Beitrag zur Berechnung der hyperbolischen Paraboloidschale

Zusammenfassung Das hyperbolische Paraboloid z=c/a² x y wird nach der Membran-theorie für eine Reihe von Belastungen mit Hilfe einer Spannungsfunktion berechnet. Für die Grundrißprojektionen der Membrankräfte, bezogen auf die Einheit der Grundrißfläche, werden geschlossene Ausdrücke angeführt, aus denen die wahre Größe der Membrankräfte berechnet werden kann.Für Windlast wird der Neigungswinkel der Windrichtung gegen die Tangentialebene im allgemeinen Flächenpunkte angegeben und daraus die Belastung senkrecht zur Fläche festgestellt, welche, in die drei Achsenkomponenten zerlegt, die Schubkraft, und durch Differentiation und Integration die achsenparallelen Normalkräfte liefert.Ähnlich wird bei hydrostatischer und waagerechter Belastung vorgegangen; weiter wird eine Reihe senkrechter Belastungen behandelt (Keil-, Trapez-, Parabel- und windschiefe Belastung, sowie gleichförmige Belastung der Oberfläche und des Grundrisses). Auch wird die Berechnung der Schale mit erhöhten Giebeln gezeigt.     

Eine Randbedingung für die Ausbreitung von Kugelwellen

Übersicht Für die Simulation der Ausbreitung von kugelförmigen Dilatationswellen im elastischen Kontinum mittels der Methode der finiten Elemente wird eine Randbedingung abgeleitet, welche das abgetrennte unbeschränkte Gebiet analytisch exakt ersetzt. Die mit dieser Randbedingung erhaltenen Ergebnisse werden mit vorhandenen Näherungen verglichen, so daß deren Einfluß auf die Güte der Ergebnisse abgeschätzt werden kann. Erweiterungen auf andere Problemstellungen werden aufgezeigt.

---

     

Die ebene Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt

Zusammenfassung Die Strömung um ein geknicktes Profil mit Spalt wird mit Hilfe der konformen Abbildung berechnet. Zuerst wird die Abbildungsfunktion der geknickten Platte mit Spalt so dargestellt, daß die numerische Auswertung für kleine Spalte besonders einfach wird. Durch Hinzunahme weiterer Abbildungen kann man schrittweise von der Strömung um Skelette übergehen zur Strömung um dünne Flosse und profiliertes Ruder und um Flosse und Ruder mit Wölbung und Dicke. Für alle diese Kombinationen wurden die Druckverteilungen berechnet. Es zeigt sich, daß die Rechnungen für Skelette schon recht gute Werte für die Gesamtkräfte liefern. Jeder Schritt in dem Annäherungsprozeß an Formen, wie sie der Wirklichkeit entsprechen, wurde wenn möglich einer entsprechenden Messung gegenübergestellt, um so den Einfluß der Form auf die Druckverteilung klar erkennen zu können. Zum Schluß ergibt sich, daß die Potentialtheorie alle wesentlichen Eigenschaften der Strömung um das geknickte Profil mit Spalt gut wiedergibt.     

Theorie der Hochdruckröhrenfeder

Zusammenfassung Zur Messung hoher Drücke im Bereich von 100 bis 10000 at werden in der Technik vielfach dickwandige Röhrenfedern nach Art des Bourdonmanometers benutzt. Diese Federn werden durch Flachschlagen eines Kreisrohres und anschließendes Krümmen hergestellt. Die Theorie derartiger Hochdruckfedern wird auf einen ebenen Formänderungszustand zurückgeführt und die Spannungen und Deformationen werden berechnet, wobei die Querschnittsform durch ein rechteckiges Mittelstück und zwei Randbögen (Flachbogenquerschnitt) idealisiert wird. Als Sonderfall wird auch der kreisförmige Querschnitt behandelt. Bei kreisförmiger oder kreisähnlicher Querschnittsform werden verschiedene Korrekturgrößen von wesentlichem Einfluß, die ebenfalls abgeleitet werden, Abschließend wird auch das Bewegungsgesetz solcher Meßfedern untersucht.Die hier dargelegte Theorie der Hochdruckfeder habe ich mit weitergehenden Vereinfachungen und ohne die Exzentrizitäts- und Längungskorrektur bereits 1943 entwickelt. Ergebnisse wurden auszugsweise in einem Aufsatz in Die Technik 3 (1948) S. 23–30 wiedergegeben. In der vorliegenden Neufassung sind alle Tabellen neu berechnet worden, wobei ich von Frau Otto in Göttingen, wesentlich unterstützt wurde.     

