正四面体内切球的几个不变量

笔者在文中给出了正四面体外接球面上点的三个性质,得到了三个不变量(定值),最近,笔者在研究正四面体内切球面上点的性质时,同样也得到了三个不变量(定值),现介绍如下,并利用向量给予证明,同时给出两个猜想。     

求原函数的几个典型例题

原函数是一个重要概念,下面举几个与之有关的典型计算例子,以加深理解.例 1 设 f(x)的一个原函数 F(x)=(1+sinx)Inx 求 integral (xf′(x)dx)     

内切球与多面体的体积

众所周知,一个多面体切割成若干个小多面体后,这些小多面体的体积之和与原多面体的体积相等。运用这一思想方法,可以方便地解得一类关于已知多面体内一点与各面都有垂线段条件下的立几问题。仅举一例。一球外切一四棱台,求证二者体积之比等于二者表面积之比。证明连接球心和四棱台的各顶点,得到六个小四梭锥,其底面分别是S_1,S_2,…,S_6,球半径的R,于是根据体积相等关系得     

有关常数项级数的几个典型例题

通过实例考察常数项级数收敛和发散时一般项的一些特点,并讨论级数不满足比值判别法、根值判别法或莱布尼茨定理的条件时的收敛性问题.     

有内切球的几何体的体积

数学的一个基本作用 ,“就是提供自然现象的合理结构 .…数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命 ,使其成了有联系的有机体 .”(M .克莱因 ) .象本篇那样 ,虽然讨论的只是一个小课题 ,却使学生们看到了 ,数学内容之间的联系是那么紧密 ,数学事实的生命力是那样的强盛 ,它会延伸得很远很远 .也就是在这样的过程中 ,数学对象的本质自然地得到了揭示 ,数学的美 ,也明白地得到了昭示 :你看 ,球体积与球的表面积之间的关系 ,竞然也可以纳入到有内切球的几何体的体积公式之中 .可惜的是 ,流行的总是割裂地孤立地零碎地考题的现实 ,使这一种生动的发展式的在事物的联系中学的做法 ,很少能在课堂上见到了 .因此 ,可以顺便问一句 :联系 ,发展 ,结构 ,美 ,…也能进入考题中么 ?]     

从内切圆类比到内切球

<正>数学家波利亚曾说过,"类比是一个伟大的引路人,求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题".类比,是根据两个对象或两类事物间存在着的一些相同或相似的属性、特征、关系等,推断它们之间也可能具有的其它一些相同或相似的一种推理形式,比如,圆与球类比,三角形与三棱锥类比,椭圆与双曲线类比,等差数列与等比数列类比,在函数与导数、排列组合中也存在类比现象,它们通常以类比思维为轴心,与数学思想方法、数学基础知识整合,考查探究能力、创造能力和合情推理能力.我们知道,在△ABC中,由正弦定理可求     

四面体有内切球吗？

求函数周期尤其是求两个函数和（差）的周期（本文所提的周期均指最小正周期），是高中数学的难点，有些书刊资料介绍了一种最小公倍数法，即先求出两个函数各自的周期，然后求它们的最小公倍数即为两个函数和（或差）的周期．对此学习者有很多疑惑，如结论是否恒成立？两个函数可否不是三角函数？可否推广到多个函数和（差）？本文作如下探究．     

内接（外切）旋转体的几个结论

文 [1 ]介绍了旋转体与内切球的几个最值问题 .在平时教学中 ,本人也总结出了几个类似结论 .结论 1　在定圆锥 (底面半径为ｒ ,高为ｈ)的内接圆柱中 ,体积最大的圆柱与定圆锥的体积之比等于该圆柱与定圆锥的底面积之比 ,即Ｖ最大圆柱Ｖ锥 =Ｓ最大圆柱底Ｓ锥底 =49.当且仅当圆柱的底面半径等于 23ｒ ,高为 13ｈ时取等号 .证　设圆锥的底面半径为ｒ ,高为ｈ ,圆柱底面半径为ｘ ,体积为Ｖ ,由相似三角形可知 ,圆柱的高为ｒ -ｘｒ ｈ ,故Ｖ =πｘ2 ·ｒ -ｘｒ ｈ=πｈｒｘ2 (ｒ-ｘ)=πｈ2ｒｘ2 ( 2ｒ - 2ｘ)≤πｈ2ｒｘ +ｘ + ( 2ｒ - 2ｘ)33=42…     

四面体有内切球吗?

文[1]介绍了空间任意不共面的四点可同在一个球面上,即任意四面体一定有一个外接球.那么,任意四面体一定有内切球吗?这是不久前一个学生问到的问题.本文对此做个回答,也算是对文[1]的补充.与平面几何中角平分线相类比,我们把平分一个二面角的半平面称为这个二面角的分角面.引理     

剖析典型例题,提高立几解题能力

立体几何是学生学习数学深感困惑的一科.一道五、六成难的立几题,学生做起来,其难度似不在八、九成难的其它数学题之下.究其原因,一是不善分析题中线、面位置关系,二是缺乏解决问题的方法及综合手段而难以入手.因而对典型例题进行剖析,疏理线面中平行、垂直等关系,再用一题多解的形式,在一道题中展现过去学过的各种知识与方法,加以归纳总结,比较其特点与优劣,从中悟出解题规律.这样做,有利于在复习中知识的系统性,方法的全面性.这样做,可使学生有法可循,有路可走,会分析,不畏难.笔者以为:这确实是立体几何复习中事半功倍之举。试举几例供同行指正。     

