附贴空间的度量化

<正> 设X与Y是互不相交的拓扑空间,A是X的闭集,f:A→Y是连续映射(简称映射).在X与Y的拓扑并W=XUY中,将A中点x与Y中的点f(x)叠合得到W的一个商空间Z,它就称作借助映射f:A→Y将X附贴到Y上的附贴空间(adjunction space);Z常更明确地表作XU_(f.A)Y.空间W至Z的商映射常记作p.易见p在Y上限制给出了     

关于丢番图方程X~2+4Y~4=pZ~4

设p为素数,p=4A~2+1+2|A,A∈N~*.运用二次和四次丢番图方程的结果证明了方程G:X~2+4Y~4=pZ~4,gcd(X,Y,Z)=1,除开正整数解(X,Y,Z)=(1,A,1)外,当A≡1(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|p(a~2-b~2)~2-4(A(a~2-b~2)±ab)~2|,Y~2=A(a~2-b~2)~2±2ab(a~2-b~2)-4a~2b~2A,Z=a~2+b~2;当A≡3(mod4)时,至多还有正整数解(X,Y,Z)满足X=|4a~2b~2A-(4abA±(a~2-b~2))~2|,Y~2=4a~2b~2A±2ab(a~2-b~2)-A(a~2-b~2)~2,Z=a~2+b~2.这里a,b∈N~*并且ab,gcd(a,b)=1,2|(a+b).同时具体给出了p=5时方程G的全部正整数解.     

A system of matrix equations and its applications

We derive the solvability conditions and an expression of the general solution to the system of matrix equations A 1X=C1 , A2Y=C2 , YB2=D2 , Y=Y*, A3Z=C3 , ZB3=D3 , Z=Z*, B4X+(B4X)+C4YC4*+D4ZD4*=A4 . Moreover, we investigate the maximal and minimal ranks and inertias of Y and Z in the above system of matrix equations. As a special case of the results, we solve the problem proposed in Farid, Moslehian, Wang and Wu’s recent paper (Farid F O, Moslehian M S, Wang Q W, et al. On the Hermitian solutions to a system of adjointable operator equations. Linear Algebra Appl, 2012, 437: 1854-1891).     

线性拓扑空间中向量凸规划的鞍点定理

设X为实向量空间,Y与Z为实线性拓扑空间,Z有局部凸性质,P_Y和P_Z是Y与Z的实心闭凸锥,P_Y≠Y,P_Z≠Z.由P_Y和P_Z分别在Y和Z中诱导的半序记为≤. Y和Z的共轭空间,即各自上面的连续线性泛函的全体,记为Y~*和Z~*. P_Y和P_Z的共轭锥记为P_Y~*和P_Z~*.设f:X→Y,g:X→Z都是关于上述半序的凸映身     

无穷远点

无穷远好象是无法到达的“地方”,“那里”究竟怎样也好象是不可思議的,但是如果引用数学的方法,就会突然地与它接近了。多么奇妙!现在就让我們乘着这“艘”数学的“宇宙飞船”,去遨游无穷远的“太空”吧。 1.齐次坐标。解析几何的特点在于它引入了坐标,并且运用代数方法来研究几何对象。不过采用哪一种坐标合适,是可以因对研究的問题的方便而异的。为了研究下面的問題,訌我們先引入所謂齐次坐标的概念。我們所熟知的笛卡儿直交坐标,是用两个数(x,y)来表示坐标平面上的一个点P。我們也可以用另外的方法,如取三个数X、Y、Z,令 X:Y:Z=x:y:1,来表示点P(x,y)。記作(X,Y,Z)。因为     

同余数问题与椭圆曲线

1 同余数是什么。边为整数X，Y，Z的直角三角形，其中(X，Y，Z)称为一组“毕达哥拉斯三元组”．在古希腊就已经由毕达哥拉斯、欧几里得与丢番图等人研究过．我国古代周髀算经之商高定理。     

一个极值问题

设X、Z是两线性赋范空间,Y是巴拿赫空间,映射:X→Y,说在x_0∑X处有Frechet导数l,即有界线性算子l:X→Y,满足||(x_0+εx)-x_0-εlx||_Y=o(ε),x∈X,ε→0。又连续线性算子Г:X→Z,Ω是Z中的凸集,记U={x∈X|Г(x)∈Ω},U_0={x∈X|Г(x)=0}。设F是Y上的连续凸泛函,考虑极值问题:     

