不等式sum from k=1 to n(x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n (x_k))~2/(sum from k=1 to n (y_k))的应用

本文试图通过一串竟赛题谈一谈(*)的广泛应用。这些竞赛题虽有一定难度,但只要利用不等式(*)来证明,则问题十分简捷合理,新     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

数学奥林匹克问题选登

1992年6月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 25.证明因为不等式(*)关于x,y,z对称,所以不妨设x≤y≤z,令y=x+m,z=x+m+n(x≥0,m≥0,n≥0),代入不等式(*)两边得 x·(x+2m+n)~2+(x+m)·(x+n)~2+(x+m+n)·(x-n)~2     

1个简单不等式及其应用

命题若 x∈R,y>0, 则x/y(x-y)≥x-y (*) 证明 x/y(x-y)≥x-y(？)x(x-y)≥y(x -y)(y>0)(?)x2-xy≥xy-y2(?)x2-2xy+y2≥0(?)(x-y)2≥0,而此式显然成立,故(*)式成立,从证明过程易知等号成立的条件是x=y. 下面我们来看这个命题的一点应用. 例1 对任意实数a>1,b>1有不等式:     

柯西不等式的一种构造证法

一维离散型随机变理X的方差(或数学期望)蕴含着一个不等式关系,即E(X2)≥(E(X))2(*)当且仅当X服从退化分布时(*)式中等号成立.柯西不等式设n为大于1的自然数,a1,a2,…,an与b1,b2,…,bn为实数,则(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等号当且仅当b1=b2=…=bn时成立(当bi=0时,约定ai=0,i=1,2,…,n).     

例说蜕化圆锥曲线的应用

一般地,二元二次方程F(x,y)=0(*)表示圆锥曲线.如果方程(*)能化成:(x-m)2/a2 (y-n)2/b2=0.的形式,则(*)表示     

斜对角2×2分块算子矩阵的二次数值半径不等式

本文研究了Hilbert空间上斜对角2×2分块有界算子矩阵■的二次数值半径不等式,应用非负实数的经典凸性不等式推广了A的二次数值半径不等式.     

巧用a/b~2≥2/b-1/a证明不等式

《中学生数学》2 0 0 1年 6月上期第 2 6页刊文《不等式ａ2ｂ≥ 2ａ -ｂ的推广及应用》 ,2 0 0 2年5月上期第 2 1页又刊文《不等式 ａ2ｂ≥ａ -ｂ4的推广及应用》 .受两文启发 ,笔者将给出与上述两不等式结构相似的一个不等式 ａｂ2 ≥ 2ｂ-1ａ的应用 .事实上 ,由不等式 1ｂ-1ａ2 ≥ 0推广得1ｂ2 ≥ 2ａｂ-1ａ2 ,当ａ >0时 ,有 ａｂ2 ≥ 2ｂ-1ａ　①成立 .例 1　设ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ 是ｎ个互不相同的自然数 ,证明 :∑ｎｋ=1ａｋｋ2 ≥∑ｎｋ=11ｋ.(第 2 0届ＩＭＯ试题 )证明　由①式有ａｋｋ2 ≥ 2ｋ-1ａｋ,从而∑ｎｋ =1ａｋｋ2 ≥ 2∑ｎ…     

对三角形三线之和的一个猜想的证明

江苏褚小光先生于2009年3月7日在全国不等式研究网站上提出如下猜想. 　　在非钝角△ABC中,外接圆半径为R,BC为最小边,ma、wa、ha分别为BC边上的中线、角平分线、高线,则ma+wa+ha≥(9)/(2)R, ① 　　当且仅当△ABC为正三角形时(*)式取等号.……     

数e在证明不等式中的一些应用

文[1]证明了:当n(≥3)∈N时,不等式nn 1＞(n 1)n……(*)成立。我在第二课堂向学生推荐文[1],引起他们的很大兴趣,同时他们又提出:如何比较n_0~(n 1)与(n_0 1)~n的大小?如何比较(n 1)~(n_0)与n~(n_0 1)的大小?(其中n_0是给定的自然数)。 本文利用数e的有关性质,给出(*)的另外三种证法,同时,对学生提出的两个问题,分别给出原则的与部分的回答,最后,举例说明数e在研究不等式中的一些应用,仅供第二课堂教     

sinx≤x≤tanx的简单运用

众所周知,sinx≤x≤tanx,z∈[0,π/2], (*)当且仅当x=0时等号成立．三角不等式竞赛题外形及结构较奇特,证明方法灵活多变,无章可循．如果能很好地利用重要结论(*),可收到出奇制胜的效果． 1、求证具体角的三角函数构成的不等式例1 证明:sin20°≤7/20．(第12届全俄数     

On A. Lino, W. Demelo and C. C. Pugh''''s Conjecture (Part 1)

For Lienard's equation or its equivalent system (?)=y-F(x),(?)=-x,(F(x)=integral from n=0 to x (f(ξ)dξ)). (*) there were quite a few papers studied (*) to have some limit cycles. Although there were few papers studied (*) to have at most m limit cycles, but good results were given already. A. Lino, W. Demelo and C. C. Pugh conjectured following fact: when f(x)=sum from N (a_ix~i) (N=2n+1,2n+2),system (*) has at most n limit cycles.     

