利用多面体解多球相切问题

多球相切问题在各类竞赛中经常出现 ,但由于作图复杂 ,给分析解决问题带来困难 .如果能透过现象 ,抓住问题的本质 ,将其转化为多面体问题 ,常能顺利解决 ,请看以下几例 .例 1　 (2 0 0 2年“希望杯”试题 )将 3个半径为 1的球和一个半径为 2 -1的球叠为两层放在桌面上 ,上层只放一个较小的球 ,四个球两两相切 ,那么上层小球的最高点到桌面的距离是 (　　 ) .(Ａ) 3 2 + 63 　　 (Ｂ) 3 + 2 63(Ｃ) 2 + 2 63 　　 (Ｄ) 2 2 + 63分析　两球相外切时 ,球心连线通过切点 ,球心距等于两球半径之和 .不妨设下层三个大球球心分别为Ｏ1 、Ｏ2 、Ｏ3,…     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球．若j（j=1,2,3）号球放入j号盒子,则称该球放对了,否则称放错了．搴表示放对了的球的个数,求ξ的数学期望．     

不对号入座问题的一个递推公式

在高中数学排列组合问题中,有一类不对 号入座问题,其讨论解法相当复杂.例如:现有 1、2、3、4、5五个编了号的小球和五个编了号的 小箱.现要将五个球放入五个箱中,且1号球不 能放在1号箱中,2号球不能放在2号箱中 ……5号球不能放在5号箱中,每个箱中只能 放一个小球.问有多少种不同解法?答案是44     

以退求进

某些探索性问题,有时百思不得其解,但只要我们退一步来观察,就会让人茅塞顿开,使问题迅速获解.例1现有243个小球,从外观上看完全相同,除一个小球略轻外,其余的小球重量均相等.现有能满足各种操作要求的天平和砝码.问最少称几次,可保证将这个较轻的球找出来?解初见此题,颇感为难.但如果我们能回到初始状态,却能使问题迅速得到解决.实际上,若问题减少为两个球时,只需称一次:即把两球分别放在一架天平的左、右两个托盘上,托盘上翘的一边自然就是较轻的球.若问题减少为3个球时,也只需称一次:即在3个球中任取两球分别放在一架天平的两个托盘上,若…     

试谈立体几何中《多球》问题的解法

我们知道,立体几何中有关球的问题常常利用平面几何中圆的有关性质、定理和计算法则去解决。可是对于多个球在一起的有关问题应当用什么办法去解决呢?我认为关键在于抓住它们的球心位置和半径即可迎刃而解。现举例说明: 1.把半径为1的四个球垒成两层放在桌面上,     

小球何时能坠到杯底

这是一个有趣、颇具启发性的话题.一次自己在教学中这么问学生:“一个半球面状的酒杯,内部半径为R,放入一个半径不大于R的球,毫无疑问,球可坠到杯底.但若取一个内部为某圆锥曲线(抛物线、椭圆、双曲线)施转面的酒杯,杯口足够大,小球何以能坠底?”,学生们议论纷纷,但一时无以对答,我又具体给出小球半径若等于圆锥面焦点到相应顶点的距离时小球能坠底吗?经计算、考虑后,有的同学说能,有的说不能.我请了几位同学说一说理由,说不能的同学举了抛物面的例子,如旋成抛物面的抛物线方程为y2=2px(p>0),若小球能坠入杯底,相应小球被抛物线的面截成的…     

三元组合计数问题模型

三元组合计数问题模型４３１６００湖北麻城市一中甘超一高中教材里简单排列组合计数问题，通常可用“ｎ个小球放入ｍ个纸盒”的二元（球、纸盒）模型来描述．又按小球可否区分、纸盒容球数是否限制分为下述四个基本问题：１．ｎ个不同小球（可区分）任意放入ｍ个纸盒（每...     

一个概率试题的深思考

下面是浙江省台州市2010年3月份第一次模拟试卷中的一个试题:引例 将3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1,2,3,4,5的盒子里,用随机变量ξ表示有球盒子编号的最大值.(Ⅰ)求P(ξ=2);(Ⅱ)求ξ的分布列和数学期望Eξ.错误解答 该试卷所附的此题答案是这样的,(Ⅰ)由于是“完全相同”的三个小球,因此,把这三个小球放入有编号的5个盒子中,其结果有三;i)三个小球在其中的3个盒子中,有C35种;ii)三个小球分别在其中的2个盒子中,有C15·C14种;iii)三个小球都在其中的1个盒子中,有C15;这样共有C35+C15C14+C15=35种.而ξ=2表示的情形有1+C12=3种.所以,P(ξ=2)=3/35.     

组合问题的两个模型

有些组合问题 ,如果研究的元素数目较小 ,用加法原理和乘法原理是可以求得结果的 ;如果元素较多 ,则较为困难 ,因此必须构建模型 ,才能较快地解决 .例 1　现有 10个相同的小球和编号分别为 1、2、3的三只盒子 ,要求每只盒子所放的球数不少于它的编号数 ,共有多少种不同的放法 ?解　首先在各盒子中分别放入与其编号数相同个数的球 ,共用去 6个 ,还有 4个小球可以分为以下四组 (0 ,0 ,4)、(0 ,1,3)、(0 ,2 ,2 )、(1,1,2 ) ,由加法原理得不同的放法有C1 3 +P33 +C1 3 +C1 3 =15种 .变题　例 1中若将 10个小球改为 10 0个小球 ,其它条件不变 ,…     

新题征展(2)