求最佳Lagrange型插值逼近的一种方法

设W是紧空间,两点x,y间的距离用ρ(x,y)表示,对于W的任一紧子集Y,用C(Y)表示Y上的实(或复)连续函数空间。对任意g∈C(Y),定义‖g‖=sup{|g(x)|:x∈Y}。 设X是W的紧子集,Z是X的有限子集。又设F是连续依赖于参数A的逼近函数,A在实(或复)n维空间的一个非空闭子集P内取值,且对一切A∈P,均有     

分块矩阵取得极值秩的条件

证明了如何选取矩阵X,Y和Z使得下面的分块矩阵(AXYZ)取得它的极大秩和极小秩,这里A∈C~(m×n)是一个已知矩阵,X∈C~(m×k),Y∈C~(p×n)和Z∈C~(p×k)是三个任意矩阵.     

西摩松线的一个性质

大家知道 :三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线 ,这条直线称做该点对于三角形的西摩松线 (Simson) .本文将给出关于三角形西摩松线的一个新性质 .定理　三角形的三个外角平分线与其外接圆交点的西摩松线共点 .已知　如图 1,在△ ABC(AB≥ AC)中 ,X、Y、Z分别是△ ABC三个外角∠ DAB、∠ ABE、∠ BCF的平分线 AX、BY、CZ与△ ABC外接圆的交点 ,且点 Xi、Yi、Zi(i =1,2 ,3)分别是点 X、Y、Z在直线 AB、BC、CA上的射影 .求证　直线 X1 X2 X3 、Y1 Y2 Y3 、Z1 Z2 Z3 三线共点 .先给出一个引理 :引理 [1 ]　…     

可加模型低维分量估计平均偏差的指数界

设(X,Z,y),(X1,Z1,Y1),…,(Xn,Zn,Yn)为取值于Rp×Rq×R中的I.I.d.随机向量,E|Y|<∞,Y关于(X,Z)的回归函数m(x,z)△E(Y|(X,Z)＝(x,z))具有可加结构:m(x,z)＝m1(x)+m2(z).为估计可加分量,采用Linton&Nielsen(1995)提出的直接估计法,给出了可加分量的最近邻估计和核估计.在较弱的条件下,建立了可加分量最近邻估计和核估计的平均偏差的指数界.     

The existence spectrum for overlarge sets of pure directed triple systems

A directed triple system of order v,denoted by DTS(v),is a pair (X,B) where X is a v-set and B is a collection of transitive triples on X such that every ordered pair of X belongs to exactly one triple of B.A DTS(v) (X,A) is called pure and denoted by PDTS(v) if (a,b,c) ∈ A implies (c,b,a) ∈/ A.An overlarge set of PDTS(v),denoted by OLPDTS(v),is a collection {(Y \{yi},Aij) : yi ∈ Y,j ∈ Z3},where Y is a (v+1)-set,each (Y \{yi},Aij) is a PDTS(v) and these Ais form a partition of all transitive triples on Y .In this paper,we shall discuss the existence problem of OLPDTS(v) and give the following conclusion: there exists an OLPDTS(v) if and only if v ≡ 0,1 (mod 3) and v 3.     

A Note on Equation X^n＋Y^n=Z^n

BysimPled。们‘ntarytllis note.Fo1’Z>Y>X,m已hodthe follo撇g招ults侧th侧p戈tto tlle equation尸+}一””公认91代fl lZ一Y>l,tlle叹uation尸+Y”,公11韶no Positive integer 501山ton ofthefo俄(X,y,P‘(X,P’,刁and印们,y,刁,场五ere p isPri此川15 Positive in记gcr2 .Fol·砚)2、thex℃ex如t a nuzn卜二二3,,兀气“冬百sudl that the Positive soluitiom of 12尸+P=公satisfy the iden 3 .For plll刀‘nunlberfollnX=戈凡,Y”乙姚,(Z,Z)=l汀and only江 Z一X=月,tity 丫一ZXYcos)+y“=才n>2,the equation尸+Y”=公has t…     

Banach空间上线性算子的伪条件数

设X和Y是两个Banach空间,用[X,Y]表示由X到Y上的所有有界线性算子全体之集,若算子A∈[X,Y]是可逆的,通常我们把A的条件K(A)定义为:若算子A∈[Y,X],存在广义逆,文献[1]中给出了A(关于A~ 的)伪条件数的概念。记A的伪条件数为,其定义为:显然,当A可逆时,1980年,匡蛟(员力灬)又对可逆算子引进了w—条件数的概念,对一     

整数环上一类矩阵方程Xn+Yn=λnI(n∈N,λ∈Z,λ≠0)的解

设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,M_m(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n≥3,二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M₂(Z),且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程Xⁿ+Yⁿ=(±1)ⁿI(n∈N,n≥3,X,Y∈M₂(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd(n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:■n∈N,Xⁿ+Yⁿ=λⁿI(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M_n(Z));X³+Y³=λ³I(λ∈Z,λ≠0,m∈N,m≥2,X,Y∈M_m(Z)).     

