“幻和图”如何变成“幻积图”

<正>将n×n个数(通常是不同的整数),填到n×n个小正方形中,使得各行、各列、对角线上的各数之和均相等,则称所得图形为"n阶幻和图",其中各行、各列、对角线上各数之和为"幻和".图1、图2就是常见的3阶与4阶幻和图,其幻和分别是15与34.     

中考几何探究中猜想的途径

纵观2005年全国各省市中考数学试题,一类“探究———猜想———证明”的几何探究题成为一大亮点.本文以其中部分题的解答思路为例,总结在几何探究中进行猜想的一些途径.一、借助观察,直观猜想探索数学规律的过程中,观察是一种重要的方法,尤其是在几何探究时,通过仔细观察图形的特征,作出直观猜想,是寻求问题解决思路的最直接和有效的解题途径.图1例1(05山西)如图1所示,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连结BE、DG.(1)观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论;(2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形?若存在,…     

不要轻易相信视觉和直觉

生活中我们常常相信亲眼所见,但又常常为自己的眼睛所骗,人的视觉是有限的,仅凭眼睛的直觉判断有时会使我们得出与事实不符的错误结论.请看下面问题1这两个图形,如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2,我们将会发现,与图1相比,图2多出一个洞!这怎么可能呢?图1图2我们再来看一个更简单的问题2吧,将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块儿何图形,然后重新拼接成图4,计算可知长方形的面积为8×21=168,比正方形少了一个单位的面积,真不可思议!图3图4这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解,值得我们花费一些时间动手按照…     

广义线图与{C_4~1,K_(1,3)~1,K_(1,4)}-free图的符号差

图的邻接矩阵的正,负特征值个数分别被称为图的正,负惯性指数.图G的正惯性指数与负惯性指数之差被称为图G的符号差,记作s(G). 2013年马海成等人提出符号差猜想:对于任意简单图G,都有-c_3(G)≤s(G)≤c_5(G),其中c_i(G)(i∈{3, 5})分别表示G中长为模4余3和模4余1的圈的个数.此文证明了广义线图和不含C_4~1, K_(1,3)~1,K_(1,4)之一作为诱导子图的图满足此猜想.     

智慧窗

<正>1计算第2016个数已知:a_1=2518,a_2=5182,第2个数加1被第1个数除得第3个数,第3个数加1被第2个数除得第4个数,…,按此规律往下算,则第2016个数等于多少?(安徽省淮南市第三中学(232007)王秉春)2巧填数字将图中3×3的方格中的7个方格中填入不同的数字,使得每行、每列、每条对角线上3个数之和都相等,问图中左上角的数字应是多少?     

关于含1—因子图幂中边不交1—因子

本文讨论一般含1-因子连通图的n次幂中边不交1-因子的个数.从而证明了L.Nebesky(1984)猜想对含1-因子图成立.     

平面图的绑定数

图G的绑定数b(G)是指边集合的最少边数,当这个边集合从G中去掉后所 得图的控制数大于G的控制数． Fischermann等人在[3]中给出了两个猜想: (1)如果 G是一个连通的平面图且围长g(G)≥4,则b(G)≤5;(2)如果G是一个连通的平面图且 围长g(G)≥5,则b(G)≤4．设n3表示度为3的顶点个数,r4和r5分别表示长为4和 5的圈的个数．本文,我们证明了如果r4<(5n3)/2 10,则猜想1成立;如果r5<12,则猜 想2成立．     

中考探索性问题举例

近年来 ,各省市出现不少关于探索性中考题 ,但有不少同学碰到这一类问题时感到很棘手 ,不知如何下手 .下面笔者特举数例 ,加以说明 ,供读者参考 .一、整体观察———类推———猜想例 1　 (2 0 0 3年天津市中考题 )用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律 ,拼成若干个图形 .(1 )第 4个图案有白色地面砖块 ;(2 )第n个图案有白色地面砖块 .分析与解 :经观察 ,第 1个图案有白色地面砖 6块 ,第 2个图案有 1 0块 ,即是第 1个图案的砖数的 2倍少 2块 ,第 3个图案有 1 4块 ,即是第 1个图案的砖数的 3倍少 4块 ,依此类推 ,第 4个图案的块数…     

非奇异单圈图的刻划

边数等于顶点个数的连通图称为单圈图.本文修正了文献[1]中关于奇异单圈图的充要条件,并且利用该条件证明了文献[2]中一个关于非奇异单圈图的猜想.     