解析几道典型的向量题

从2000年起,向量正式加入高考试题的行列,经过几年的锤炼,考查的方向已从最初的以“三点共线”为代表的初级阶段,过渡到以“三角形四心”为代表的提高阶段,直到现在的“以各种运算的几何意义”为代表的灵活运用阶段．对向量几何意义的理解将使我们大大加快解题速度,提高解题效率．     

141有内切球的几何体的体积

[主持人按数学的一个基本作用,"就是提供自然现象的合理结构.…数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命,使其成了有联系的有机体."(M·克莱因).象本篇那样,虽然讨论的只是一个小课题,却使学生们看到了,数学内容之间的联系是那么紧密,数学事实的生命力是那样的强盛,它会延伸得很远很远.也就是在这样的过程中,数学对象的本质自然地得到了揭示,数学的美,也明白地得到了昭示:你看,球体积与球的表面积之间的关系,竞然也可以纳入到有内切球的几何体的体积公式之中. 可惜的是,流行的总是割裂地孤立地零碎地考题的现实,使这一种生动的发展式的在事物的联系中学的做法,很少能在课堂上见到了.因此,可以顺便问一句:联系,发展,结构,美,…也能进入考题中么?]     

两道例题的简解

<正>《中学生数学》2013年第4期(初中刊)刊登了文章《中考反比例函数问题两例》,文中介绍了"设辅助未知数"的方法,倒也切实可行.但是笔者研究发现,若不设辅助未知数,借助面积关系解题更加简单.首先明确一个简单的小结论:如图1,点P为反比例函数y=k/x的图像上任意一点,过点P向两坐标轴作垂线,垂足分别为A、B,则     

切球问题的几种转化策略

切球问题的几种转化策略０６１００１河北沧州市二中张忠旺在数学竞赛中，常有切球问题出现，这类问题一般不易画出其立体图形，求解比较困难．本文介绍这类问题的几种转化策略．１作出截面图形，转化为平面几何问题例１正四棱锥内接于半径为Ｒ的球，且外切于半径为ｒ的球...     

球内接、外切圆台的侧面积与体积最值探讨

我们知道,球内接圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最大值,而球外切圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最小值,那么,球内接、外切圆台的侧面积与体积是否存在最大或最小值呢?本文拟通过对角参数的适当选取,解决这一问题。问题1 设球的半径为R,求球内接圆台的侧面积与体积的最大值。解如图1,等腰梯形ABCD为球内接圆台的轴截面,EF过球心O且与BC垂直,设∠EOD=α,∠FOC=β,圆台的上、下底半径、高及母线长则分别为     

浅谈圆锥曲线典型例题的复习

高三复习时,圆及其圆锥曲线的中点弦是高中几何内容重要一节,必须十分重视.教学中应充分发挥典型题的教学功能,对其进行深入的研究和探索,     

两道例题的解法研究

《上海中学数学》2002年第3期《绝对值教学中的多项思维》一文举例说明了含有绝对值符号的问题的多种处理方法,今对其中的两道例题的解法进行进一步的研究. 【例1】(原文的例3)设x2+y2≤4,x和y为实数,求证|3x2-8xy-3y2|≤20. 原文给出的解法是三角换元法,今给出一种纯代数解法. 当a1,b1,a2,b2为任意实数时,有(a1b1+a2b2)2≤(a12+a22)(b12+b22), (1)     

—道不定积分例题的解法

樊映川等编《高等数学讲义(上册)》(第2版,人民教育出版社,1964)第7章:不定积分,§7.4换元积分法,例12ta∫n5xsec3xdx,也被选为同济大学应用数学系主编《高等数学(上册)》(第5版,高等教育出版社,2002)第4章:不定积分,第2节换元积分法,例19,可见这是一个好的例题.原解法如下:ta∫n5xsec3xdx=ta∫n4xsec2x(secxtanxxdx)(注:括号是作者加的)=(s∫ec2x-1)2sec2xdsecx=(s∫ec6x-2sec4x sec2x)dsecx=sec7x/7-2sec5x/5 sec3x/3 C.该题目的难点在于学生必须看出或想到secxtanxdx=dsecx,这一点在初学不定积分时是不容易看出的.下面给出一种简单的解…     

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？

外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体吗？４４３０００宜昌师专数学系９３２１班丁评虎以前，我一直认为，外接球、内切球球心重合的四面体是正四面体．后来，仔细研究这一问题时，我吃惊的发现上述结论竞是错误的．定理四面体外接球、内切球球心重合的充要条件是四...     

有内切球的圆台的判别与构作

我们都知道，对于一个给定的球，总有它的外切圆台（不只一个）存在．但反过来，对于一个给定的圆台，却不总有其内切球．为此，本文将介绍抛物线焦点弦的一个应用——有内切球的圆台的判别与构作．定理如果抛物线的焦点弦与其对称轴不垂直，那么这条焦点弦绕其准线旋转一周而生成的圆台（焦点弦生成圆台侧面，其端点到准线的垂线段生成圆台的两底）必有其内切球．如图1，F为抛物线C的焦点，线段AB为C的一焦点弦，直线A；BI为C的准线，且AAI、BBI分别垂直AIBI于AI、BI；D为C的顶点，o为线段A1B；的中点．要证明直角梯形AIABBI…