Kreiselverhalten eines elastisch gelagerten Rotors

Übersicht Schnelle'Rotoren besitzen eine große technische Bedeutung. Ihr Bewegungsverhalten wird durch die Kreiselkräfte und die Elastizität und Dämpfung der Lagerung beeinflußt. Ausgehend von den Bewegungs-gleichungen wird das Eigenverhalten und das Störverhalten eines Rotors untersucht. Das Durchfahren der kritischen Drehzahlen ergibt instationäre Bewegungen, während axiale Erregerkräfte auf parametererregte Schwingungen führen. Die optimalen Parameter eines Rotors werden bestimmt. Experimentelle Untersuchungen bestätigen die Gültigkeit der theoretischen Ergebnisse.

---

Summary High-speed rotors are of increasing technical interest. Their motion is influenced by gyroscopic forces and by the elasticity and damping of their suspension. Starting with the equations of motion the rotor's natural behaviour and disturbance behaviour is investigated. Running through the critical speeds instationary motions appear. Axial forces are leading to parametric excited vibrations. Optimal parameters of a rotor are determined. Experiments verify the validity of the theoretical results.

---

---

Die Arbeit entstand als Gemeinschaftsarbeit am Institut B für Mechanik der TU München. Die Hauptbearbeiter der einzelnen Teilaufgaben sind in Fußnoten genannt. Die Untersuchungen wurden mit Mitteln des Ministeriums für Bildung und Wissenschaft gefördert.     

Magnetic effects on the flow with a great magnetic reynolds number by the presence free convection and mass transfer

An analysis of the effects of a magnetic field on the flow past an infinite plate by the presence free-convection and mass transfer is considered when the magnetic Reynolds number of the flow is not small. The influence of magnetic parameterM on the velocity and the skin-friction is discussed with the help of graphs, when the plate is being cooled by the free convection currents.

---

Magnetische Einflüsse auf eine Strömung mit großen magnetischen Reynolds-Zahlen unter Anwesenheit freier Konvektion und Stoffübertragung

Zusammenfassung Es werden die Einflüsse eines magnetischen Feldes auf die Strömung an einer unendlichen Platte mit freier Konvektion und Stofftransport analysiert, wobei die magnetische Reynolds-Zahl der Strömung nicht klein ist. Diskutiert wird der Einfluß des magnetischen ParametersM auf die Geschwindigkeit und die Oberflächenreibung mit Hilfe graphischer Methoden, wobei die Platte durch die freie Konvektion gekühlt wird.

     

Nonlinear flexural vibration of moderately thick orthotropic circular plates

Summary In this paper a nonlinear vibration theory which includes the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia is formulated for rectilinearly orthotropic circular plates using Berger's method. A solution to the governing equations for rigidly clamped plates is obtained on the basis of a single-mode approach by use of Galerkin's method and numerical Runge-Kutta procedure. A good agreement is found between present results and those obtained by a more accurate theory for nonlinear static and dynamic cases. Numerical results indicate significant influence of these effects on the vibration behaviour of moderately thick plates, especially high-modulus composite plates. These effects, however, are not so significant for the radius-to-thickness ratio greater than 10.