一类完全多部图的色可选择性

如果一个图G的选择数等于它的色数,则称该图G是色可选择的．在2002年, Ohba给出如下猜想:每一个顶点个数小于等于2X(G) 1的图G是色可选择的．容易发现Ohba猜想成立的条件是当且仅当它对完全多部图成立,但是目前只是就某些特殊的完全多部图的图类证明了Ohba猜想的正确性．在本文我们证明图K6,3,2*(k-6),1*4(k≥6)是色可选择的,从而对图K6,3,2*(k-6),1*4(k≥6)和它们的所有完全k-部子图证明了Ohba猜想成立．     

井田问题的探究

如图1所示,一块不规则的四边形田地ABCD,在每条边都取三等分点,再把两组对边上的三等分点连接起来,成了一个井字形.井字把这块田分成了九小块,正中间的那一块图形的面积正好是田地ABCD面积的1/9,     

从一道错题再谈函数图象的交点问题

文[1]中例2的题目与原作者提供的答案如下: 　　题目已知0相似文献   

基于旋转证明“猜想”

<正>1原题呈现如图1,矩形ABCD的边AB上有一点E,边AD上有一点F,△CEF是正三角形.猜想S_△AEF,S_△BCE,和S_△CDF的关系,并加以证明.对初中生而言,给出猜想S_△AEF=S_△BCE+S_△CDF容易,但证明猜想有一定难度,且证法的选择非常关键.文[1]、文[2]和文[3]从不同的角度用不同的方法证明了猜想,殊途同归,各有所长.其中文[3]用“图形对称”破解问题,若用“图形旋转”来证明猜想,则会得到不一样的思维体验与感悟.     

上期课外练习参考解答

初一年级1.∵　a +b =1a+ 1b=a +bab ≠ 0 ,∴　ab =1,　∴　 (ab) 2 0 0 3=1.2 .(1) 1△ 9=1× 9+ 1+ 9=19,(1△ 9)△ 9=19△ 9=199,[(1△ 9)△ 9]△ 9=199△ 9=1999.(2 )猜想 (… ((1△ 9)△ 9)…△ 9n个 9)=199… 9n个 9.3 .观察可知 ,图①中有 5个三角形 ;图②将图①出现了三次 ,又多出 2个三角形 ,故而②中有三角形个数为 5× 3 + 2 =17(个 ) ;图③包含三个图②又多 2个三角形 ,故而图③中三角形个数为 17× 3 + 2 =5 3 (个 ) ;依此类推图④中三角形个数为5 3× 3 + 2 =161(个 ) .初二年级1.由　a(1b+ 1c) +b(1a+ 1c) +c(1a+ 1b)　 =-3…     

一个结论的妙用

结论两个面积相等的图形有部分重合,则每一个图形不重合部分的面积相等.应用图1例1(2007年遵义市中考题)如图1所示是重叠的两个直角三角形.将其中一个直角三角形ABC沿BC方向平移得到△DEF.如果AB=8cm,BE=4cm,DH=3cm,则图中阴影部分面积为cm2.简析根据模型,两个三角形是全等的,     

用函数图像解题的几个盲点

“数形结合”是重要的数学思想方法之一,以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐.著名数学家华罗庚说:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”这就要求我们画图时充分利用函数性质,画准图形,注意图形中元素间关系,不能主观臆断,导致图形“失真”,从而得出错误答案,甚至无法求解.就此我们列出画图时极易产生的几个盲点,以引起同学们重视.盲点1:忽视“临界线”例1判断函数f(x)=x 1x图像与直线y=2x交点个数.分析:拿到此题,许多同学立刻在同一坐标系中作出函数f(x)=x 1x与y=2x的图像,如图1所示,易知两图像交点个数为2.事实…     

一组猜想的研究

文1提出了一组猜想,本文将首先证明猜想1和猜想2是正确的.因为要用到二次曲线方程的一般形式,为了不引起混淆,字母有所不同.图1猜想1如图1,椭圆内的蝶形A1A2A3A3中,设过蝶心M的一直线分别和射线A2A4,弧A4A1,弧A2A3,射线A1A3交于G,P,Q,H,则     

四阶幻方的几个有趣性质

<正>在一个4×4的正方形网格图中,将1¹6填入其中,使它的每一行、每一列及对角线上的四个数之和都相等(均为34),这样就构成一个四阶幻方(如图1),四阶幻方除了具有上述性质之外,它还具有如下有趣性质:1.其中任意一个2×2的小正方形网格图中,其四个数之和都是34,例如图216填入其中,使它的每一行、每一列及对角线上的四个数之和都相等(均为34),这样就构成一个四阶幻方(如图1),四阶幻方除了具有上述性质之外,它还具有如下有趣性质:1.其中任意一个2×2的小正方形网格图中,其四个数之和都是34,例如图2⁵:     

关于尼科马克猜想的两个推广

尼科马克(Nicomachus,约公元1世纪)是古希腊数学家,在数论研究方面有很深的造诣.他在其代表作<算术入门>中提出了一个猜想:"立方数相继等于奇数数列相应各数之和."这个猜想是说,如果把奇数数列1,3,…,(2n-1),…从第一项起按如下规律重新组成一个新的数列:1,3+5,7+9+11,13+15+17+19,…,那么,新数列的每一项等于它所含的奇数个数的立方.     

新奇的幻方

<正>2016年7月1日是中国共产党成立95周年纪念日,为表祝贺,王小明同学设计了一个新奇的五阶幻方(如图1,在5×5的正方形网格图中填有25个数).这个新奇的五阶幻方里面的数看似杂乱无章,毫无规律可言,但它却有奇妙之处,王小明同学告诉大家:在图1所示的新奇五阶幻方中随意圈定一个数(例如图2中的数21),然后将这个数所在的行与列上的数用直线划掉;再随意圈定一个没有被划掉的数(例如图2中的数36),然后