不等式约束的向量优化中值映射的余切上图导数

考虑如下的参数向量优化问题minK{f(w,x)|x∈X,g(w,x)∈C},这里f:W×X→Y是从赋范空间W和X的积到另一个赋范空间Y的Hadamard可微的单值映射,K Y是一个尖闭凸锥,C是Banach空间Z中的一个尖闭凸锥,g:W×X→Z是一个Fréchet可微的映射.借助目标函数的导数、约束映射的余切导数及拉格朗日映射给出了值映射的余切上图导数的两个表示.     

Remarks on a Noble''''s Theorem

Noble proved the following Theorem: If A (?) X with a nonisolated point and B (?) Y, then A × B is bounded in X×Y if and only if the projection map π : X × Y → X is a z-map with respect to A × B and A, A is bounded in X and B is bounded in Y. In this note, we give two examples showing the necessary and sufficient conditions of Noble's theorem are not right.     

线性流形上的广义中心对称矩阵反问题

设R∈Cn×n是满足R=RH=R-1≠±In的广义反射矩阵.若A∈Cn×n满足RAR=A,则称A为n阶广义中心对称矩阵,n阶广义中心对称矩阵的全体记为GCSCn×n.令X1,Z1∈Cn×k1,Y1,W1∈Cn×l1,S={A|‖AX1-Z1‖2+‖Y1HA-W1H‖2=min,A∈GCSCn×n},本文研究如下问题.问题Ⅰ.给定矩阵Z2,X2∈Cn×k2,Y2,W2∈Cn×l2,求A∈S,使得其中‖·‖是Frobenius范数.问题Ⅱ.给定矩阵A∈Cn×n,求A∈SE,使得其中SE是问题Ⅰ的解集合.本文给出了问题Ⅰ解集合SE的表达式,并导出了矩阵方程AX2=Z2,Y2HA=W2H有解A∈S的充分必要条件及其通解表达式,并给出了问题Ⅱ解的表达式以及求解问题Ⅱ的数值方法和数值例子.     

主理想整环上n阶矩阵环中的Goldbach问题

Abstract: In this paper, we consider the Goldbach's problem for matrix rings, namely, we decompose an n ×n (n > 1) matrix over a principal ideal domain R into a sum of two matrices in Mn(R) with given determinants. We prove the following result: Let n > 1 be a natural number and A = (αij) be a matrix in Mn(R). Define d(A) := g.c.d{αij}. Suppose that p and q are two elements in R. Then (1) If n > 1 is even, then A can be written as a sum of two matrices X, Y in Mn(R) with det(X) = p and det(Y) = q if and only if d(A) |p-q; (2) If n > 1 is odd, then A can be written as a sum of two matrices X, Y in Mn(R) with det(X) = p and det(Y) = q if and only if d(A) |p + q. We apply the result to the matrices in Mn(Z) and Mn(Q[x]) and prove that if R = Z or Q[x], then any nonzero matrix A in Mn(R) can be written as a sum of two matrices in Mn(R) with prime determinants.     

一个猜想的否定──莫莱三角形的两个性质

将任意△ABC各内角三等分，每两个角的相邻三等分相交得△PQR（内莫莱三角形），AX、BY、CZ分别为角A、B、C的平分线，且它们与QR、RP、PQ的交点分别为X、Y、Z（阅图1）．季平龙猜想「”：A、X、尸；BJ、Q；C、Z、R分别荣线．本文否定这一猜想．H结出寞京三角形两个三线并点在质。性质ig凸ABC为非着腰三角形，则在上述记自下，人、X、P；B、Y、Q；C、Z、R＄ffi三点不某城．任回纽图1，在西BPC中，由正孩定理而在西ABP5凸ACP中，用正弦定理可得由①、②可得面ABC为非等腰三角形，＆ZBAPfZCAP．又AX为Z人的平分线…