---

Nichtlineare Schwingungen orthotroper Kreisplatten

Übersicht Eine Theorie nichtlinearer Schwingungen orthotroper Kreisplatten wird mit der Methode von Berger formuliert, wobei Schubverformung und Drehträgheit berücksichtigt werden. Für eingespannte Platten wird mit dem Verfahren von Galerkin eine numerische Lösung bestimmt und mit bekannten Lösungen verglichen. Die numerischen Ergebnisse zeigen, daß der Einfluß von Schubverformung und Drehträgheit bei mäßig dicken Platten beträchtlich sein kann.

     

Knickung der Kreisringplatte von quadratisch veränderlicher Steifigkeit

Zusammenfassung Die Differentialgleichung für die Durchbiegung der einem gleichmä\igen, radialen Druck ausgesetzten Kreisringplatte wird für eine mit dem Radius quadratisch veränderliche Plattensteifigkeit bei symmetrischer und unsymmetrischer Auswölbung integriert. Mit Hilfe dieser Lösung wird die Knick-bedingung für einige Fälle der Stützung bei axialsymmetrischer Auswölbung angegeben. In zwei Fällen wird die Knicklast mit derjenigen einer Platte gleicher Dicke bei eingespanntem Au\enrand und geführtem, aber frei verschieblichem Innenrand verglichen. Ferner wird bei beiderseitig eingespannten Rändern die unsymmetrische Knickung untersucht und mit dem entsprechenden axialsymmetrischen Fall verglichen.     

Column buckling under friction

Summary The buckling problem of a cantilever column is discussed when the axial loading device introduces friction forces. Adopting global stability criteria and applying the bifurcation theory to the present non-conservative eigenvalue problem, the critical load is defined and the post-critical behavior is investigated.

---

Stabknickung unter Reibungseinfluß

Übersicht Die Ausknickung einer eingespannten Säule wird diskutiert, wobei durch die axiale Belastungsvorrichtung Reibungskräfte aufgebracht werden. Unter der Annahme eines globalen Stabilitätskriteriums und der Verwendung der Verzweigungstheorie wird die kritische Last des Systems und sein nachkritisches Verhalten untersucht.

     

Testing of a constitutive equation with free volume dependent relaxation spectrum

Summary A model of non-linear viscoelasticity with relaxation times dependent upon free volume is here proposed. The free volume is related to the isotropic part of the stress tensor by means of a simple differential equation.The model predictions are compared with a large amount of experimental results taken on polymeric melts or concentrated solutions and reported in the literature. The single parameter of the model is determined, within each set of data, by fitting of the viscosity curve. A satisfactory agreement is obtained with data taken under both elongation and shear for which also the relaxation behavior after single and double strain steps is considered.

---

Zusammenfassung Es wird das Modell einer nicht-linear viskoelastischen Flüssigkeit vorgeschlagen, bei dem die Relaxationszeiten vom freien Volumen abhängen. Das freie Volumen wird dabei durch eine einfache Differentialgleichung mit dem isotropen Teil des Spannungstensors verknüpft.Die Voraussagen des Modells werden mit einer großen Anzahl von experimentellen Ergebnissen an Polymerschmelzen und konzentrierten Lösungen verglichen, die in der Literatur mitgeteilt sind. Der einzige Parameter des Modells wird für jeden Datensatz durch Anpassung der Viskositätskurve bestimmt. Man erhält eine befriedigende Übereinstimmung für die Meßwerte sowohl von Dehn- als auch von Scherversuchen, wobei ebenfalls das Relaxationsverhalten nach dem Aufprägen einfacher und doppelter Dehnungsstufen betrachtet wird.

