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根据Cauchy微分中值定理表达式的结构引入辅助函数 F(x ,c)= f (x)- f (c)g(x)- g(c)(a< c< b),通过讨论其可导性,得到相关的几个不等式,由此得出Cauchy微分中值定理存在唯一“中值点”的一个条件,并给出其逆定理的一个较弱表述。 相似文献
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在学习积分中值定理这一节时 ,常有学生把它与微分中值定理进行比较 ,提出为什么微分中值定理中的“中值”ξ∈ ( a,b) (开区间 ) ,而积分中值定理中的“中值”ξ∈ [a,b](闭区间 ) ?能不能把积分中值定理中的闭区间改为开区间 ?以及ξ是否唯一等。本文就以上问题 ,以及微分中值定理与积分(第一 )中值定理的关系 ,积分中值定理的应用等进行讨论。为简单起见 ,我们就积分第一中值定理的特殊情形进行讨论。[积分第一中值定理 ] 若函数 f ( x)为 [a,b]上的连续函数 ,则存在ξ∈ [a,b],使∫baf ( x) dx =f (ξ) ( b -a) 现行通用的教科书 (… 相似文献
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证明“ ζ∈ ( a,b)使 f (ζ) =0”是微分中值定理应用中的重要题型 ,常常可以用 Rolle定理来证明 ,即将问题转化为求 f( x)的原函数 F( x) ,对 F( x)利用 Rolle定理来证明 F′( x) (即 f( x) )在 ( a,b)内存在零点。所以 ,寻找原函数 F( x)是利用这一方法解决问题的关键。对于命题“ ζ∈ ( a,b)使f′( ζ) =0 (或 f″( ζ) =0 )”的证明也常常采用上面的方法。这一方法是学生普遍感到困难的地方 ,是教学的难点。本文针对这一问题进行了探讨 ,总结了原函数 F( x)的四种求法 ,并举例说明了在利用Rolle定理证明上述这类命题时的应用。 … 相似文献
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积分不等式是微积分学中一类常见而又重要的不等式,其证明方法多种多样.分别用定积分的定义、积分变限函数、积分第一、第二中值定理、微分中值定理等九种方法证明积分不等式∫0^1xf(x)dx≥1/2∫0^1f(x)dx(其中f(x)在[0,1]上连续而且单调递增),借此介绍证明积分不等式的几种常用的方法. 相似文献
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胡长松 《数学物理学报(A辑)》2003,23(1):46-51
建立Banach空间上次微分的逼搂中值定理,关键是对连续凸函数g,f的次微分δf必须满足δ(f λg)(x)包含于δf(x) λδg(x)。该文在Lp上对Holder次微分来证明上述性质,由此建立Holder次微分下的逼搂中值定理。 相似文献
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1一道试题上海交通大学1979年招收研究生的数学试题中有如下一道试题[1]试证明:若f(x)、g(x)都是可微函数,且当x≥a时,则当x≥a时,2一个证法的简化因(1)式等价于故为证右半不等式,可令(x)=g(x)-f(x),则由拉格朗日中值定理知其次,令,则同理可证这便是书[1]、[3]所给的证法.其实,由即知是增函数,所以,即,何须运用拉格朗目中值定理!3柯西中值定理的优越性是增函数,故(1)式又等价于时,则由柯西中值定理得这就避免了上一证法分两种情形的麻烦.然而,题没只能推出,还无法肯定这便是本题运用柯西中值定理的难处.4… 相似文献
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本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理 若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) … 相似文献
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利用一个基本事实,即令F(x)= f (x)eg(x),则F′(x)= eg(x)[ f′(x)+ f (x)g′(x)],结合具体的实例,说明在一类涉及导数的数学问题中此种构造辅助函数法的应用。 相似文献
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将C auchy中值定理的条件进行适当减弱,得到了广义C auchy中值定理,从而推广了C auchy中值定理,并在凸函数的条件下,证明了其逆定理亦成立. 相似文献
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考虑共振情形下三阶微分方程m-点边值问题x'''(t)=f(t,x(t),x'(t),x"(t))+p(t),t∈(0,1), x(0)=0,x"(0)=0,x'(0)=0,x'(1)=∑i=1^m-2 aix'(ξi),其中ai≥0,0〈ξ1〈ξ2〈…〈ξm-2〈1且∑i=1^m-2 ai=1.利用Mawhin重合度拓展定理,得到该问题解存在性的新的结果. 相似文献
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积分中值定理中间点比较及有关平均不等式 总被引:1,自引:0,他引:1
杨镇杭 《数学的实践与认识》2005,35(5):194-201
中值定理中间点是区间端点的平均.设f (x)、g(x)在同一区间[a,b]内严格单调并可积,p(x)、q(x)恒正可积,按积分中值定理各有唯一的中间点ξf ,p(a,b)和ξg,q(a,b) .当f递增(减)且f (g- 1)凸(凹)时,有ξg,p(a,b) <ξf,p(a,b) ;当p(x)q(x) 递增(减)且q(x) ∫bap(x) dx >( <) 0时,有ξf,q(a,b) <ξf ,p(a,b) .由此可证明和发现一系列有关平均的不等式. 相似文献
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罗尔定理证明一类存在性问题 总被引:1,自引:0,他引:1
提出罗尔定理证明一类存在性问题的方法,采用拉格朗日中值定理或柯西中值定理来证明这类问题往往需要构造精巧的辅助函数,我们还指出了这种方法的一般性. 相似文献
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对一类不满足g(n)≠0的函数g讨论了第一积分中值定理中ξ=ξ(x)在x→+∞时的渐近性质,并对第二积分中值定理的中值ξ=ξ(x)的渐近性进行了探讨,给出一些相关的结果. 相似文献
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对积分学第一中值定理的中间点当区间长度趋于零时的渐近性研究.新得到的结果不仅包含了过去若干已有结果,而且对涉及函数f(x),g(x)要求的条件几乎就是中值定理的,一个为连续,一个为可积不变号. 相似文献
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积分第一中值定理的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
李衍禧 《数学的实践与认识》2007,37(9):203-206
将积分第一中值定理中的连续性条件减弱为有介值性,建立了具有介值性质的可积函数的积分第一中值定理的推广形式. 相似文献
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应用分离变量法,得到了一类一阶微分方程初值问题u′(t)=b(t)f(u(t)),t0,u(0)=0存在无穷多个解的充分必要条件.并给出了全部解. 相似文献