数学问题解答

1999年 12月号问题解答(解答由问题提供人给出 )12 2 6.设△ABC的三边长为 a,b,c.P为形内一点 ,且∠ PAB=∠ PBC=∠ PCA(即 P为布洛卡点 ) ,求证a2 b2 c2 ≤ 3 ( PA2 PB2 PC2 )证明　如图记 PA=R1 ,PB=R2 ,PC=R3 ,据题意知∠BPC=π-C,在△ BPC中用余弦定理可得 :a2 =R2 2 R3 2 -2 R2 R3 cos(π-C ) =R2 2 R3 2 2 R2 R3 cos C,同理 b2 =R3 2 R1 2 2 R3 R1 cos A,c2 =R1 2 R2 2 2 R1 R2 cos B,据熟知的不等式 :2 yzcos A 2 Zxcos B 2 xycos C≤x2 y2 z2 ( x,y,z∈R,A B C=π)得 :a2 b2 c2 =2 ( R1 2…     

2006年高考数学全国卷Ⅰ

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则A.M∩N=B.M∩N=MC.M∪N=MD.M∪N=R2.已知函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2·lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)3.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=A.-41B.-4C.4D.414.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数=A.1B.-1C.2D.-25.函数f(x)=tanx+4π的单调增区间为A.kπ-2π,kπ+2π,k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.kπ-34π,kπ+4π,k∈ZD.kπ-4π,kπ+34π,k∈Z6.△ABC的内角A、B、…     

一道课本例题的引伸

人教版初三几何第三册教材第 1 74页例 4是关于求新月形面积的问题 .它的解题方法具有普遍意义 ,在教学中可以利用它去解决相关的问题 ,也可以用它的结论去解决有关求新月形面积的问题 .解法比较直观、简捷 .现举例说明 ,仅供参考 .原题 :(几何第三册P1 74例 4)已知 :如图 1 .⊙O的半径为R ,直径AB⊥CD ,以B为圆心 ,以BC为半径作CED .求CED与CAD围成的新月形ACED的面积S .解 :∵S =12 πR2 -S弓形CED,又∵S弓形CED=S扇形BCED-S△BCD,而S扇形BCED=90π(BC) 23 60 =π4( 2 R) 2 =πR22 ,　S△BCD=12 × 2R·R =R2 ,∴…     

一道高考题的多角度思考

图1题目图题目(2006年高考山东卷)如图1,在等腰梯形ABCD中,AB=2CD=2,∠DAB=60°,E为AB的中点,将△ADE与△BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体积为()(A)4273π.(B)26π.(C)86π.(D)264π.解法1由已知可得三棱锥P-DCE的各棱长图2解法1图均为1,因此三棱锥P-DCE为正四面体,如图2,取PD中点M,CE中点N,连MN,则易证MN⊥PD,MN⊥EC,取MN的中点O,则易求得OE=ON2 EN2=(42)2 (12)2=46,同理OD=OC=OP=46,故O为三棱锥P-DCE的外接球的球心且外接球的半径R=46,体积V=43πR3=86π,故选(C).解…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)数学(理工科)

一、选择题:本大题共10小题,共50分1.“x>1”是“x2>x”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.若函数f(x)=2sin(ωx φ),x∈R,(其中ω>0,|φ|<2π)的最小正周期是π,且f(0)=3,则A.ω=21,φ=6πB.ω=12,φ=3πC.ω=2,φ=6πD.ω=2,φ=3π3.直线x-2y 1=0关于直线x=1对称的直线方程是A.x 2y-1=0B.2x y-1=04.C要.在2x边 长y-为31=60米的D.x 2y-3=0正方形草坪上安装喷水龙头,使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是A.3B.4C.5D.…     

