多项式方程矩阵解的形式

设ai(i=0,1,…,n)是任意复数,矩阵方程anAn an-1An-1 … a1A a0I=0的所有解都具有形式PJP-1.其中P是可逆矩阵,J为以Jordan块Jj(j=1,2,…k)为元素的主对角分块矩阵,而Jj主对角线上的元素皆为一元n次方程anλn an-1λn-1 … a1λ1 a0=0的根λj,且Jj的阶rj不超过λj作为方程解的重数.     

关于方程和不等式组的无解问题

同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用     

一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题是“一元一次方程的应用”的继续和发展.列一元二次方程解应用题,其应用相当广泛,因此,本部分内容是学习的重点,也是难点.就列方程解应用题的方法来说,列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似,都是要先认真审题,弄清题意后设元并根据问题中的相等关系列出方程,解方程,判断是否适合题意,作出正确答案.下面通过几个典型例题加以说明.例1某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价,若每件商品售价为a元,则可卖出(350-10a)件,但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%,商店计划要…     

2007高考湖北卷一题的推广

2007年高考湖北卷第6题:若数列{an}满足(a2n+1)/(a2n)=p(p为正常数,n∈N*),则称{an}为"等方比数列". 　　甲:数列{an}是等方比数列; 乙:数列{an}是等比数列,则 　　A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 　　B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 　　C.甲是乙的充要条件 　　D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 　　本题答案B.现对该题作出如下推广.……     

函数与方程思想解决一元三次函数零点问题

<正>一元三次函数y=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)零点问题一直是高考考察的热点.同学们常用导数法解决一元三次函数零点问题,用函数与方程思想解决一元二次函数零点问题.可是我们知道这两者都是一元多项式函数中的特殊情况,那我们能不能采用函数与方程的思想来研究解决一元三次函数零点问题呢?     

"传球问题"的一般解法

问题包含甲在内的m(m≥2)个人练习传球,设传球n次,球首先从甲手中传出,第n次仍传给甲,共有多少种不同的传球方法?分析设第n次球传给甲的传球方法有an种,第n次球不传给甲的传球方法有bn种,对每个传球的人来说,每次传球的方法有m-1种,n次传球共有(m-1)n种方法.∴an+bn=(m-1)n.另外,第n+1次球传给甲,则第n次球必不传给甲,因而an+1=bn,∴an+an+1=(m-1)n.设cn=an(m-1)n,则cn+1+1m-1cn=1m-1,∴c-1=-1(c-1).又a1=0,c1=0,c1-1m=-1m,∴数列{cn-1m}是首项为-1m,公比为-1m-1的等比数列,∴cn=1m+(-1m).(-1m-1)n-1,∴an=1m(m-1)n+(-1)n.m-1m.例1甲、乙、…     

2012年中考专题复习(5)——方程(组)

方程(组)知识是初中数学的核心内容之一,也是中考命题的重点内容.它主要包括一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程的解法以及列方程(组)解决实际问题.其中考查方程(组)的解法以选择题和填空题为主,计算量不大;考查列方程(组)解应用题以解答题为主,主要考查解工程类、方案设计类及决策类问题.     

方程根的定义在解竞赛题中的妙用

(1)x0是方程ax c=0(a≠0)的根ax0 c=0;(2)x0是方程ax2 bx c=0(a≠0)的根ax02 bx0 c=0.特别地,若ax21 bx1 c=0,ax22 bx2 c=0(a≠0),则当x1≠x2时,x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个不等实根;当x1=x2时,x1,x2是方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个相等实根.灵活运用上述结论,求解涉及方程根的有关数学问题,常能化繁为简,化难为易,请看下面数例(所选例子均为各地中考题或数学竞赛题):例1如果方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,则a=.(第十四届“希望杯”初一第二试试题)解:∵方程2003x 4a=2004a-3x的根是x=1,∴2003 4a=2004a-3,故a=1.003.例2若α…     

如何进行布列一元一次方程的教学

使学員获得布列和解答一次方程的技能和熟练技巧,是初中代数教学中的中心問題之一。同时布列一元一次方程也是学員学习初中代数的一大难点。因此,如何进行布列一元一次方程的教学是初中代数教学的一項重要问题。一、学員学习布列一元一次方程中的困难 1.用算术解应用题的思维过程布列方程。学員在初学代数时,对用代数解应用題的特点,及用代数解应用題和用算术解应用題有何异同,不能一下领会,在布列方程时往往仍按算术解应用題的思維过程分析题目,仅在形式上把算式写成等式即算式=x(已知数組成的式子=x)。如在解答問题“甲乙两人同时从相距60里的两地相对而行,甲每时走12里,乙每时走     

