Non-existence of a steady rarefied supersonic flow in a half-space

The one-dimensional BGK model for a Boltzmann gas is studied by linearizing about a drifting Maxwellian. This linearized BGK model is then expressed as an operator differential equation whose unique solution is given by a contour integral of the resolvent of the relevant transport operator. The Wiener-Hopf factorization of the dispersion function for the problem is employed to show that the unique solution to the differential equation exists only for subsonic drift velocities.

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Riassunto Si studia il modello unidimensionale di Bhatnagar, Gross e Krook, linearizzato intorno a una maxwelliana con velocità di deriva. Si trasforma poi questo modello in una equazione differenziale operatoriale, la cui soluzione (unica) è data da un integrale curvilineo del risolvente dell'operatore di trasporto di cui ci si occupa. Impiegando la fattorizzazione alla Wiener-Hopf della funzione di disperisione del problema, si dimostra che la soluzione (unica) del problema esiste solo per velocita di deriva subsoniche.

     

Sulla influenza della polarizzazione delle radio-onde nei fenomeni di interazione ionosferica

Riassunto Si studia l'influenza della polarizzazione delle radio-onde su alcuni fenomeni non lineari nella ionosfera tramite una nuova e più completa relazione funzionale fra i vettori densità di corrente e campo elettrico. Tale studio riguarda la comparsa di onde di banda laterale e la loro dipendenza dalle direzioni di polarizzazione delle onde interagenti.

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Summary The influence of radio wave polarization on some nonlinear phenomena in the inosphere is studied through a new and more complete functional relation between current density and electric field vectors. This study is concerned with the occurrence of ?sideband? waves and their dependence on the polarization directions of interacting waves.

     

Sulla influenza dell'effetto Hall nella propagazione di onde magnetofluidodinamiche iu un fluido incomprimibile

Sunto Si esamina l'influenza dell'effetto Hall sulla propagazione ondosa it un fluido incomprimibile descritto dalle equazioni della magnetofluidodinamica nello schema del continuo. Nella parte I si studia dapprima la propagazione di onde piane di piccola ampiezza e poi quella delle onde di ampiezza finita. Nella parte II l'indagine é estesa alle onde cilindriche e nella parte III infine si discute la propagazione di onde piane e cilindriche nel caso in cui nello stato imperturbato il fluido non sia in quiete, bensì in moto uniforme. Nel lavoro si tiene conto delle azioni dissipative della viscosità e della conducibilità elettrica finita.

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Summary In this paper we discuss wave propagation in an incompressible conducting fluid considered as a continuous medium taking account of the Hall effect. In Part I we first consider the propagation of plane waves of small amplitude and secondly waves of finite amplitude. In Part II the discussion is extended to cylindrical waves and in Part III the propagation of plane and cylindrical waves is examined when in the unperturbed state the fluid is not at rest, but in a state of uniform motion. The dissipative effects of viscosity and finite electrical conductivity are taken into account in the present paper.

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A Bruno Finzi nel suo70mo compleanno.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. (Anno 1969) presso l'Istituto di Matematiche Applicate ? U. Dini ? della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.

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Entrata in Redazione il 20 ottobre 1969.     

Wave features for a heat conductor with thermal relaxation

Summary In the context of the nonlinear wave theory we study, in the case of a rigid heat conductor, the model proposed by G. Grioli. We point out some properties concerning exceptionality conditions and shock waves. We obtain some functional forms for the specific internal energy at equilibrium and for the heat conductivity by which a weak discontinuity wave never breaks down. Moreover we verify that the model is strictly exceptional.

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Sommario Nell'ambito della teoria delle onde non-lineari si studia un modello per la propagazione del calore proposto da G. Grioli, nel caso di un conduttore rigido.Richiedendo che il sistema di equazioni che regge il modello sia completamente eccezionale si ottengono alcune forme funzionali per l'energia interna all'equilibrio e per la conducibilità termica.Si verifica ehe il sistema é altresi strettamente eccezionale.

     

Legge di evoluzione delle discontinuità e determinazione di una classe di potenziali elastici compatibile con la propagazione di onde eccezionali in un mezzo continuo sottoposto a particolari deformazioni finite

Sommario Si determina un potenziale elastico compatibile con la completa eccezionalità delle onde di discontinuità in un mezzo isotropo con simmetria cilindrica sottoposto a deformazioni finite. Si scrive, inoltre, la legge di evoluzione delle discontinuità e si danno delle condizioni analitiche per la formazione di onde d'urto.