---

---

With 16 figures and 1 table     

Stability of a cantilevered bar subjected to a transverse follower force of fluid jet

Summary The present study is concerned with the theoretical and experimental investigations of the stability of a cantilevered bar subjected to the influence of a fluid jet that acts transversely at the free end. Fluid is carried along the length of the bar by means of a rubber hose placed suitably to avoid asymmetry and an attachment at the free end changes the direction of the fluid flow to achieve the desired result. Thus, in addition to having a transverse follower force at the end, the system is also subjected to the force of Coriolis acceleration.In the first part, using energy considerations, linearized equations of motion are obtained which turn out to involve variable coefficients. Explicit solutions of such equations in forms of known functions do not exist and, therefore, series solutions by using the Frobenius method are constructed. Using a computer, the undetermined coefficients are obtained which numerically converge to any prescribed accuracy. Flutter type instability occurs in the coupled modes of bending and torsion and buckling is completely absent. Stability curves are obtained by varying parameters representing ratio of bending and torsional rigidities, slenderness ratio and Coriolis force. The effect of internal damping is also examined. In the second part experimental results are obtained on models as described before. It is found that the behavior of the models is greatly influenced by the presence of dissipative forces in the material of which the models are made. By suitably accounting for the amount of damping in the system, the correlation between theoretical and experimental results is found to be satisfactory.

---

Übersicht Es wird die Stabilität eines Kragträgers untersucht, der am freien Ende quer zur Längsachse durch die Reaktionskräfte eines Fluidstrahles belastet wird. Das Fluid wird entlang der Längsachse durch einen Gummischlauch herangeführt, wobei Unsymmetrien sorgfältig vermieden werden. Durch eine Vorrichtung am Ende kann die Richtung des Strahles eingestellt werden. Der Balken wird demnach durch eine Folge-Kraft sowie durch Coriolis-Kräfte beansprucht.Aus Energiebetrachtungen werden im ersten Teil der Arbeit linearisierte Gleichungen abgeleitet, die zeitveränderliche Beiwerte haben. Da sich die Lösungen dieser Gleichung nicht explizit durch bekannte Funktionen ausdrücken lassen, werden Reihenansätze nach dem Verfahren von Frobenius verwendet. Die unbestimmten Beiwerte des Ansatzes werden mit Hilfe eines Computers mit beliebig gewünschter Genauigkeit bestimmt. Eine Instabilität vom Flatter-Typ tritt bei gekoppelter Biegung und Torsion bei Abwesenheit von Knickbeanspruchung auf. Die Stabilitätskurven werden in Abhängigkeit von Biege- und Torsions-Steifigkeit, von Schlankheitsgrad und Coriolis-Kraft ausgerechnet. Außerdem wird der Einfluß der inneren Dämpfung untersucht. Im zweiten Teil wird über Versuchsergebnisse berichtet. Dabei zeigt sich, daß die Ergebnisse stark durch die dissipativen Eigenschaften des Balkenmaterials beeinflußt werden. Unter Berücksichtigung dieser Dämpfung kann die Übereinstimmung von Theorie und Versuch als befriedigend bezeichnet werden.

---

---

Formerly Professor of Civil Engineering, The Technological Institute, Northwestern University, Evanston, Illinois.

---

This research was supported initially under NASA Grants NsG605 and NGR 14-007-067 at Nortwestern University during the stay of one of the authors (S.N.P.) and it was completed at the University of Mississippi with support under Grant GK-3092 from the National Science Foundation.     

Rotordynamik mit Berücksichtigung von Längskraft und Torsion im achsparallelen Schwerefeld