2006年高考数学福建卷

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.设a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad-bc=0B.ac-bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=02.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于A.40B.42C.43D.453.已知α∈(π2,π),sinα=53,则tan(α+4π)等于A.71B.7C.-71D.-74.已知全集U=R,且A={x||x-1︱>2},B={x︱x2-6x+8<0},则(UA)∩B等于A.[-1,4]B.(2,3)C.(2,3]D.(-1,4)5.已知正方体外接球的体积是332π,那么正方体的棱长等于A.22B.232C.432D.4336.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球,这些球除颜色外完全相同,从中摸出3个球…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 山东数学(理科)

一、选择题:本大题共12小题,共60分1.若z=cosθ isinθ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是A.6πB.4πC.3πD.2π2.已知集合M={-1,1},N={x|21<2x 1<4,x∈Z},则M∩N=A.{-1,1}B.{-1}C.{0}D.{-1,0}3.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个A视.图①相②同的是B.①③C.①④D.②④4.设α∈-1,1,21,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,35.函数y=sin2x π6 cos2x 3π的最小正周期和最大值分别为A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,26.给出下列三个等式:f(xy)=f(x) f(y),f(x y)=f(x)f(y),f(x y)=f(x) f(y)…     

我们这样来求角

我们在学习弧长的计算公式"ι=n/180πR"(ι是n°的圆心角所对的弧长,R是圆的半径)时发现:弧长与圆周长的比等于弧所对的圆心角与周角的比.用公式表示为     

2006高考数学全国卷Ⅱ

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.已知集合M={x|x<3},N={x|log2x>1},则M∩N=A.B.{x|00)的反函数为A.y=ex+1(x∈R)B.y=ex-1(x∈R)C.y=ex+1(x>1)7.…     

2006年高考数学江苏卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a|,x∈R为奇函数,则a=A.0B.1C.-1D.±12.圆(x-1)2+(y+3)2=1的切线方程中有一个是A.x-y=0B.x+y=0C.x=0D.y=03.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为A.1B.2C.3D.44.为了得到函数y=2sin3x+6π,x∈R的图像,只需把函数y=2sinx,x∈R的图像上所有的点A.向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B.向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不…     

由余弦定理所想起的

余弦定理除了能“由三角形的两边长及其夹角求第三边长”及“由三角形的三边长求三内角”以外,还能解“已知三角形的两条边长及其中一边的对角求第三边”. [例1]如图1,作△ABC,使BC=4,CA=3,∠B=π/6,并求AB边的长. 作法(1)作线段BC=4; (2)以C为圆心,作半径为3的圆;     

考点30 空间角与空间距离

1.(江苏卷,4)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为().(A)43(B)23(C)343(D)32.(湖南卷,5)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为().(A)21(B)42(C)22(D)23第2题图第3题图3.(福建卷,8)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点,则异面直线A1E与GF所成的角是().(A)arccos15(B)π(C)arccos510(D)2π第4题图4.(辽宁卷,14)如图,正方体的棱长为1,C、D分别是两条棱的中点,A、B、M是顶点,那么点M到截面ABC…     

争鸣

问题问题109已知函数f(x)满足:f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠f(π2)=0,求f(π)及f(2π)的值.解法1令x=y=0,得f(0)=1.令x=y=π2,得f(π)=-1.令x=y=π,得f(2π)=1.解法2令x=y=0,得f(0)=1.令x=32π,y=π2,得f(2π)=-f(π).再令x=y=π,得f(2π) 1=2f2(π),∴2f2(π) f(π)-1=0.∴f(π)=12或f(π)=-1,从而f(2π)=-12或f(2π)=1.问题出在哪里?问题110人教版高一数学(上)P8,有下面一段话:容易知道,对于集体A,B,C,如果A B,B C,那么A C.事实上,设x是集合A的任意一个元素,因为A B,所以x∈B,又因为B C,所以x∈C,从而A C.这个证明严格吗?…     