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Summary We point out an elastic potential requiring the existence of exceptional waves in an isotropic medium with cylindrical symmetry subject to finite deformation. The evolution of weak discontinuity and the analytic condition for occurrence of shock waves are determined.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei contratti di ricerca del C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

Wave features of a hodograph-like transformation for quasilinear hyperbolic systems

We study the properties of a variables transformation for a 2×2 quasilinear hyperbolic nonhomogeneous system of first order, related to wave propagation. The considered variables transformation transforms characteristic curves of the original system, into characteristic curves of the transformed system. We make use of this property to study the propagation of weak discontinuities (acceleration waves) compatible with the quasilinear system (1.1). Finally a special class of rate-type media is considered and asymptotic solutions are investigated.

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Sommario Si studiano le proprietà di una trasformazione di variabili per un sistema quasilineare iperbolico del primo ordine non omogeneo. La trasformazione considerata trasforma curve caratteristiche del sistema originale in curve caratteristiche del sistema trasformato. Utilizzando queste proprietà si studia la propagazione delle onde di discontinuità (onde di accelerazione) compatibile con il sistema quasilineare iperbolico considerato e si cercano soluzioni asintotiche.

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This work was supported by the C.N.R. through the G.N.F.M. and partially under contract No. 88. 01855.01.     

Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III. An hyperbolic model of elastodynamics

This is the third part of a series devoted to the existence, uniqueness, monotonicity, and asymptotic properties of the traveling wave solutions of diffusive-dispersive conservation law. In this part, we focus attention on a nonconvex hyperbolic model of two conservation laws arising in nonlinear elastodynamics and including nonlinear viscosity and capillarity terms. On one hand, using the techniques developed earlier, we study the properties of the corresponding classical and nonclassical shock waves and their corresponding kinetic relation. Several new features are found for this (hyperbolic) model: First of all, we distinguish here between a kinetic function and an inverse kinetic function; the latter is always globally defined but may fail to be globally invertible. Second, we show that shock waves with sufficiently small amplitude are always classical, for a fixed ratio of diffusion and dispersion. Third, we determine here the asymptotic behavior of the kinetic function for both shocks with large and small amplitudes.

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Sunto  Questa è la terza parte di una serie di lavori dedicati all'esistenza, unicità, monotonia e proprietà asintotiche delle soluzioni d'onda di propagazione per leggi di conservazione diffusive-dispersive. In questa parte, l'attenzione è focalizzata su un modello iperbolico non convesso di due leggi di conservazione che sorgono in elastodinamica non lineare, che tengono conto della viscosità non lineare e dei termini di capillarità. Da una parte, utilizzando le tecniche precedentemente sviluppate, studiamo le proprietà delle corrispondenti onde d'urto classiche e non classiche e le loro corrispondenti relazioni cinetiche. Diverse nuove proprietà sono state trovate per questo modello (iperbolico). Innanzitutto, qui distinguiamo tra una funzione cinetica ed una funzione cinetica inversa, quest'ultima essendo sempre definita globalmente ma possibilimente non sempre globalmente iinvertibile. In secondo luogo, mostriamo che onde d'urto con ampiezza sufficientemente piccola sono sempre classiche, per un valore fissato del rapporto tra diffusione e dispersione. In ultimo, determiniamo il comportamento asintotico della funzione cinetica per onde d'urto aventi sia ampiezza grande sia piccola.

     

