))是具常数截面曲率的n+p维完备单连通的Riemann流形,f:M→S~(n+p)((?))是n维连通Riemann流形M到S~(n+p)((?))的等距浸入。若在f(M)的每点,沿任何切方向的法曲率向量都有相等长度,则f(M)称为迷向子流形,本文证明如下的结果: 设M是n维紧致连通的Riemann流形,f:M→S~(n+p)((?))是迷向浸入,使得f(M)具常数平均曲率H。若M的截面曲率处处不小于1/2(H~2+(?)),则f(M)是全脐点的。