巧借四点共圆妙证蝴蝶定理

蝴蝶定理确实是一道有意思的经典题,它曾使一代代的几何爱好者着迷,追逐纯几何证法更是爱好者的目标．笔者巧借四点共圆妙证蝴蝶定理,得出两种纯几何新证供同行们参考．     

蝴蝶定理及其推广

蝴蝶定理是初等几何中的近代名题，可称为数学殿堂里的一颗璀璨的珍珠．自1985年杜锡录教授介绍到我国以来，不少数学家、数学教育工作者对此作过研究．本文在给出蝴蝶定理的一个简洁证明的基础上研究其推广形式并加以证明．     

关于高维蝴蝶定理

利用距离几何方法将古典的蝴蝶定理推广到n维欧氏空间一般二次超曲面情形,同时也得到高维蝴蝶定理的逆定理.     

蝴蝶定理及其推广的射影本源

蝴蝶定理及其推广的射影本源周华生（常熟市中学２１５５００）有关蝴蝶定理及其推广的论文很多，如文【１］一【７］，但若用射影几何的观点，可对这些定理给出一个统一的解释，为揭示其中的本质特阐明如下：引理１二阶曲线上四点与其上任意第五点所联成四直线的交比为常...     

广义蝴蝶定理的进一步拓广

广义蝴蝶定理的进一步拓广四川蓬溪中学田文宇在《数学通讯》１９９４年第４期上刊登了朱履乾同志的《广义蝴蝶定理》一文（简称文［１］），笔者对文［１］中所述广义蝴蝶定理作进一步拓广．定理设ｃ１，ｃ２，ｃ３为三条均过Ｍ、Ｎ、Ｔ、Ｓ四点的二次曲线，它们顺次与有...     

蝴蝶定理的另一呈现形式

文给出了蝴蝶定理的一系列研究成果，读来获益匪浅．笔者在研究圆锥曲线有关问题的过程中，受该文启发，发现了圆锥曲线的蝴蝶定理的另一呈现形式，兹介绍如下，以供参考。     

对一道北京高考解析几何题的思考与探究

介绍对2020年高考北京卷解析几何题的思考过程,揭示其几何背景,发现该题目是圆外蝴蝶定理的特殊情况,并将该题延伸推广到一般二次曲线上.     

巧证线面垂直的判定定理

线面垂直的判定定理，是立体几何中的重点与难点．教材利用镜面对称的方法，给出了该定理的一个几何证明．本文将从代数角度给出该定理的一个巧证．     

正弦定理在空间的推广

数学命题的推广是数学发展不可缺少的手段，是一项富有挑战性和创造性的活动．在近几年的高考题中也逐渐加强对这方面的考查．从2000年起，上海高考题每年都有类比联想推广的试题，2003年北京卷更是把蝴蝶定理从圆中推广到椭圆，给人耳目一新之感．本文给出正弦定理在空间的两种推广，以期抛砖引玉．     

正弦定理在数学竞赛解题中的应用(一)

正弦定理在数学竞赛解题中的应用（一）李火斤（天津师范大学数学系３０００７４）正弦定理是高中数学课的一个重要内容．利用正弦定理解决几何问题，在数学竞赛中也经常出现．灵活运用该定理解决几何在有关求角、求最值、证明线段相等、证垂直及证三点共线的例子有很多，...     

韦达定理的妙用

韦达定理是中学数学的重要内容 ,它涉及面广 ,综合性强 ,既是一个活跃的知识点 ,又是数学知识链上不可缺少的一环 .原则上讲 ,凡涉及到两量之和 (差 )与积的问题都可联系韦达定理 ,赋两根以几何意义 ,特别是巧妙构思 ,创设一元二次方程 ,构造应用韦达定理的条件 ,使问题化难为易 .　　一、在平面几何中的应用【例 1】　 (蝴蝶定理 )过圆O的AB弦的中点M引任意两弦CD和EF ,连CF和ED交弦AB于P、Q ,求证 :PM =MQ .分析 :蝴蝶定理是平面几何中一个重要的定理 ,1973年美国中学教师斯特温利用正弦定理和相交弦定理给出证明 ,此处从略 .下面…     