Ａ．题组新编１．（１）把６个不同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数等于编号数,则不同的放法种数是　　;（２）把６个相同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数等于编号数,则不同的放法种数是　　;（３）把１１个相同的小球放入编号为１,２,３的三个盒子内,要求每个盒子的球数不小于它的编号数,则不同的放法种数是　　．２．（１）先将函数ｙ＝２ｓｉｎ（２ｘ－π３）的图象左移π６个单位,再将各点横坐标变为原来的３倍,便得到函数　　的图象;（２）先将函数ｙ＝２ｓｉｎ（…     

巧构几何体速解多球相切题

多球相切问题在高考和各类数学竞赛中经常出现,但由于学生对这类问题的感性认识比较少,因此在脑子中难以想象出题目的立体模型画出直观图,这样给分析问题解决问题带来困难,如果能透过现象,抓住问题的本质,巧构几何体画出直观图,常常能使问题得到快速解决,如何来构造几何体画出直观图呢?下面举例说明,供参考.1用“剥皮”法构造几何体画出直观图对半径相同的多球两两相切并与外面一个几何体相切的组合问题,根据多个相同半径的小球与外面几何体相切的特点,只要把外面的几何体向内收缩一个小球半径长,画出直观图,从而能使问题得到巧解.此法好像…     

对"数学游戏走进高中课堂"的尝试及思考

1 尝试 这是一堂有关排列组合两个原理的习题课,大致的教学过程是这样的. 师:今天我们做三个游戏.(学生显得有些兴奋)请看大屏幕的显示.(游戏一:有甲、乙、丙、丁四个透明的大玻璃缸,每个玻璃缸里装有10个球,它们的编号分别为:1,2,…,10,现在同学们分成四组并推出代表,上场后从对应的玻璃缸中每次拿出两个球,并且这两个球的编号的积要求是偶数,拿出之后,放在旁边,每小组先考虑三分钟,然后各推举一个选手上场同时开始比赛,拿出的组数最多且时间最少的一组为胜.)     

Rn空间中单位球面覆盖的半径问题

Banach空间X中的一个闭球族B是X的球覆盖，如果B中的任一元素不包含原点作为其内点，且B中元素之并覆盖了X的单位球面炙．一个球覆盖B称为是极小的当且仅当B的势小于或等于X中所有球覆盖的势．文献[1]证明了在R^n中球覆盖的极小势为n＋1，本文重点利用文献[4]所给出的n维空间中n-单形与其外接超球面间的若干关系，证明了在有限维欧氏空间R^n中极小球覆盖的最小半径为n/2，且当极小球覆盖中（n＋1）个球的球心恰好为球面詈＆的内接正则n-66单形的顶点时可以取到．     

排列组合中的分组问题

排列组合一章的习题中,常常涉及到对元素进行分组的问题.题目有对相同元素分组和对不同元素分组,有组的位置确定和不确定多种情况,学生弄不清这些题目的区别和联系,解答时很容易重复或者遗漏.本文编拟口诀并举例介绍巧妙解决分组问题的方法.1相同元素的分组问题(口诀:同元分组用挡板)例1将12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的放法有多少种?解本题是将12个球分成四组,每组必须有球的问题.将12个球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中任意选出3个插入挡板,把球分成4组,例如○○○|○○○○|○○|○○○…     

构造不定方程模型巧解几类组合问题

本文探究不定方程模型在几类组合问题中的简单应用,不定方程模型有下面两种情形.模型1不定方程x1 x2 … xm=n(其中m,n∈N ,且m≤n)有Cnm--11组正整数解.证明将n个相同小球排成一排,从球与球之间形成的n-1个空隙中,插入m-1个隔板,则把这n个小球分成m份,规定由隔板分成的从左至右     

静态流体球的Einstein场方程之解

作者求解了静态流体球的Einstein引力场方程,得到了四个新的解析解.新解之一可用来描述理想流体球,它的半径、总质量和物态方程的隐函数形式依赖于两个参数。     

一道联赛预赛题的通法求解

<正>赛题(2011年全国高中数学联赛河南赛区预赛题第5题)已知在半径为5的球面上有A、B、C、D四点,若AB=6,CD=8,则四面体ABCD的体积的最大值为_______.这是一道构思新颖、独具匠心的试题.由于四面体的体积随着它的位置、形状的变化而变化,考生抓不住变化中的三个"不变"(一个半径,一组对棱长),故而考生的得分率很低;即使文[1]也没有从     

浅谈用树形图解题

树形图是一种应用性很强的图解法.本文略述树形图在排列、组合方面的一些应用,帮助同学们解决一些较复杂的问题.一、放球问题例1把9个相同的小球放入编号分别为1,2,3的三个箱子中,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法有多少种?     

一对一错号排列的一个公式

排列组合问题非常灵活多变，比较难以把握．例如，四人同室，他们各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方法有多少种？它的原型是下列“小球人盒”问题．将编号为1、2、3、4的4个小球装人编号为1、2、3、4的4个盒中，每盒装1个球，且球与盒的编号不同，问不同的装球方法有多少种．我们把这个问题叫做“一对一错号排列”问题．本问题，由于球与盒的个数不多，用常规法解，难度倒不是很大，但增加球与盒的个数后，情况就不一样了，仍用常规法解，难度将随之增大．因此，对于这类问题如果…     

祖暅原理的探索性内涵

1教材关于半球体积的求法 在使用祖暅原理推出半球的体积时，高中数学教材《立体几何》使用的方法是：取一个底面半径和高都等于R的圆柱，从这个圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面中心为顶点的倒立圆锥，之后把所得的几何体和底面朝下的半球放在同一个平面α上，然后证明这两个几何体合乎祖暅原理的要求，断定它们的体积相等，从而求出半球的体积。