一道华杯赛试题的有趣拓展——平方后的子母数

平方数的海洋中有许多神奇的结论,例如某些自然数平方的对半和仍然是连续自然数的平方^[1];若正整数a,b,c满足c=a+b/a-1/b则c是完全平方数^[2],这些让我们感受到平方数的美妙魅力.母平方数m²的尾数(个位开始的几位数.例如m²=225的尾数25是平方数,尾数5就不是平方数)如果也是平方数t²,我们称m为母数,t为子数.本文研究已知子数(或尾数),探究母数的规律.     

平方数一性质及其应用

对自然数N,若n~(1/2)是自然数,则称N是完全平方数。完全平方数有如下一条性质: 自然数N是完全平方数的充要条件是N的正约数的个数为奇数(注:这一性质的充分性部分曾作为八四年北京市的数学竞赛题)。证:充分性:设p是N的正约数,则p~(-1)N也是N的正约数,所以,N的正约数除n~(1/2)外,都是成对出     

神奇的完全平方数

<正>如果一个自然数是某个整数的平方,那么这个自然数就叫做完全平方数.把一个整数平方以后得到的数记作n2,那么n2就是一个完全平方数.完全平方数有着奇妙的数字特征,完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个.除此以外,个位数字的特征还影响着十位数字的变化.下面就一个数平方以后得到的完全平方数的特征进行简单的分类.     

2~a＋2~b＋2~n为完全平方数的充分条件

２~ａ＋２~ｂ＋２~ｎ为完全平方数的充分条件沈阳市于洪区供销合作社孙哲题已知２ａ＋２ｂ＋２ｎ是完全平方数（ａ、ｂ是已知自然数），求自然数ｎ．关于本题解的讨论是一个有趣而又困难的问题．本文对此进行初步探讨，给出２ａ＋２ｂ＋２ｎ为完全平方数的一个充分条件．...     

关于印度奇妙数组三个性质的证明

文[1]和文[2]都给出了一个由印度数学家发现的有趣数学现象,就是有13个三位自然数956,957,…,968,其中每个数的平方数"对折拆开"再相加,其和数又是一个完全平方数,将这些完全平方数取算术平方根,恰好从43至31,也是一组连续的自然数(见下表).文章中发问:(1)除了956～968以外,是否还有其他具有类似性质的连续自然数组;(2)若存在,分布在哪里,有什么规律.……     

乘法公式与数学游戏

数学兴趣小组组长小明宣布这次活动的主题是"相邻自然数平方的关系",他说:"我们来做个游戏.你们只要告诉我一个自然数的平方数,我就能在20秒钟内说出与它相邻的自然数的平方数."     

一类是完全平方数的连整数

一类是完全平方数的连整数周月英，李振亮（内蒙古乌盟师范学校）将一个自然数连写两次而得到的数，我们称其为连整数．如２３２３，１４７１４７等．下面给出一类完全平方数的连整数．考虑自然数ａｎ＝１０１１（２ｎ＋１）＋１（ｎ为非负整数），易证ａｎ能被１１整除，...     

多边形的边数

如图一个多边形,从一固定顶点引向其它顶点的对角线,将该多边形分割成若干个三角形.现已知这多边形边数与分割得三角形个数均是两位数,它们是由四个各不相同数码组成的,其中较小的是个完全平方数.你能说出这多边形的边数吗?(温州市　李方钥)(答案在本期内找)趣味数学答案多边形边数比分得三角形个数大2,由于四个数码不同,所得两个二位数型为0,8或1,9.两位数个位数是9的完全平方数只有49.从而知道这是一个51边形多边形的边数!温州市@李方钥     

对一个“完全平方数的个数”问题的再探求

问题已知n为自然数,28 212 2n是一个完全平方数,求n．这是2002年《中学生数学》第9期(下) P36初二年级“课外练习”题2．在第10期(下)P39的“上期课外练习题解答”中给出了n的三个值．笔者用“凑”完全平方数的方法,又“找”到了n的两个值．也就是说,在这个问题     

错在那里?

题 求自然数n,使2~8 2~(10) 2~n是一个完全平方数。 解法1 设2~4=x,则2~8=x~2,2~(10)=2~6·x原式化为x~2 2~6x 2~n,要使此式为完全平方数,应有△=(2~6)~2-4·2~n=0,n=10.     