Proving Theorems in Elementary Geometry with Clifford Algebraic Method

本文结合吴方法及平面几何的Ｃｌｉｆｏｒｄ代数表示，提出了几何定理机器证明的一种完备的方法．用这种方法证明定理时，三角化的过程及证明的过程通常较以前的方法更简短而且它们是可以几何解释的．     

覆盖曲面的不等式及其应用

本文运用改良Ａｈｌｆｏｒｓ的覆盖曲面定理，首先精确了Ｔｓｕｊｉ的二个不等式．然后用几何方法导出了一个相当广泛的正规定理．它以著名的Ａ．Ｂｌｏｃｈ正规定理及Ｐ．Ｍｏｎｔｅｌ正规定理为特例．     

蝴蝶定理的向量证法

贵刊《数学通报》2004年第1期刊登了周春荔的《蝴蝶定理》一文，笔者联想到中学新教材中的向量知识，于是，笔者尝试运用向量来证明蝴蝶定理，得到了如下的证明方法，希望能引起读者的兴趣。     

莫莱定理的一个新证

莫莱定理的一个新证广州师范学院数学系张映柬本文给出莫莱定理一个纯几何的构造性证明，它比文［１］［２］所列几何证明，有其独特和简练之处．莫莱（Ｍｏｎｅｙ）定理将△ＡＢＣ各内角三等分，则每两个角相邻的三等分线交成正三角形ＰＱＲ．证明设则作△ＥＢ’Ｃ’在外...     

一种几何定理机器证明的零维化方法

本文对一类初等几何定理的证明给出了一种机械化方法，利用这种方法，可计算出一个由有限个素理想组成的集合，所有属于假设部分对应的某一扩域上的理想的素理想都在这个集合中出现并且可以挑选出来．因而一个几何定理一般真确，当且仅当终结多项式属于全部的这种素理想，即对其不可约特征列的余式为零．     

解斜三角形

本单元的重点是：正弦定理、余弦定理，求周长、面积，判断三角形的形状，与解斜三角形有关的实际应用问题．综合运用正弦定理、余弦定理和内角和定理等基础知识解决几何问题和实际问题，有助于培养和提高学生分析问题和解决问题的能力．     

基于《超级画板》的探究性教学案例（2）——从三角形三高交于一点谈起

有些几何结论，直观上一目了然，特别是在现代信息技术的帮助下，很多结论可以用眼清晰看出，也可以用动态测量作出精确的判断，但要遵循几何定理的证明思路，从公理、公设、已证定理出发完成其证明却不是一件容易的事，对这些问题的探究吸引了无数的数学爱好者，也给数学爱好者留下终身难忘的印象．     

一个值得重视的几何定理

为了拓广几何的解题途径。我们对平面中有关三条直线共点而又被另一些直线相截这类问题进行了精浅的研究,由三角形的面积公式出发推得一个较有实用价值的几何定理。因为它揭示了三条共点射线被另外直线截割而产生的张角正弦值与截得线段之间的比例关系。为叙述方便起见,权且将它定名为“截割角边比定理”(是否妥当,尚需商榷)。运用截割角边比定理来证明几何中的有关截交一类的定理(如梅涅劳斯定理,蝴蝶定理等)以及线段相等,不等与成比例等问题,具有思路明朗,书写简捷,规律性强等点。因此,这一定理值得重视。一截割角边比定理共点三射线PM,PN,PK被直线EF相截,其交点分别为A,B,C(如图所示),设∠APC=a,∠BPC=β,则     

一个最值定理的推广

一个最值定理的推广武延树（山东惠民师范学校２５１７００）以下定理１是大家熟知的。定理１已知Ｘ，ｙ都是正数．（１）如果和ｘ＋ｙ是定值ｓ，那么当ｘ＝ｙ时，积ｘｙ有最大值．（２）如果积ｘｙ是定值ｐ，那么当Ｘ＝ｙ时，和ｘ＋ｙ有最小值．下面给出此定理的几何意义...