Übersicht Die gekoppelten nichtlinearen Differentialgleichungen der Rotordynamik einer in axialer Richtung homogenen Welle werden mit den Voraussetzungen der Bernoullischen Balkentheorie mit innerer Dämpfung (Kelvin-Material) nach der Theorie zweiter Ordnung für Längskräfte und Torsionsmomente bereitgestellt. Belastungen sind verteilte und diskrete Längskräfte und Torsionsmomente sowie äußere Dämpfung. Die Wirkung von Flüssigkeit, die den Rotor in Achsrichtung durchströmt, wird berücksichtigt. Das Differentialgleichungssystem besitzt nicht-konstante Koeffizienten und ist im Vergleich zu den sonst verwendeten Differentialgleichungen der Rotordynamik erweitert, um die oben aufgeführten Einflüsse zu berücksichtigen. Nach der Linearisierung der Differentialgleichungen und der Abkopplung der Torsion werden Lösungen durch komplexe Potenzreihen in der Achskoordinatex dargestellt. Diese Lösungen sind so genau, wie die zu ihrer Berechnung verwendete Anlage es zuläßt. Eigenwerte und Eigenformen werden in herkömmlicher Weise ermittelt und durch Vergleich mit bekannten Ergebnissen überprüft. Für eine Turbinenwelle und ein Tiefbohrgestänge werden kritische Lastkombinationen aus Drehzahl und Belastungen exemplarisch untersucht.

---

Rotor dynamics with regard to longitudinal forces and torsion in a gravity field parallel to the axis

Summary The coupled differential equations of a shaft, homogeneous in axial direction, are derived under the assumption of the Bernoulli beam hypothesis and internal damping (Kelvin material). Second order theory is applied. The loads are distributed and discrete longitudinal forces and torsional moments. External damping and the effect of flow in the rotor along the axis are taken into account. The derived system of differential equations has non-constant coefficients. Compared with the commonly used ones it is extended with regard to the named actions. After linearisation and separation of torsion solutions are described with complex series of the axis coordinatex. The accuracy of the solutions depends on computer and software. Eigenvalues and characteristic functions are calculated and compared with known results. For a turbine shaft and a drill pipe critical combinations of loads and rotational speeds are exemplarily investigated.

     

Zur Theorie der Plattenbeulung im plastischen Materialbereich

Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit bringt eine Erweiterung der Theorie der Plattenbeulung für den plastischen Materialbereich, die von den einfachsten, in sich widerspruchfreien Spannungs-Deformationsgesetzen der mathematischen Plastizitätstheorie — den differentiellen Prandtl-Reu-Gesetzen — ausgeht. Mit dieser erweiterten Theorie wird es möglich, einer durch den Walzvorgang erzeugten, also von vornherein im Plattenmaterial vorhandenen Anisotropie auch im plastischen Bereich Rechnung zu tragen. Als Instabilitätskriterium wurde dabei die Shanleysche Hypothese zugrundegelegt. Angewendet wurde die Theorie auf die Berechnung der Beulspannungen dünner Rechteckplatten, die einen homogenen Normalspannungszustand an deren Rändern ausgesetzt sind. Damit sollte vor allem zur Beantwortung der bisher noch nicht endgültig geklärten Frage beigetragen werden, woher die beträchtlichen Abweichungen der mit den differentiellen Gesetzen errechneten Beulspannungen von den in Versuchen gemessenen stammen. Zu diesem Zweck wurden die Kollbrunnerschen Beulversuche mit Platten aus der Aluminiumlegierung Avional M-hart nach der erweiterten Theorie nachgerechnet, wobei die für dieses Material nicht bekannten Anisotropiekonstanten aus Versuchen abgeschätzt wurden, die Stüssi an Rohren aus einer ähnlichen Alummiumlegierung (Avional M-weich) vorgenommen hatte. Obwohl die Ergebnisse einer Rechnung, die auf derart abgeschätzten Anisotropiekonstanten basiert, natürlich unsicher sein müssen und daher auch nicht mitgeteilt werden konnten, soll erwähnt werden, daß die Anisotropie im Mittel eine Verringerung der Beulspannung um etwa 20% bewirkte: Die mit Berücksichtigung der Anisotropie errechneten Beulspannungen und Halbwellenzahlen stimmen daher mit den von Kollbrunner gemessenen wesentlich besser überein als die für isotropes Material berechneten. Die endgültige Entscheidung über die Frage, ob es genügt, die Diskrepanz zwischen Theorie und Versuch allein auf den Einfluß der Walzanisotropie zurückzuführen, oder ob es womöglich noch nötig sein wird, von einem komplizierteren, differentiellen Spannungs-Deformationsgesetz (z. B. nach Prager) auszugehen bzw. darüberhinaus den Einfluß einer geringen Abweichung der Plattenmittelfläche im unbelasteten Zustand von der Ebene zu berücksichtigen, muß allerdings weiteren experimentellen Untersuchungen vorbehalten bleiben, die erst nach genauer Bestimmung der Anisotropiekonstanten einen einwandfreien Vergleich zwischen Theorie und Versuch ermöglichen werden. Hierüber soll später noch berichtet werden.     