Thermo-mechanic shock waves in elastic materials and viscous fluids

Sunto Si studiano onde d'urto termo-elastiehe, precisamente T--onde d'urto, propagantisi in corpi che o sono elastici, o appartengono a una certa classe K di fluidi Stokesiani, includenti propriamente quelli di Navier-Stokes. Inoltre si propongono dei problemi unidimensionali di evoluzione tnvolgenti T--onde d'urto, posti in una forma linearizzata. La teoria delle onde termo-meccaniche di accelerazione, o T--onde di accelerazione, per corpi elastici e fluidi di Navier-Stokes, è estesa brevemente alla classe K; inoltre si mostra che essa concorda con la presente per onde d'urto. Ciò ha luogo qualitativamente in ogni caso, e quantitativamente in molti casi importanti, includenti tutti quelli di T--onde (d'urto o di accelerazione) propagantisi in corpi elastici (o fluidi non-viscosi). Si intende che sia che esplicitino ed estendano un certo diffuso procedimento per studiare la propagazione delle onde in un certo corpo reale schematizzato soddisfacentemente da un corpo C capace di conduzione termica, il quale sia elastico o sia un fluido viscoso. Secondo questo procedimento (i) si considera un certo corpo puramente meccanico, (ii)si studiano le onde di accelerasione o d'urto in esso, e (iii)si attribuiscono i risultati di questo studio a C. Come è posto in evidenza in [1], sia che la parte di connessa eon onde di accelerazione, sono non-ortodossi, ossia incompatibili con la validità incondizionata di tutte le leggi fisiche. Inveee, come la corrispondente parte di, è ortodossa. Per il suddetto accordo tra e, questo fatto fornisce una spiegagione del successo sperimeniale di. Sia che sono teorie termo-meccaniche di discontinuità iterate in quanto in esse è necessario porre qualche postulato aggiuntivo, come analogo della scelta di in o rispettivamente.

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This work has been performed within the sphere of activity of the research group n. 3 of the C.N.R. (Consiglio Nazionale delle Ricerche) for mathematical physics, in the academic year 1978–79.     

Similarity solutions and model constitutive laws to viscoelasticity with application to nonlinear wave propagation

Nonlinear viscoelastic media are investigated within the framework of the group analysis. By requiring the governing system of equations to be invariant under the dilatation group, some classes of material response functions are characterized. Furthermore several sets of self-similar solutions to the model of interest are determined. Finally for the Maxwell media wave propagation into a non constant state described by a similarity solution is studied and the occurrence of a shock wave is considered.

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Riassunto Si considera un modello per i mezzi viscoelastici non lineari nell'ambito dell'analisi gruppale. Richiedendo che il sistema di equazioni di interesse sia invariante rispetto al gruppo di dilatazione, si caratterizzano delle classi di funzioni di risposta per il materiale. Inoltre si determinano diverse soluzioni di similarità. Successivamente nel caso dei mezzi di Maxwell si studia la propagazione di onde di discontinuità in uno stato non costante descritto da una soluzione di similarità. Infine si discutono le condizioni per l'esistenza di un tempo critico a cui un'onda d'urto può formarsi.

     

La relazione mediata nella matematica

Riassunto Per approfondire il concetto di relazione, apparso fondamentale nelle matematiche soprattutto dal sorgere delle geometrie non-euclidee, lo si esamina in concreto nei procedimenti dell'algebra astratta mettendone in luce la sua mediatezza fondata sul principio di analogia.

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Résumé Pour approfondir la conception de relation qui est résultée fondamentale dans l'étude des sciences mathèmatiques, surtout après la naissance des géométries non-euclidéennes, on l'examine en concret dans le developpement de l'algèbre abstraite, en présentant sous son vrai jour sa médiatesse fondée sur le principe d'analogie.

     

Sopra la semicontinuità degli integrali curvilinei dei problemi variazionali in forma parametrica di ordinen

Sunto. Si considerano gli integrali curvilinei dello spazio in forma parametrica dipendenti dagli elementi differenziali dei primi n ordini (n>3). Usufruendo di una relazione fondamentale, che ha formato oggetto di una Nota preliminare dell'A., si dimostra una condizione necessaria per la semicontinuità di tali integrali, dalla quale seguono altre condizioni necessarie per la semicontinuità e per la continuità: tali teoremi estendono al caso n>2 risultati già stabiliti dall'A. per n=2. Inoltre, mediante la relazione fondamentale citata, si perviene ad alcune estensioni di condizioni sufficienti per la semicontinuità, stabilite da altri A.A. Entrata in Redazione il 7 aprile 1976. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Teoria analitica del campo elettromagnetico

