从初中数学教材的一幅画中品味数学——浅说埃舍尔的“数学”艺术

“数学”艺术家M．C埃舍尔（M．C．Esther）是荷兰的一位版画大师，他的作品以具有浓厚的数学韵味而闻名于世，其中的部分作品更是以其美的外表、丰富的内涵频频出现在一些数学及自然科学的著作中．华东师大版八年级数学教材的这幅画（图1）就是其中之一．这幅画是埃舍尔的《圆极限》系列中的第三幅作品，即《圆极限Ⅲ》．埃舍尔曾在1958年至1960年创作了《圆极限》Ⅰ-Ⅳ系列，其中《圆极限Ⅲ》是其至爱．它之所以备受人们的青睐，除其外表美外，我们认为它主要还蕴涵着三个数学主题-无限、镶嵌、庞加莱模型．     

从一个四阶幻方谈起

据说,在印度大苏神庙的石头门楣上刻着一幅图形(见示意图1),当时的印度人把它刻在门上是为了避邪.其实这是一幅世界著名的四阶幻方图,图中每行、每列以及两条对角线上四个数的和都等于34.     

从四色猜想到纽结不变量

从四色猜想到纽结不变量高红铸１四色猜想．所谓四色猜想是说，在平面上随便画一张地图，如果把每个国家涂上一种颜色，使得具有公共边界线的国家能以不同的颜色区分，那末只要四种颜色就够了．这个问题可以用图论的语言来表达，一个图可以看成是由顶点、边以及边和顶点的...     

从“九树十行”问题到帕斯卡定理——兼谈2023年高考北京卷解析几何题的射影几何背景

<正>1 “九树十行”问题在英国1821年出版的一本趣味算题集?冬日长夜的智力游戏?里面,记载着一道牛顿提出的几何问题:一共需要种9棵树,要求能排成10行,而且每行恰有3棵树,请读者画出满足要求的种法．这在历史上被称为“九树十行”问题．显然可以转化为如下的几何题——需要大家在平面内找到9个点,连出10条不同的直线,且每条直线都通过9个点中的3个．你能画出满足要求的构图吗?图1是一种满足要求的特殊情况．为了画出10条直线,我们尽量让图形对称．设4点A,     

从自我评价到自我反思

有一位老师,在给学生讲完"地球是圆的"后,问学生"懂了吗?"学生齐答"懂了!"老师当即请学生画一幅地球草图,并要求每个人把自己画进去.结果,所有同学都把自己画在地球的上部.问他们"为什么?"又是齐答:"因为画在其他地方会掉下去".这就是学生的自我评价("懂了")与实际知识达     

百鸟归巢

李善兰先生是我国近代史上一位有名的人物,有一天他随父亲到海宁城里一位大绅士家做客,看墙上挂着一幅《百鸟归巢》图,画家是有名的花鸟画高手,在其生花妙笔的点染下,观赏者仿佛闻到了花香,听到了鸟语。画旁有一首画诗,写道：     

一幅名画中的算术题

俄国著名画家波格丹诺夫·别尔斯基曾经在1895年画了一幅题为《口算》的名画.画中是一位老先生在教一群村童作口算,这群天真可爱的学生呈现各式的沉思姿态(其中一位正与老先生耳语),老先生安坐在黑板前,黑板上写有下面这样一道算术题.     

中学几何图形画法技巧简介(待续)

编写说明本人是工程图学工作者,有幸同数学教育工作者进行了一次合作。发现不少数学教师,主要是青年数学教师在中学几何图形画法技巧方面还存在较多困难。比如普遍画不好徒手画,致使板演速度过慢,影响四分钟课堂效率。课外用小黑板预画也占去很多业余时间。有的教师对《立体几何》教本上的好些立体图一直画不好就干脆不画图而勉强对着书上的图进行教学个别教师甚至把这一段内容删去不提,严重影响了教学质量。因此市数学学会要求本人为这些教师举行一次以提高画图技巧为目的的讲座。在准备讲座材料过程中,又进一步发现中学三门几何课,四本书所有插图所用图线功能紊乱,缺乏规范。这不仅影响学生对题意的理解和解题能力的提高,而且是画图技巧能否充分发挥的重要障碍。于是本人     

试析“爬梯子”

一次我叫班长分配劳动任务,班长没有采用平常拈阄的方式,而是画了一张图．（图１）甲乙丙丁戊一二三四五图１他把五个组长叫到一起解释说：“这叫‘爬梯子’,梯子是任意画的,绝对公平．爬的规则是向上行,见弯拐．”我让他把做图的具体方法和爬的规则仔细说清楚,他说...     

剖分趣题

把一个五边形剖分成沿整条边相邻接的三角形,设在边上再加4个剖分顶点,内部设置3个剖分顶点．问可将这个五边形剖分成多少个三角形?有人说这道题太简单了,画出图来数一数不就行了么!画出图1,数得13个三角形．但剖分方式不止这一种,其他剖分方式结果如何呢?再画一图,如图2,一数也得13．那么,我们是否可以断言：本题的答案是13呢?     

你知道“四色问题”吗?