The effects of viscous dissipation on laminar heat transfer to power law Ruids in tubes

This work is concerned with laminar heat transfer in circular tubes to power law fluids with temperature-dependent rheological properties. Basic equations governing the problem under consideration are derived including effects of viscous dissipation but neglecting internal heat generation. The derived equations are solved numerically by means of finite-difference scheme and for the boundary conditions of constant wall temperature. The results are presented in form of graphs and compared to the computations carried out by other authors. A very good agreement is stated. The present work is intended to be an extension of the paper which has been recently published by Krishnan and Sastri [5].

---

Der Einfluß viskoser Dissipation auf die Wärmeübertragung bei laminarer Rohrströmung von Ostwald-de Waele Flüssigkeiten

Zusammenfassung In dem vorliegenden Beitrag wird die Wärmeübertragung bei laminarer Rohrströmung von denjenigen nicht-Newtonschen Flüssigkeiten untersucht, die dem Potenzansatz nach Ostwald-de Waele gehorchen. Es werden Grundgleichungen für den zu behandelnden Vorgang hergeleitet, unter besonderer Berücksichtigung viskoser Dissipation sowie der Temperaturabhängigkeit rheologischer Parameter des strömenden Mediums. Der Einfluß innerer Wärmequellen wird hingegen vernachlässigt. Zur numerischen Lösung der hergeleiteten Differentialgleichungen wird die Methode der finiten Differenzen eingesetzt, unter der Voraussetzung, daß die Temperatur der Rohrwand unverändert bleibt (Randbedingungen erster Art). Die gewonnenen Ergebnisse wurden graphisch dargestellt sowie mit den von anderen Autoren erarbeiteten Resultaten verglichen. Es wurde dabei eine recht gute Übereinstimmung festgestellt. Der hier vorliegende Beitrag soll als eine Verallgemeinerung des Aufsatzes [5] gehalten werden, der neulich in dieser Zeitschrift von Krishnan und Sastri veröffentlicht wurde.

     

Über die Berücksichtigung der Schubverzerrung in ebenen Platten

Zusammenfassung Ausgehend von einem kinematischen Schema wird eine Methode entwickelt, welche es möglich macht, den Anschluß der technischen Festigkeitslehre an die mathematische Elastizitätstheorie zu bewerkstelligen. Ganz wie in der Methode von Lagrange nur mit Kinematik und Energiebegriff gearbeitet wird, werden die Gleichungen aus dem Prinzip der virtuellen Verschiebungen hergeleitet.Die Randbedingungen brauchen dabei nicht von vornherein im kinematischen Ansatz schon befriedigt zu sein; das Verfahren ist so geartet, daß man das Optimum der Näherung, das sich mit dem gewählten Ansatz überhaupt erreichen läßt, auch wirklich erhält. Von großer praktischer Bedeutung wird die Schubkorrektion dann, wenn es sich um I-Profile handelt. Der Einfluß kann bei handelsüblichen Formen 10 bis 30 % betragen.     