Sunto Nell’Introduzione si illustra l’opportunità di fondare la teoria matematica del campo elettromagnetico sullo studio degli integrali dell’equazione rot K+mK=Φ, con m costante complessa non nulla. Una tale scelta si manifesta infatti particolarmente adatta ai problemi posti dalla tecnica delle onde elettromagnetiche. La Teoria dell’equazione omogenea rot K+mK=0 può essere sviluppata secondo due indirizzi, uno integrale e l’altro fondato sullo sviluppo del vettore K in serie di opportune funztoni. Ciò in analogia con quanto avviene nella Teoria delle funzioni analitiche di una variabile complessa. La presente memoria appartiene totalmente all’indirizzo integrale. Nella Parte Prima si deduce un’espressione integrale la quale fornisce il valore assunto dal vettore K in un punto di un dominio regolare a partire dalla conoscenza dei valori da esso assunti sul contorno. Si esaminano le proprietà della relazione integrale stabilita. Fra l’altro si deduce che quando un integrale dell’equazione rot K+mK=0 è continuo in un campo con le sue derivate parziali prime esso vi è analitico. Nella Parte Seconda si stabilisce una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista in un dominio V di contorno S un vettore K, continuo in V, soddisfacente in V — S all’equazione rot K+mK=0 (m non reale) e riducentesi sul contorno a un vettore G assegnato. La condizione ottenuta è una relazione integrale fra i valori assunti da G sul contorno S di V. La Parte Terza è dedicata alla traduzione in equazioni integrali dei problemi posti dall’elettromagnetismo. Le equazioni integrali si riferiscono ai valori assunti dai campi elettrico e magnetico sulle superfici di separazione dei diversi mezzi, ciascuno dei quali omogeneo e isotropo, nei quali il campo elettromagnetico si estende. I teoremi stabiliti nella prima e seconda parte della memoria consentono di affermare la necessità e la sufficienza delle equazioni integrali scritte. In tutta la memoria, accanto all’equazione rot K+mK=Φ, viene pure considerato il sistema di equazioni rot K=Φ, div K=f relativo ai campi statici.     

m-functions and Floquet exponents for linear differential systems

Sunto Si definisce un esponente di Floquet per certe equazioni differenziali lineari nonperiodiche, la parte immaginaria del quale rappresenta una «rotazione» delle soluzioni di dette equazioni. Inoltre si discute la relazione fra l'esponente di Floquet e le funzioni m di Weyl-Kodaira, e fra la rotazione e certi problemi spettrali.

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The author would like to thank Dr. RichardCushman for stimulating conversations on the subjects considered in this paper.     

Rarefied gas flow through long slots

The transition flow of a gas between two reservoirs through a two-dimensional slot is studied. The width of the slot is much smaller than the length but finite. The ratio of the equilibrium number densities in the reservoirs is near 1 and the equilibrium temperatures are the same. Galerkin's method of solution is applied to the linearized BGK equation and the total mass flow is evaluated as a function of the inverse Knudsen number and the length-to-half width ratioL. Limits 1, 1 andL 1 are investigated and good agreement with other authors is found. Simple analytical expressions are obtained for these cases.

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Riassunto Si studia la corrente gassosa tra due serbatoi uniti da un canale bi-dimensionale nel regime di transizione. La larghezza del canale è molto più piccola della sua lunghezza ma è finita. II rapporto tra le densità di molecole nei serbatoi è prossimo a 1 e le temperature d'equilibrio sono le stesse. II metodo di soluzione di Galerkin viene applicato all'equazione di Bhatnagar, Gross e Krook linearizzata e si valuta la protata in funzione del numero inverso di Knudsen e del rapportoL tra lunghezza e semi-larghezza. Si studiano i limiti 1, 1 eL1 e si trova un boun accordo con precedenti lavori. Per questi casi si trovano semplici espressioni analitiche.

     

Soluzione approssimata di un'equazione integrale di Cantelli

Sunto. Nel presente lavoro si studia l'equazione integrale che il Prof.F. P. Cantelli stabili nella Sua memoria ? Sullo schema Lexiano della dispersione ipernormale ?, nel 1918 e pubblicata negli Atti della Accademia dei Lincei. Si pongono le basi di un metodo per la sua risoluzione, e se ne determina una soluzione approssimata che, nell'ambito delle pratiche applicazioni, assicura l'esistenza di una variabile casuale gaussianaY, la cui precisione dipendendo dal valore assunto da un'altra assegnata gaussianaX, sia tale che la variabile sommaX+Y sia pur essa gaussiana.     

Oscillazioni persistenti di un sistema non lineare dissipativo dovute al ritardo della forza di richiamo

Riassunto Si studia il movimento di un oscillatore soggetto a forza di richiamo non-lineare ritardata. Si dimostra che sotto opportune condizioni per i parametri, che non richiedono la quasi-linearità, il sistema in condizioni di regime si muove compiendo oscillazioni persistenti di ampezza e frequenza che possono variare in certi intervalli.

