同余数问题与椭圆曲线 献给杨乐教授80华诞

设n为一个模8余5的正整数,使得n的所有素因子均模4余1且Q((-n)~(1/2))没有阶为4的理想类.本文引入对n的素因子个数的归纳方法,给出椭圆曲线E(n):ny~2=x~3-x上Heegner点的非平凡性,从而给出n为同余数的证明(定理6.1).本文还综述对同余椭圆曲线的Goldfeld猜想及BSD猜想(Birch和Swinnerton-Dyer猜想)方面的结果.一方面,基于这种归纳方法, Tian等(2017)推广这一结果得到了更多的同余数,再结合Smith (2015)及Heath-Brown (1994),本文证明同余数问题的弱Goldfeld猜想(主定理A).另一方面,基于定理6.1以及Li、Liu和本人(2019)的工作,本文证明完整BSD猜想对椭圆曲线E~((n))成立(主定理B).这样得到了完整BSD猜想对无穷多条秩为1的椭圆曲线成立.     

一类超椭圆方程有正整数解的必要条件的问题

研究一类超椭圆方程(n d)(n 2d)…(n kd)=y3有正整数解的必要条件,利用数论的一些基本方法,给出了一个新的结果,推进了Erd(o)s和Selfridge的猜想的证明.     

具有固定行列和k的阶为2k-2的(0,1)-矩阵的最大跳跃数

1992年Brualdi与Jung首次引出了最大跳跃数M(n,k),即每行每列均含k个1的阶为n的(0,1)-矩阵的跳跃数的极大数,给出了满足条件1≤k ≤n ≤10的(0,1)-矩阵的最大跳跃数M(n,k)的一个表,并提出了几个猜想,其中包括猜想M(2k-2,k)=3k-4 [k-2/2].本文证明了当k≥11时,对每个A∈∧(2k-2,k)有b(A)≥4.还得到了该猜想的另一个反例.     

关于有向图n·(C)3是优美图的一个猜想的证明

在文[1]中提出猜想:当n≡0(mod2)时,n·(C)3是优美图. 本文证明了这个猜想.     

一个猜想的简捷证明

文 [1 ]已证明 :在任意△ ABC中 ,有cos3 A cos3 B cos3 C≥ 38,其中“=”当且仅当△ ABC为正三角形时成立 ,并给出如下猜想 :cosn A cosn B cosn C≥ 3( 12 ) n,( n≥ 2 ,n∈ N) .文 [2 ]利用著名的 Jacobsthal不等式证明了这个猜想 ,下面利用平均值不等式给这个猜想一个简捷证明 .猜想证明 :当 n =2时不等式易证 (略 ) .当 n >2时 ,对非钝角△ ABC,由平均值不等式知 :2 ( 2 cos A) n n - 2≥ 4 n .cos2 A,即　 ( 2 cos A) n≥ 2 n( cos2 A - 14 ) 1 ,同理　 ( 2 cos B) n ≥ 2 n( cos2 B - 14 ) 1 ,　 ( 2 cos C)…     

图的正(负)特征值平方和界的估计

图G的特征值是指该图邻接矩阵的特征值,图G的正特征值平方和用符号S⁺(G)表示.关于图的正(负)特征值平方和界的估计,[Discrete Math.,2016,339(9):2215-2223]给出一个有趣的猜想:对于连通图G有min{S^-(G),S⁺(G)}≥n-1,其中n表示图G的顶点数,S^-(G)表示图G负特征值的平方和.该猜想至今还远远没有被证明,只是对一些特殊的图类可以证明该猜想成立,如二部图、正则图、完全多部图、超能量图和杠铃图.本文主要证明了对顶点数不超过4的连通图的每个顶点作任意爆破后该猜想成立.     

关于一组勾股数的Jemanowicz猜想(英文)

设n是正整数,本文证明了丢番图方程(36n)~((x))+(77n)~((y))=(85n)~((z))除了(x,y,z)=(2,2,2)之外没有其它整数解,从而得到Jesmanowicz猜想在该类情况下的正确性.     

有关Hasson猜想的定理

分别记n次代数多项式和x~k的系数为零的n次代数多项式对函数f∈C[a,b]的最佳逼近为E_n(f)和E_n~k(f)。1980年,M.Hasson为用f(非多项式)的光滑性来刻划E_n~k(f)/E_n(f)的有界性,提出猜想一:f∈C_([0,1])充分光滑猜想二:f∈C_([-1,1])在_([-1,1])的基一内点不可导不久前许树声否定了上述猜想.但本文证明,若将猜想二的条件加强为f除一内点a∈(-1,1)外连续可导,则结论E_n~k(f)/E_n(f)=O_((1))仍可成立。     

Dixmer猜想

Dixmer 有一猜想:Weyl 代数 A_1(k)的任何自同态均是自同构.本文证明,如果 n=2 时的 Jacobi 猜想成立,则 Dixmer 猜想成立.     