10以内自然数的正整数次幂的尾数规律

10以内自然数的正整数次幂的尾数存在许多规律,其中最为奇特的一条规律是:10以内自然数的5次幂尾数就是其本身,即n5(n=0、1、2…9)的尾数为n.笔者通过研究,试图解释这些规律之间的相互联系,以及5次幂尾数巧合背后的一些数学原理.……     

数学问题解答

736.试证:任何四个连续自然数之积不是平方数。证.设四个连续自然数是n-1,n,n+1,n     

数之趣

数学就在我们身边．自然界万事万物纷 繁复杂,变化万端,绚丽多姿,而它们运动发 展变化无不蕴含数的变化规律,映射了数的世 界丰富多彩:正数与负数,奇数与偶数,素数 与合数,虚数与实数,整数与分数……而表示 事物序数和个数的自然数相应也有其独特的 魅力特征,色彩斑斓．下面介绍几种有趣的数． 一、完全平方数 题1有这样的两位数,交换该数数码所 得到的两位数与原数的和是一个完全平方数, 例如,29就是这样的两位数,因为29+92= 121=112,请你找出所有这样的两位数．     

构造是完全平方数的连整数的方法

构造是完全平方数的连整数的方法李抗强（湖南岳阳县六中４１４１１３）文［１］巧妙地构造了一类是完全平方数的这整数（连整数指２３２３，１４７１４７形式的整数），给人以启发．本文介绍一个构造是完全平方数的连整数的一般方法．约定，若（ｍ，１０）＝１，将下列集...     

连续完全平方数的一些有趣的性质

若a是整数,那么a~2就叫做a的完全平方数,例如:1,4,16,31,100,…若a为整数,n为自然数,那么a~2、(a+1)~2(a+2)~2、…、(a十n)~2叫做连续完全平方数。例如:1,4,9,16,25,36,49,64,…连续完全平方数有哪些性质呢? 我们知道,16= 4~2,25=5~2,在16和25之间的任意整数都不是完全平方数。这就是说:在两个连续正整数的平方之间不可能再有完全平方数。我们可以证明这个结论。证明: 设n和n+1是两个连续正整数。若有一个正整数a,使得a~2在n~2和(n+1)~2之间,即n~2相似文献   

关于四位完全平方数开平方的心算方法

贵刊于1991年第二期及第六期分别刊登了毛凤翔、陈启鸿二位同志的文章,论述了四位完全平方数的心算开方法。笔者认为这一方法还不够直观,规律性还不是很强,本文试图改进关于四位完全平方数开平方的心算方法。 一个四位(三位数在最前位加0)完全平方数,其平方根一定是一个两位数,所以只要     

一类完全平方数

先看一看下面的两个命题:1.两个相邻偶数的乘积加上1是一个完全平方数.2.四个连续整数的乘积加上1是一个完全平方数.这是两个熟知的命题,证明都是基于代数式变形中的配方.注意到,一个完全平方数减去1可以通过平方差变为两个式子的乘积,上述两个命题都是对此问题经“逆向思考”后得到的.本文就这类完全平方数介绍一些性质和结论.例1设a、6为正整数,且nb+1是完     

对一道题的一种错解的剖析

[题〕试求自然数、,使2‘.‘. 2,,9‘ 2’是完全平方数. 有一文利用“一数为完全平方数当且仅当它可以表为相差2的两自然数(其一或为零)之积与1的和”给出了如下的解答: 原式一2‘,,‘[l 2,(2 2一‘.,0)〕 令2‘一‘,90=22,即,=1992时有 2’.8‘ 2‘.9‘ 2‘二2=2‘…又25. 笔者以为这种解法也是不正确的,其一,该解法主观地认为。)1990,这是没有根据的;其二,将8十2’一‘.sB表为相差为2的二数之积时,为什么仅有22·(2 2’一‘9a0)这一种分析方式呢?其他的分析方式为什么不行呢? 原题恰好仅有二题,但若将题条件中2’二‘换成2’990,依原法就…     

“1985”趣题

值此19 55年来临之际,特造“1985,,数题,向本刊的编者、作者、读者致贺。1。已知数100…01,试证此散是合数。 19 85个0证明.’.100…01二10‘。“.+1=(10竺‘’)a+1、一,一一洲 1985个0=(10‘约“+1)。(101,2‘一10“:+1 ·’·迎二“’是合数· 19 85个0. 2已知一个自然数减去49后,是一个完全平方数,这个自然数加上40后,是另一个完全平方数,求这个自然数。 解:设所求的自然数为之,贝〔依题意得{ 一49=‘+40=石C(1)(马少且万>O,C>0.(2)一(1)得:C3一B.== 40由(3)知C>B,C一B)0,一(一49)=89(8)89为质数, 证明:利用(x+1)名’.‘(x+1)“”’…     

关于四位完全平方数开平方的心算法

贵刊于1991年第二期及第六期分别刊登了毛风翔、陈启鸿二位同志的文章，论述了四位完全平方数的心算开立法。笔者认为这一方法还不够直观，规律性还不是很强，本文试图改进关于四位完全平方数开平方的心算方法。