一道中考题目的推广

<正>2017年山东省临沂市中考数学第23题如图1,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB.(2)略.从图1,我们可以看出,点E是∠BAC与∠ABC的平分线的交点,所以点E为△ABC的内切圆的圆心,△ABC又有外接圆.本题是有关三角形外接圆和内切圆的一个特殊问题.它是一个定理型问题.本文给出它的严密的证明,并且分裂角平分线为等角线,并推广这个结论.     

三角形涉及面积的一个关系式及其应用

本文给出三角形涉及面积的一个有趣关系式,并举例说明它的应用.1结论定理如图1、2,在△ABC中,D,E,F分别是边AB,AC,BC(或其延长线)上的一点,且DE∥BC,EF∥AB,记△ADE,△BFD,△CEF的面     

两个三角形有相等外接圆的定理及其应用

众所周知,好些在同圆中具有的性质在等圆中也具有,由此使我们想到寻找两个三角形有相等外接圆定理。对此有: 定理:两个三角形如果有一条边对应相等,并且对应相等的边所对的角也相等(或互补),则这两个三角形的外接圆相等。其证明,显然由正弦定理立即可以得出。适然也可分两种情况(相等、互补)依平几知识证得(证明略)。应用这个定理,我们可以解决平几中某些较费解的问题。例1.已知:在ABC中AD、BE、CF是高,H是三条高的交点。求证:△ABC、△ABH、△BCH、△CAH的外接圆相等。证明:△ABC、△ABH     

Steiner定理的拓广

Steiner定理是一个著名的几何题,它的证明更是给广大数学爱好者予启发和想象.本文给出Steiner定理的拓广,供大家参考.Steiner定理在△ABC中,∠B和∠C的平分线BD与CE相等,则AB=AC.拓广定理(如图1)在△ABC中,设BD、CE分别为∠ABC和∠ACB的n≥2等分角线中的任意两条相应的分角线段     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

三角形角格点的一个判定定理及应用

如果三角形内角都是 1 0°的整数倍 ,其内某点同三顶点连线得到的所有的角 ,也都是1 0°的整数倍 ,则该点称为三角形内的角格点 .文 [1 ]给出了三角形内角格点的定义 ,并提出了三角形内角格点的 45个猜想 ,本文给出三角形内角格点的一个判定定理 ,应用它可非常容易地求得任意一个三角形的所有角格点 .定理　设△ ABC的三内角都是 1 0°的整数倍 ,P为△ ABC内一点 ,∠ PAB =α,∠ PBC=β,∠ PCA=γ　 (α≤β≤γ) ,α′,β′,γ′　 (α′≤β′≤γ′)是角 A -α,B -β,C-γ的一个排列 ,则 P为△ ABC内角格点的充要条件为角α、…     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

勃罗卡角的计算公式

已知△ABC中,P是其内部一点,如果角∠PAB=∠PBC=∠PCA=α,则称α为勃图1　罗卡角.点P称　为勃罗卡点(见图1).一般地,对于任意的三角形都有两个勃罗卡角与两个勃罗卡点,(见图2).当△ABC为正三角形时,两个勃罗卡点重合,此图2时α=β.由于P点是△ABC内部的一个特殊点,因此在△ABC确定之后,勃罗卡角与△ABC三个角A、B、C应有一种确定关系.文[1]讨论了勃罗卡点到△ABC三顶点距离之和与△ABC三边a、b、c的关系.本文就勃罗卡角与A、B、C三角之间关系作一讨论.定理　已知P是△ABC的一个勃罗卡点,相应的勃罗卡角是∠PAB=∠PBC=∠…     

介绍两个“类正弦定理”

设△ABC的外接圆半径为R,则有这是众所周知的正弦定理. 有两个在形式上与正弦定理的结论类似的定理,即所谓“类正弦定理”,叙述如下: 定理1 设△ABC是一个锐角三角形,AD,BE,CF是它的三条高线,H是三条高线的交点(垂心),则有     

一个欧拉定理的推广及应用

定理1(欧拉定理) △ABC所在平面上的任意一点P在三边AB、BC、CA上的射影分别为C1,A1,B1,若△ABC及△A1B1C1的面积分别为△及△1,△ABC的外接圆半径为R,P点到△ABC外心O的距离为d,则△1=(△)/(4)|1-((d)/(R))2|.下面我们将给出它的推广,并展示其有益的应用.     