数域上的最小k次非剩余

1964年王元院士在有理数域上建立了素数模的最小正k次非剩余的一些结果.本文将其中在广义Riemann猜想下的条件结果推广到代数数域.     

关于丢番图逼近中的一个猜想(Ⅰ)

对猜想:对于任给的n个正整数 a_1,a_2,…,a_n,总存在一个实数 x,使得‖a_ix‖≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的 n 个正数 a_1,a_2,…,a_n,总存在n个整数 k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,对任给的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且对更一般的猜想作了一些研究,给出了n=2,3 时的证明,其方法较以前完全不同.     

关于丢番图逼近中的一个猜想(Ⅰ)

对猜想:对于任给的n个正整数 a_1,a_2,…,a_n,总存在一个实数 x,使得‖a_ix‖≥1/(n+1),i=1,2,…,n,成立,我们给出如下更一般的猜想:对于任给的 n 个正数 a_1,a_2,…,a_n,总存在n个整数 k_1,k_2,…,k_n,使得a_ik_j-a_jk_i≤n/(n+1)a_j-1/(n+1)a_i,对任给的i,j∈{1,2,…,n}成立、并且对更一般的猜想作了一些研究,给出了n=2,3 时的证明,其方法较以前完全不同.     

一个不等式猜想的证明及推广之注记

在最近的文章[一个不等式猜想的证明及推广.大学数学,2018,34(3):99-102]中,作者给出了三个定理并利用Jensen不等式证明了两个等价不等式及其推广形式.本注记说明作者的证明过程有误,并指出作者文章给出的三个定理中有两个定理是不成立的.     

张黄羿的猜想证明

本刊2007年1月(下)期发表了湖南长沙市雅礼中学初中二年级65班张黄羿同学写的《关于m个9组成的数的几次方的猜测》.文中张黄羿同学猜想:m个9组成的数的n(1～5的整数)次方,等于在9~n的得数的每一数字前面交替地写上(m-1)个9和(m-1)个0的数,即若9~n=ABCD……N(n=1～5)则■文中张黄羿同学还猜想:9~n的得数是n位数.上述猜想对吗?请看     

一个有趣猜想的证明

文[1 ] 提出了下述猜想 :若自然数n使 4n+ 1为质数 ,则有且只有n个不超过 2n的不同的自然数 :k1 ,k2 … ,kn(k′1 ,k′2 ,… ,k′n为相应的不超过 2n的剩余的n个不同的自然数 ) ,使∑ni=1cos2ki- 14n + 1 π=1 + 4n+ 14,∑ni=1cos2k′i- 14n+ 1 π =1 - 4n + 14.本文给出上述猜想的证明并且指出序列k1 ,k2 ,… ,kn 的特性 .记A={x∶x是模p的二次剩余 },B ={x∶x是模p的二次非剩余 }.引理 1　 ( [2 ])设奇素数p≡ 1 (mod4) ,则( 1 ) 1 ,2 ,… ,p- 1中有且只有p - 14个偶数为模p的二次剩余 ,p - 14个奇数为模p的二次剩余 ;( 2 ) 1 ,2 ,… ,p-…     

两个猜想的解决

文[1]给出了如下的两个猜想:1.如图1,设P为四面体ABCD内一点,则PB PC PD相似文献   

首达渗流中关于lin n→∞ Non—n的一个结果

在二维首达渗流中,设边上通过时间的分布为F(x),首达时aon的轨道(route)的最短长度为Non,人们猜测lim n→∞ Non/n 存在.本文对F(0)＜1/2的情形,就一类特殊的分布证明此猜想成立.     

关于有向图n·_3是优美图的一个猜想的证明

在文 [1 ]中提出猜想 :当 n≡ 0 (mod2 )时 ,n· C 3是优美图 .本文证明了这个猜想 .     

Erds除数问题

<正> 值的分布问题,从五十年代到七十年代期间,曾有不少数论工作者用初等方法及筛法作出了若干研究成果,其中最出色的工作是王元教授在五十年代末的新筛法工作[8].王元在[8]中,对于一些著名数论函数如Euler.函数φ(n),除数和函数σ(n),以及除数函数     

解数列问题不妨就用归纳猜想证明法

<正>归纳猜想证明是一种由特殊出发,经过观察探求、归纳、猜想出可能的结果再加以论证的解题方法.猜想可使我们跃过常规思维的步骤,直接感知那些未曾出现过的东西,找到解题方法.数列中的一些问题,比如求数列的通项、前n项和问题等,往往可以利用归纳猜想并加以证明的方法来解决,在近几年高考中多多少少都有所体现,下面就以2014年高考中与其相关的两道数学试题进行求解,以飨读者.