一道高考模拟题的探究

题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a>0)的图像与x轴有两个不同的公共点,若f(c)=0,且00.(1)试比较1a与c的大小;(2)求实数b的取值范围;(3)当c>1,t>0时,求证:t a2 t b1 ct>0.这是一道常见的高考模拟试题,经常出现在全国各地的高考模拟试题中,解决本题的关键是要抓住以下两点:①根据二次函数图像特征,确定b范围.②构造二次函数g(t),用分析法证明当t>0,g(t)>0的充分条件具备.为了充分挖掘本题的潜在价值,将其常见的解答提供如下:(1)解f(x)图像与x轴有两个公共点,∴f(x)=0有两个根x1,x2.∵f(c)=0,∴c是一根.又∵x1x2=ac,∴1a是另一根.c≠a…     

一道高考压轴题的优化解法

2007年江苏高考卷的压轴题如下:已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2 cx d,g(x)=ax3 bx2 cx d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.此题主要考查函     

综合题新编选登

题179已知函数f(x)=ax3 bx2 c(a,b,c∈R,a≠0)的图象过点P(-1,2),且在点P处的切线与直线x-3y=0垂直.1)若c=0,试求函数f(x)的单调区间.2)若a>0,b>0且(-∞,m),(n, ∞)是f(x)的单调递增区间.试求n-m的范围.解由f(x)=ax3 bx2 c的图象过点P(-1,2)知-a b c=2.又f′(x)=3ax2 2bx.因为f     

新题征展(55)

A　题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)…     

对一道竞赛题的解法的补注

20 0 2年全国高中数学联赛第一试 1 5题是这样的 :设二次函数 f ( x) =ax2 + bx +c　 ( a,b,c∈ R,a≠ 0 )满足条件 :( 1 )当 x∈ R时 ,f( x - 4) =f( 2 - x) ,且 f ( x)≥ x;( 2 )当 x∈ ( 0 ,2 )时 ,f ( x)≤ ( x + 12 ) 2 ;( 3) f ( x)在 R上的最小值为 0 .求最大的 m( m >1 ) ,使得存在 t∈ R,只要x∈ [1 ,m],就有 f ( x + t)≤ x.(原解详见本刊 2 0 0 2年第 1 2期 P38)今年的这道试题出得很好 ,原因在于 ,它能从陈题出发 ,改革陈题 ,推陈出新 ,分析原题的实质 ,提炼解法的关键 ,然后纵向延伸、横向拓广或触类旁通作移植与类比 ,从而…     

一道国际数学竞赛题的推广

我们首先来看 2 0 0 3年第 16届爱尔兰数学奥林匹克试题 9(见文 [1]) :设a ,b >0 ,求最大的正实数c ,使得对于任意的正实数x ,均有c≤max{ax 1ax,bx 1bx} .解　设 f (t) =t 1t ,t >0 ,g(x) =max{ f(ax) ,f(bx) } .原问题转为求 g(x) 在x >0时的最小值 .若a =b ,则g(x) =ax     

试题研讨(19)

试题　 (2 0 0 3届全国 10 0所名校高考模拟试题 )已知 f (x) =ax2 bx c,其中 a∈N ,b、c∈ Z.(1)当 b>2 a时 ,在 [- 1,1]上是否存在x,使得 |f (x) |>b成立 ?(2 )当方程 f (x) - x =0的根都在 (0 ,1)内时 ,试求 a的最小值 .命题溯源　此题是由 1997年全国高考题改编而成的 .着重考查代数推理能力与等价转化能力 .原解思路　 (1)由 b>2 a,a∈ N 得- b2 a<- 1,则函数 f(x)在 [- 1,1]上为单调增函数 .要在 [- 1,1]上存在 x使得 |f(x) |>b成立 ,只须 f(1) >b或 f (- 1) <- b,即 a c>0或 a c<0 ,亦即 a c≠ 0 .故当 a c≠ 0时 ,存在 x使得 …     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

定义域和值域都是R意味着什么?

以函数f(x)=lg(ax2 bx c)为载体求参数范围的问题,在各类考试中颇受命题人的青睐,而我们的同学常常由于理解题意有误,以致解答出错.本文就此类函数定义域和值域分别为R的含义作出等价“转译”. f(x)=lg(ax2 bx c)(a≠0)的定义域为R的实质等价于:当x∈R时,ax2 bx c>0恒成立,那么问题就转化为二次函数y=ax2 bx c>0恒成立.这等价于(其中     

一个最值问题的探究

问题1已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（b〉a）对于任意实数x都有f（x）≥0,求a＋b＋c/b-a的最小值．     

一道联考试题的讨论

湖北省部分重点中学 2 0 0 3届第一次联考数学试卷上有这样一道题 :已知 f(x) =ax2 +bx +c,如果x∈ [-1 ,1 ]时 ,均有 | f(x) |≤ 1 .1 )求证 :|c|≤ 1 ;2 )当x∈ [- 1 ,1 ]时 ,试求 g(x) =|cx2+bx +a|的最大值 ;3)试给出一个这样的 f(x) ,使 g(x)确实取到上述最大值 .命题者的解答如下 :解　∵x∈ [- 1 ,1 ]时 ,| f(x) |≤ 1恒成立 ,令x =0 ,得 |c|≤ 1 .2 )∵g(x) =|cx2 +bx +a|=|cx2 -c+c+bx +a|≤ |cx2 -c| + |c+bx +a|=|c| ( 1 -x2 ) + |c +bx +a|≤ |c| + |c+bx +a| ,由于函数 φ(x) =|c +bx +a|在 [- 1 ,1 ]的端点处取到最大值 .所以…     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

解法相似的两个最小值问题

<正>同学们在高中数学学习中,大多会遇到下面的两个有一定难度的问题.问题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c/b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求y=c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但在遇到问题2时,却难以独立解决.从表面上看,问题1与问题2确实有很大的差异,但从     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

一道函数题引发的思考

<正>我们学过基本不等式后老师出的一道函数题引发了我的思考,下面是我对这道题的一点感悟.题已知:f(x)=ax²+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x2+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x²+1/2对一切实数x都成立.一般解法假设存在实数a、b、c满足题意.∵f(x)的图像过(-1,0)对一切实数x都成立,     

数学问题1848的错解分析及修正

《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为: 已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1＞0. (1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围; (2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0) 原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3.     

学贵有疑--质疑、反思

文[1]“巧解”摘录:题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1)对一切实数x都成立,求f(x).原解设A(x),B(f(x)),C(x2 12)为数轴上的3点,则ABBC=λ.由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∴λ≥0.由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ.     

一道初中数学竞赛题的简解

20 0 0年 4月 2日举行的全国初中数学联赛 (更名为数学活动创新能力评估 )试题二试( C卷 )第三题除了评分标答的解法外 ,还可用下面的方法来解答 .题　求所有的正整数 a、b、c,使得关于 x的方程 :　 x2 - 3ax 2 b =0 ,x2 - 3bx 2 c =0 ,x2 - 3cx 2 a =0的所有的根是正整数 .解　设方程 x2 - 3ax 2 b =0的两正整数根为 x1、x2 ,方程 x2 - 3bx 2 c=0的两正整数根为 x3 、x4 ,方程 x2 - 3cx 2 a =0的两正整数根为 x5、x6,由根与系数的关系 ,得　　 x1 x2 =3a,x1x2 =2 b,　　 x3 x4 =3b,x3 x4 =2 c,　　 x5 x6=3c,x5x6=2 a.由 …