2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学Ⅱ

一、选择题:共12小题,共60分1.sin210°()A.23B.-23C.21D.-212.函数y=|sinx|的一个单调增区间是()A.-π4,-4πB.4π,34πC.π,32πD.32π,2π3.设复数z满足1 z2i=i,则z=()A.-2 iB.-2-iC.2-iD.2 i4.下列四个数中最大的是()A.(ln2)2B.ln(ln2)C.ln2D.ln25675.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=31CA λCB则λ=()A.32B.31C.-31D.-326.不等式xx2--14>的解集是()A.(-2,1)C.(-2,1)∪(2, ∞)B.(2, ∞)D.(-∞,-2)∪(1, ∞)7.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.46B.…     

圆周向量定积定理

在平面几何中(如图1),我们知道“直径所对的圆周角为直角”.即M为⊙C上的动点,总有MA·MB=0为定值.起点⊙C圆周上的向量称为⊙C的圆周向量.图1图2定理设⊙C的半径为R,其同心圆⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图2),那么MA·MB=R2-R′2为定值.证不     

第十一章 参数方程 极坐标

§1 参数方程一、选择题 1.方程(?)(θ为参数,且0≤θ≤π/2)表示的曲线是( )。 (A)圆周 (B)半圆周 (C)四分之一圆周 (D)直线段。 2.过点P(-3,4)且平行于x轴的直线的参数方程为     

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)1.已知a,b是方程log3x3 log27(3x)=-34的两个根,则a b=()A.2170B.841C.8110D.82182.设D为△ABC的边AB上一点,P为△ABC内一点,且满足AD=43AB,AP=AD 25BC,则SS△△AAPBDC=()A.130B.52C.175D.1853.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,2π)时,f(x)=sinx,则f(83π)的值为()A.23B.-23C.21D.-214.已知ABCD-A1B1C1D1是一个棱长为1的正方体,O1是底面A1B1C1D1的中心,M是棱BB1上的点,且S△DBM∶S△O1B1M=2∶3,则四面体O1ADM的体积为()A.274B…     

关于平面三角的复习

2.例题例1.己知扇形的弧含有54,半径等于20厘米;求扇形的局长和面积。(精确到1) 解:设弧长为L,半径为R、含中心角a弧度, 则a/54°=π/180°=3π/10,因此 L=aR=(3π/10)×20=6π。故周长≈59(厘米)面积=(1/2)RL≈190(平方厘米) 例2。设a是第四象限的角,比较sina和tga的值的大小。解:如图1,角a的终边落在第四象限,与单位圆交于P,与过n的切线交于T,作PM⊥OA于M,则sina=MP,tga=AT。因为|MP|<|AT|,∴MP>AT,故sina>tga。例3.已知cosa=m,求sina和tga的值。解:当a是第一、二象限的角或a=kπ(k∈Z)时、sina=(1-m~2)~(1/2),tga=(1-m~2)~(1/2)/m     

三角中容易忽视的几个问题浅析

本文就学生在三角学习中的常见错误分析如下:一、忽视定义域例1:函数f(x)=sinx(1 tanxtan2x)的最小正周期为A.πB.2πC.2πD.32π误解:f(x)=sinx1 2sin2xcos2xcosx·sin2xcos2x=sinx1 1c-ocsoxsx=tanx,∴T=π,选A.剖析:错误原因是没有注意定义域:x|x≠kπ 2π,且x≠2kπ π,k∈Z.因为f(0)=0≠f(0 π)(无意义),所以选A错误.正确应选B.二、忽视变形过程是否等价例2:已知2sinx=1 cosx,求cot2x误解:∵2sinx=1 cosx,∴1 sincoxsx=21,∴tan2x=21cot2x=2.剖析:错误原因是变形不等价.只有在1 cosx≠0时,才可以从2sinx=1 cosx推到sinx1 cosx=21.…     

北京大学1982年研究生入学考试试题选登(附简单提示)

<正> 一、1.求极限(?)(xy~2dy-x~2ydx)/((x~2+y~2)~2)=?其中 C_r 是圆周:x~2+y~2=r~2(?)(提示:用参数表示圆周,或将分母部分提到积分号外再用格林公式,简单计算即可求出极限为π/2.)2.设α,β为常数,α>0,β≠0,且有