“三角形中的定理在四面体中的类比”一文的补充

文 [1]介绍了三角形中一些重要定理在四面体中的类比 .读后深受启发 ,但文 [1]还缺一些三角形性质的类比 ,作为该文的补充 ,笔者也介绍 3条类比性质 .1　中位线定理三角形的中位线平行于第三边 ,并且等于第三边的一半 .定理 1′　在四面体S ABC中 ,D ,E ,F分别是SA ,SB ,SC的中点 ,则平面DEF∥平面ABC ,并且△DEF的周长等于△ABC周长的一半 ,△DEF的面积等于△ABC面积的四分之一 .2　射影定理直角三角形一直角边的平方 ,等于它在斜边上的射影与斜边的乘积 .定理 2′　如图 1,在四面体S ABC中 ,SA ,SB ,SC两两垂直 ,S在平面…     

三角形费尔巴哈定理的解析证明

费尔巴哈定理　△ ABC的九点圆与它的内切圆及三个旁切圆都相切 [1 ] .本文介绍这个定理的一种解析几何证法 .　　　　　证明　在图 1所示的平面直角坐标系中 ,应用△ ABC三顶点坐标及其六心坐标定理 [2 ]有 :图 1A(y - zy zxr,2 xyzy zr) ,内心 I(0 ,r) ,三个旁心　 IA((z-     

关于三角形旁切圆半径一个公式的简证

文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足　　 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理　△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足　　 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明　设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则　　　　　 r′=△s- a,∴　 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h…     

关于三角形旁切圆半径的一个有趣性质

文[1]曾老师给出了三角形中关于角平分线的一个优美不等式,即定理1 a,b,c是△ABC的三边,wa,wb,wc为△ABC的角平分线,那么有1/(wa4)+1/(wb4)+1/(wc4)≥1/(a4+b4+c4) (1)文[2]安老师把不等式(1)加强为定理2 a,b,c是△ABC的三边,ma,mb,mc为△ABC的中线,那么有1/(ma4)+1/(mb4)+1/(mc4)≥16/(a4+b4+c4) (2)经笔者探究发现三角形旁切圆半径也有以上有趣性质.     

一个有趣平几公式的对偶式

文 [1 ]给出定理 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的内切圆半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足r =r1 r2 - 2 r1r2h .本文给出它的一个对偶形式 :定理　已知△ ABC中 BC边上的高为h,N为 BC边内一点 ,△ ABN与△ ANC的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径分别为 r1、r2 ,则△ ABC的旁切圆 (在∠ BAC内的 )半径 r满足　　　 r =r1 r2 2 r1r2h 1显然 ,1式等价于　　 2 rh =2 ( r1 r2 )h 4r1r2h 2为证明 2式 ,我们先给出如下一个引理 :引理　在△ ABC中 ,BC边上的高为 h,对应于 A点…     

四面体内心与旁心的一个有趣性质

文 [1 ]给出了三角形内心与旁心的一个充要条件 .文 [2 ]与文 [3]将其作了改进 ,文 [3]的结论简洁而明快 .即定理　设a ,b ,c为△ABC的三边 ,则点P为△ABC的内心的充要条件是aPA→ +bPB→ +cPC→ =0 .本文将此性质推广到四面体 .约定 :△表示三角形面积 ,△1 ,△2 ,△3,△4 依次表示四面体ABCD四个顶点A ,B ,C ,D所对的三角形面积 .定理 1　点P为四面体ABCD内心 (内切球球心 )的充要条件是△1 PA→ +△2 PB→ +△3PC→ +△4PD→ =0 .图 1　定理 1图证　如图 1 ,设I为四面体ABCD的内心 .延长AI交面BCD于E .设I,E到面ABC…     

四边形的一个性质

题目设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=(1)/(4)S△ABC. 将其推广到四边形有: 定理在四边形ABCD中,G1、G2、G3、G4,分别为△BCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则(如图1,2)     

一个角何时不小于它的射影角

定义　设∠ BAC的两边分别与平面α相交于 B、C,AO⊥α于 O,我们把∠ BOC叫做∠ BAC在平面α上的射影角 (图 1 ) .对上述两个角 ,不少人误认为总是射影角大 ,为更正这一错误 ,我们借助圆将空间问题平面化 ,简捷地给出一个角何时不小于它的射影角 .定理　在∠ ABC为钝角的△ ABC中 ,BC 平面α,AO⊥α于 O,以直线 BC为轴 ,依不超过 90°的旋转角将△ ABC及其外接圆旋转到平面α内 ,点 A到达 A′位置 ,则有 :( 1 )当点 O在圆上时 ,∠ BAC=∠ BOC;( 2 )当点O在圆外时 ,∠ BAC >∠ BOC.证明　设 AH⊥ BC于 H ,由∠ B为钝角…     

等腰三角形的一个有趣性质

<正>笔者在利用几何画板绘制几何图形时,发现等腰三角形一个有趣的性质:在△ABC中,AB=AC,∠BAC≠60°,AD是△ABC的角平分线,点E在直线AC上,且∠DEC=30°,线段DE的垂直平分线交直线AB于点F,则∠ADF等于30°或150°.显然,点E的位置与△ABC的形状有关.分两种情况:一、当∠BAC<60°时,有两种情况.1.当点E在线段AC上时,如图1所示.