一个代数不等式的加强

近两年,在众多刊物上,载有不等式: multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)≥(λ/n+n/λ) (*)这里x_i∈R~+(i=1,2,…,n),x_1+x_2+…+x_n=λ≤n,仅当x_1=x_2=…=x_n时(*)式取等号。现在,我们给出(*)的一个加强: 定理设x_i∈R~+(i=1,2,…,n,n≥2),且sum from i=1 to n x_i=λ(常数)≤n,则 sum from i=1 to n(x_i+1/x_i)~(-1)≤n(λ/n+n/λ)~(-1) (1)当且仅当x_1=x_2+…=x_n时,(1)式中的等号成立。     

a~2+b~2≥2ab的一点引伸

众所周知,不等式a~2+b~2≥2ab是一个应用广泛的重要不等式,由此容易推出以下两个不等式: a~2+b~2+c~2≥ab+bc+ca; a~2+b~2+c~2+d~2≥ab+bc+cd+da。进一步推广可得更一般的如下: 定理当a_1∈R (i=1,2,…,n)时,     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

不等式α~2/b≥α-b/4的推广及应用

《中学生数学》2001年6月上期第26页刊文《不等式a/b≥2a-b的推广及应用》,读后受益匪浅·受此启发,笔者又发现不等式a/b≥a-b/4及其推广也有很高的应用价值,由恒不等式 ,容易推得 ,当b>0,有不等式 成立. 在不等式的两端同乘以 得     

一个定义在R~2的Hilbert型不等式

建立了一个定义在R~2上的Hilbert型积分不等式及其等价形式.作为结论的应用,赋予参数不同的值,还给出了一个最佳常数因子与余割函数有关的Hilbert型不等式,及一些新的有意义的特殊结果.     

一点带一面,一题牵一串

定理1 对于x_k>0,y_k>0,(k=1,2,…,n),则: sum from k=1 to n (x_k~2/ y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2/sum from k=1 to n y_k (*) 证明由柯西不等式得; sum from k=1 to n y_k·sum from k=1 to n ((x_k~2)/ y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2 ∴sum from k=1 to n (x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2/sum from k=1 to n y_k(等号当且仅当x_1/y_1=x_2/y_2=…=x_n/y_n时成立。) 运用上题的结论我们可以解答近几年来国内外有较大难度的一串竞赛题,灵活地运用不等式(*)能收到“一点带一面,一题牵一串”的效果。下面略举几例。以供读者参考。     

从一道经典的外国数学竞赛题到两个优美的三角不等式

1963年,一道经典的不等式题在莫斯科数学竞赛中应运而生.原题如下:设a,b,c∈R ,求证:a b c bc a ca b≥32(*)这个不等式的证法很多,下面本人给出一个简单的证明过程.证明由对称性,不妨设:a≥b≥c>0,则1b c≥1c a≥1a b,所以(顺序和)ab c bc a ca b≥bb c cc a aa b(乱序和),(顺     

不等式a~2/b≥2a-b(b&gt;0)的变式

高中《代数》下册给出的二元均值不等式是 :如果 a、b∈ R,那么　　　　 a2 +b2≥ 2 ab 1当且仅当 a =b时取“=”号 .此不等式可变形为 :定理　如果 a∈ R,b∈ R+,那么　　　　　　 a2b ≥ 2 a - b. 2当且仅当 a =b时取“=”号 .下面谈谈对不等式 2的思考 .变式 1　不等式 2的特征是左边是商式 ,右边是差式 ,即不等式从左到右的“缩小”过程是一个“裂项”的过程 ,在此我们不妨把不等式 2叫做裂项不等式 .如果结合数列中裂项—叠加求和的方法 ,那么可以编拟许多不等式的题目 .在不等式 2中 ,若分别用 xi 代 a,xi+1代 b,i = 1,2 ,… ,n.其中 xn+1=x1,则有x21x2≥ 2 x1- x2 ,x22x3≥ 2 x2 - x3,… ,x2nx1≥ 2 xn - x1,相加可得　　 x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这样得到 :题 1　如果 x1,x2 ,… ,xn都是正数 ,那么x21x2 +x22x3+… +x2n- 1xn +x2nx1≥ x1+x2 +… +xn.这是一道 1...