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Résumé On étudie le mouvement d'un oscillateur soumis a une force de rappel élastique retardée. On demontre que, si les parametres satisfaient certaines conditions, qui n'entrainent pas la presque-linéarité, des oscillations stable se développent spontanément dans le système.

     

Introduzione a una storia e filosofia del calcolo infinitesimale

Riassunto Prendendo le mosse dai postulati della continuità della retta e del fascio—che vengono inizialmente richiamati e che stanno alla radice della definizione di limite, nel suo significato geometrico—e proposto il tema generale—che è quello di rilevare in essa e in ogni sua applicazione la presenza di una relazione di coordinazione o, se si vuole, di complementarità accanto a quella, fino ad oggi quasi esclusivamente riconosciuta di subordinazione—lo studio prosegue con una analisi, per quanto è possibile approfondita, della relazione intercorrente tracontinuità ediscontinuità, intese queste nel loro significato più primitivo e originale, che è poi quello che hanno sempre inteso tutti i pionieri del calcolo infinitesimale. Segmento e punto sono i due aspetti che abbiamo tenuto presenti, ben osservando che quanto di essi si diceva, tutto si sarebbe potuto ripetere, in maniera analoga. per ogni altra coppia: angolo piano-retta, superficie-solido, ecc. Dalla analisi è risultata la piena complementarità dei concetti di segmento e di punto, vale a dire la impensabilità dell'uno senza dell'altro, e quindi la loro antitesi e la loro analogia, sempre relative. Si inizia quindi unexcursus storico, in tre diverse direzioni: prima si rivolge al problema della derivazione, poi a quello della integrazione e infine a quello della relazione tra i due. Esso vuol essere soltanto indicativo del metodo con il quale intendiamo condurre la nostra ricerca.

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Résumé En partant des postulats de la continuité de la droite et du faisceau—qui sont rappelés au début et qui sont à la base de la définition de limite dans sa signification géométrique—et après avoir énoncé le thème général—qui est celui de relever dans la définition et dans chacune de ses applications la présence d'une relation de coordination ou, si l'on veut, de complémentarité à c?té de celle de subordination, qui a été jusqu'ici presque exclusivement reconnue—notre étude se poursuivra par l'analyse, autant que possible approfondie, de la relation qui existe entre ?continuité? et ?discontinuité? en entendant ces termes-ci selon leur signification plus primitive et originale, qui est d'ailleurs celle qu'ont toujours entendue tous les pionniers du calcul infinitésimal. ?Segment? et ?point? sont les deux aspects que nous avons envisagés, en faisant bien remarquer que ce que l'on disait à propos d'eux on aurait pu le répéter d'une fa?on analogue pour tous les autres couples: angle plan-droite, surface-solide…etc. De cette analyse il en est résulté la parfaite complémentarité des notions de segment et de point, c'est-à-dire l'impossibilité d'envisager l'un sans envisager aussi l'autre, et par conséquent leur antithèse et leur analogie, qui sont toujours relatives. Après quoi nous commen?ons un ?excursus? historique, en trois différentes directions: avant tout nous développons le problème de la dérivation, puis celui de l'intégration, puis finalement celui de la relation entre les deux. Cet ?excursus? ne prétend être qu'une simple indication de la méthode selon laquelle nous entendons effectuer notre recherche.

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Cfr. la Introduzione pp. 9–10.

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Cfr. l'Introduction, pp. 9–10.     

A technique for time-dependent boundary value problems in the kinetic theory of gases Part I. Basic analysis

The matrix Riemann-Hilbert problem arising in the time-dependent BGK model for half space problems is analyzed. The method used is similar to the one originally introduced by one of the authors for steady problems. A general procedure is given which leads to closed form solutions.

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Sommario Si considera il problema matriciale di Riemann-Hilbert che si presenta nel risolvere il modello BGK per problemi dipendenti dal tempo in un semispazio. Facendo uso di un metodo originariamente introdotto da uno degli autori per problemi stazionari si indica un procedimento per ottenere una soluzione per via analitica.

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On leave from the Department of Aeronautical Engineering, Kyoto University, Kyoto 606, Japan.