Flow of a viscoelastic fluid between eccentric rotating cylinders and related problems

Summary Results obtained in a previous paper byBallal andRivlin on the forces associated with the slow flow of an incompressible non-Newtonian fluid, contained in the annular region between two infinite eccentric rotating cylinders, are applied to the calculation of the forces associated with the planetary motion of the inner cylinder about the axis of the outer cylinder. Either, neither, or both of the cylinders may rotate about their axes with constant angular velocities. As a limiting case the motion of an infinite cylinder is considered, in a half-space of incompressible non-Newtonian fluid bounded by a rigid plane, when the cylinder moves with constant velocity perpendicular to its length and parallel to the plane.

---

Zusammenfassung Die in einer früheren Veröffentlichung vonBallal undRivlin erhaltenen Ergebnisse bezüglich der Kräfte, die beim langsamen Strömen einer inkompressiblen nicht-newtonschen Flüssigkeit im Ringspalt zwischen zwei unendlich langen exzentrisch rotierenden Zylindern auftreten, werden für die Berechnung der Kräfte angewendet, die bei der Planetenbewegung des inneren Zylinders um die Achse des äußeren Zylinders auftreten. Dabei dürfen beide Zylinder entwedet ruhen oder mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um ihre Achsen rotieren. Als Grenzfall wird die Bewegung eines unendlich langen Zylinders in einem Halbraum betrachtet, der durch eine feste Ebene begrenzt wird, wobei der Zylinder eine konstante Geschwindigkeit senkrecht zur Achse und parallel zur Ebene besitzt.

---

---

With 21 figures and 1 table     

Biegetheorie der Rotationsschale mit flacher,kreisförmiger Erzeugender

Zusammenfassung Bei der Auflösung der Gleichungssysteme von doppelt gekrümmten Schalen treten im allgemeinen so große mathematische Schwierigkeiten auf, daß eine Berechnung der Schnittkräfte nicht möglich ist. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß bei Einführung einiger Näherungen der Spannungszustand einer Rotationsschale mit flacher, kreisförmiger Erzeugender ermittelt werden kann. Sowohl bei der Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen als auch beim Elastizitätsgesetz werden in allen Gleichungen diejenigen Glieder, die die Schalenstärke enthalten, vernachlässigt, soweit sie neben anderen Gliedern vorkommen. Diese Näherung ist nicht gröber als die schon seit jeher bei Schalenberechnungen eingeführten Vereinfachungen des Elastizitätsgesetzes. Bei flachen Schalen können in den Gleichungen weitere Glieder vernachlässigt werden, und es gelingt, das Problem auf zwei homogene partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für eine Spannungsfunktion und die Normalenverschiebung w zurückzuführen. Die charakteristische Gleichung wird für eine beliebige anisotrope Schale angegeben. Für die Sonderfälle der isotropen Schale und der in der Rotationsrichtung durch Rippen verstärkten Schale können die Wurzeln der charakteristischen Gleichung als einfache Ausdrücke geschrieben werden. Die Schnittkräfte und Verschiebungen der Schale werden aus einer Spannungsfunktion und der Normalenverschiebung berechnet.     

Control torque components of center-of-mass motions in hammer throwing

Summary Modified Newton's law and Euler's equation of motion giving the internal or control forces and torques in the thrower's joints are derived. It is considered that all the forces and torques, acting on any part of the thrower's body producing motion, are due to linear and angular velocity changes and to the external forces such as gravity and friction with the ground. Unfortunately, any estimation of the thrower's joints' internal or control forces and torques from this mechanical model is complicated by the asymmetric nature of the resultant equations of motion.A simplified bi-mass model is worked out as an application of this approach. Using experimental data for the center of mass paths of the hammer and the thrower the body main control driving torques at the various points in the movement pattern are evaluated, and the thrower's balance is further studied.