四色问题又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一,简单地说,就是画在纸上的每张地图只用四种不同的颜色就能使具有共同边界的国家区分开来．换句话说,要区分地图上的国界或省界。只要有四种不同的颜色即可满足要求。图论学家哈拉里在《图论》中谈到这个问题时幽默地说：“任何一个数学家可以在5分     

关于初二几何一道习题应用的讨论

人教版三年制几何第二册第94页第7题,如图草原上两个居民点A、B在河流的同旁,一辆汽车从A出发到B途中需到河边加水,汽车在哪一点加水,可使行驶的路程最短?在图上画出这一点.     

小批量生产单件多部位控制时的管理图

当一件产品需要进行多部位控制,而这种产品生产的批量又不大时如何设计管理图,这是一个有待研究的问题。 例如某厂生产大型电机转轴,轴上各部位尺寸图纸规定标准见下表。 倘若对每个部件都设计一张管理图,则一根轴就得画10张管理图。另一方面,由于批量又不大,每一部位画一张管理图也有困难。 本文提出一种方法,在各个不同部位找共同性,在小批量生产中综合少数,形成多数,化十张管理图为一张管理图,这样只要画一张管理图便可解决小批量生产单件多部位控制问题。 设一根加工完毕的轴各部位的实际尺寸为;标号i相应于轴上的第i个部位,每一个不都…     

神奇的数字正方形

正在一幅古画中的墙壁上,有一个由前16个阿拉伯数字构成的数字正方形(图1,图4):16 3 2 135 10 11 89 6 7 124 15 14 1它是在1514年由画家Albrecht Durer(阿尔布雷特.丢勒)创制的(图2、图3),距今500多年了.这个数字正方形有着非常神奇的特点——它有22组四个数之和均为34(图3-7):1、每行和每列上的四个数之和都是34;     

对一道课本习题的探究

人教版课标教材八年级上册第158页有一个习题:在纸上画五个点,使任意三点组成的三角形都是等腰三角形,这五个点应该怎样画? 教学参考书上给出的结果如图:     

62 垂直于弦的直径

（本专栏特邀过伯祥老师主持，稿件请寄：（316004）浙江舟山师专）1通过活动，借助直觉，获得发现T（提出问题，创设让学生能积极参导的教学情境）我们来看如下的问题：（1）可以利用圆规，要从长方形纸片上剪下一个圆，用什么样的办法洁最简捷？（2）在剪下的一个圆的直径CD上，任取一点E．你能过EA画一条弦AB，使它被CD所平力吗？（如图1）如果能，要怎样画？可以先用折纸法切齿领证你的想法．［学生实践操作，思警总结．」剪下一个圆的办法自哪些？SI：对法1，如圄2，先用圆规画担国，后算下这个圆．0洁2，则图3，先把纸对折，用圆…     

49 图形的面积──一节开放式的习题课

两天前的课堂上，教师布置了如下的一道开放性的题目：“正方形的边长为a，在此正方形的内部，以各边为直径，画一个或几个半圆．问在哪些图形情景下，哪些圆交成的图形面积可求？它们的面积各是多少？”要求以小组为单位（每组3—4人），通过讨论合作完成，并由一人写成解题报告上交．兴兴件转上课开始，教师用预先准备好的小黑板，剜览式地展示一下各组讨论到的图景有：T：我们把同学们研究的结果总括了一下：从图形的角度来看，可以画一个、二个、三个、四个半圆，其基本图形只有图形A（图1），B（图2），C（图3），D（图4），E（图5…     

完全四线形的牛顿线定理的推广

完全四线形的牛顿线定理的推广刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）四条直线两两相交于六点所形成的图形叫做完全四线形．一个完全四线形有四条边和六个顶点，不共边的两个顶点称为对顶点，其连线称为对顶线．下面定理是由著名的英国数学家牛顿发现的．定理完全四线形的...     

怎样教給学生画立体几何图(直綫和平面部分)

立体几何所研究的是空間图形的性貭,空間图形是用画在一个平面內的繪象来表示的。因为所作的繪象必须給人一种空間图形的印象,所以用一种类似透视画的画法,这种画法虽不完全符合于透視画的規則,但所画成的繪象却能給人以立体的感觉。一般立体几何課本都不讲立体几何图的画法。教师与学生则慕繪課本里的图形,久之,对画法始逐漸有所体会,而能自觉地按照題設条件画出图来,但錯誤之处则在所难免,我們知道:一个画得正确的平面几何图,对解题或証題有很大帮助,解法或証法常可由图中探索而得,反之,一个不正确的图每导致錯誤的結果,在立体几何中也是如此,很多学生将通过正三棱柱一个底边和上下区的心的連綫的中点所作的截面画成三     

中考中的网格问题

有关网格的问题具有较强的开放性和探索性,能有效地考查学生的数形结合、动手操作能力,有利于培养学生的探究意识和创新精神,本文从2004年全国各地的中考试卷中采撷了数例考查功能强、富有新意的有关网格的试题进行分类解析,供2005年中考师生参考.一、利用网格考查学生的动手操作能力.例1(2004年福州市中考题)如图是一个19×16的点阵图上画出的“中国结”,点阵的每行及每列之间的距离都是1,请你画出“中国结”的对称轴,并直接写出图中阴影部分的面积.分析:(1)由于在点阵图中,因此不需要通过作一组对称点的连线段的垂直平分线即可画出“中国…