---

Drehmomentenregelung der Massenmittelpunktsbewegung beim Hammerwurf

Übersicht Zur Bestimmung der inneren Kräfte und Momente in den Gelenken eines Hammerwerfers werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Es wird angenommen, daß alle Kräfte und Momente in den Körperteilen des Sportlers, die die Bewegung erzeugen, von Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsänderungen sowie äußeren Kräften wie Schwerkraft und Reibkontakt mit dem Untergrund herrühren. Allerdings ist die Bestimmung der Gelenkbeanspruchungen mit diesem mechanischen Modell kompliziert. Deshalb wird vereinfachend ein Zwei-Massen-Modell behandelt. Mit Hilfe experimenteller Daten über die Bewegung des Hammers und des Körperschwerpunktes wird das wesentliche, den Antrieb regelnde innere Moment für verschiedene Zeitpunkte des Bewegungsablaufs bestimmt.

     

Die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in eine kreisförmige Bordasche Mündung

Zusammenfassung Für die Einströmung einer idealen Flüssigkeit in ein kreisförmiges Rohr mit Strahlablösung (Bordasche Mündung) wird eine numerische Näherungslösung angegeben. Hierzu wird für einen probeweise angenommenen Strahlrand die vollständige Strömung berechnet durch numerische Integration der Differentialgleichung der Stromfunktion mit dem Liebmannschen Mittelungsverfahren. Nach den Abweichungen der Geschwindigkeit am angenommenen Strahlrand von dem geforderten konstanten Wert wird dann die Form des Randes verbessert. Schließlich wird noch eine Verbesserung auf graphischem Wege erreicht. Die Ergebnisse werden dann mit denen der entsprechenden ebenen Aufgabe verglichen.     

Ein Modell zur Berechnung elastischer Deformationsanteile in einer LDPE-Schmelze nach der Durchströmung einer Kapillaren

Zusammenfassung Für die Durchmesserzunahme einer LDPE-Schmelze nach der Durchströmung einer Kapillaren wird eine Modellvorstellung entwickelt, die die kräftefreie Verformung eines Materialteilchens zu berechnen gestattet, das innerhalb der Kapillaren die Form der Geschwindigkeitsverteilung besitzt und am Kapillarenaustritt aus dem Strang herausgeschnitten wird. Die Vorgeschichte am Kapillareinlauf wird durch den Zustand der Ruhe oder durch eine spontane Dehndeformation approximiert. Mit geometrischen Verträglichkeitsbedingungen im schwellenden Extrudat, dem Kräftegleichgewicht in Fließrichtung, dem Impulssatz und einer Zustandsgleichung vom Integraltyp mit deformationsabhängiger Gedächtnisfunktion wird das zeitabhängige Schwellverhalten berechnet und mit Meßwerten verglichen. Die zeitliche Entwicklung der ersten Normalspannungsdifferenz, der Schergeschwindigkeits-und der Scherwinkelverteilung werden angegeben. Das Verhalten der Normalspannung in der Kapillarenachse bei spontanem Dehnanteil am Kapillareinlauf wird analytisch abgeschätzt, und Rückwirkungen auf den minimalen und maximalen Verlauf der Strangaufweitungswerte werden aufgezeigt.Schlüsselwörter Viskoelastizität, Integralmodell, Strangaufweitung, Kapillare, Polyäthylen

---

Summary A model analysis for the calculation of capillary die swell is presented. Inside the capillary a material element is considered to have the shape of the velocity distribution and to be cut immediately out of the fluid jet when leaving the capillary exit, so as to swell without any interaction of external forces. The prehistory of the deformation is assumed to be either a state without any motion or a state of spontaneous elongational flow at the capillary entrance. On condition of geometric compatibility in the swelling extrudate, with a balance of the forces in the flow direction, the equation of motion and a rheological equation of state of the integral type with strain-dependent memory function, time-dependent swelling is calculated and compared with experiments. The time dependent variation of the first normal-stress difference, the shear-strain and shear-rate distribution are given. The change of normal stresses in the axis of the jet is calculated analytically if a spontaneous deformation is assumed at the capillary entrance. The reaction on the minimum and maximum values of the die-swell calculation is shown.

Mit 13 Abbildungen und 1 Tabelle