用渐近法解方程∈xn x-1=0

1.前言解方程εxn x -1 =0 (n∈ N)是我们可能会遇到的一个问题。但是 ,在解此方程的时候 ,存在着一些困难 ,例如 :当ε→ 0时 ,方程的求根公式要计算ε- 1→∞ ,这时计算无法进行下去。有一种方法叫做渐近分析 ,它为求解提供了有利的工具。渐近分析方法最早是天体力学和流体力学中的有力工具。渐近分析在系统的数学描述中出现一个小参数 (例如ε→ 0 )时 ,十分有用。2 .渐近分析法本文把渐近方法用于求解一元 n次方程当ε→ 0时根的表达式。本节中用 n =2 ,3,4,5为例 ,说明渐近分析的使用方法 ,并求出这些方程的根的渐近表达式。2 .1　…     

非整边的直角三角形整距点问题

以直角顶点为原点 ,两直角边分别为 x轴和 y轴的正方向建立坐标系 .不妨设斜边所在直线方程为 ax +by=n,则方程 ax +by=n - kc(其中 a、b、c∈ N+,且 a2 +b2 =c2 ,k为整数 )的正整数解就是整距点的坐标 ,因此整距点问题与一类不定方程的正整数解联系起来 .设 a,b,n皆为正整数 ,有以下引理 .引理 1　方程 ax +by =n有整数解的充要条件是 (a,b) |n.引理 2　若 (a,b) =1,且 x0 ,y0 为方程 ax+by =n的一组解 ,则方程其它解可表示为 :x =x0 +bt,y =y0 - at(t为整数 ) .引理 3　设 (a,b) =1,则当 n>ab- a-b时 ,方程 ax +by =n必有非负整数解 .以…     

Ginzburg-Landau方程动力性态的Fourier谱逼近

0　引言和符号立方Schrodinger方程或更一般的形式Ginzburg-Landau方程出现在许多物理和化学问题中.例如在非线性光学的细束流中有方程2ikux+2⊥u+n2n0k2|u|2u=0对于二维流,有方程n2n0k2|u|2u=-2kiut-uxx-uyy还有等离子体的Langmuir波;一维单色波的自调制;二维定态平面波的自聚集;在非相对论下超导电子对在电磁场中运动等均可用非线性Schrodinger方程和Ginzburg-Landau方程来描述[1-4].另外,反应扩散方程描述的化学反应方程的研究中也出现Ginzburg-Landau方程,如相对于稳态浓度c*的扰动浓度c-c*就满足Ginzburg-Landau方程[5,6].由…     

2005年湖南省数学竞赛试题

选择题(本大题共10个小题,每小题6分,满分60分.每小题有且只有一个正确的答案.)1命题甲:x≠1002或y≠1003;命题乙:x y≠2005.则命题甲是命题乙的()(A)充分不必要条件.(B)必要不充分条件.(C)充分而且必要条件.(D)既不充分又不必要条件.解若x y≠2005且甲不成立,则x=1002且y=1003,故x y=2005,这与x y≠2005矛盾,所以甲是乙的必要条件.反之,取x=1000且y=1005,则x y=2005.故甲不是乙的充分条件,故选(B).2如果圆x2 y2=n2至少覆盖函数f(x)=3sinπnx的一个最大点和一个最小点,则正整数n的最小值为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.解因为f(x)=3sinπnx为…     

具有四项的指数丢番图方程(III)

根据定理1, 2和3,求任何一个方程ax-by =n, ax by±az ±bw±1=0或ax ±by±az ±bw=0 (x,y,z,w∈0)的解都是很简单的,此处a,b是适合2a, b50的互素的两个整数,n是适合1n80000的整数.     

用“参数法”求轨迹方程的基本原理

<正>方程,是含有未知数的等式.笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题,也就是从实际问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为方程,然后通过解方程来使问题获解.本文将从以下角度来对方程思想进行理解和应用:一般来说,一个方程(等式)可以消一个元,若共有n个未知数且有n个方程,则可确定这n个未知数的值;若共有n个未知数,但只有n-1个方程,则可以得到无数组解,并且可以通过合适的消元最终得到其中某2个未知数的等量关系.     

具有高阶非线性项的广义KdV方程的孤立波及其分支

研究具有高阶非线性项的广义KdV方程ut+a(1+bun)unux+uxxx=0,这里n≥1,a,b是实数且a≠0.用动力系统的定性理论和分支方法,讨论了该方程的孤立波解的解析表达式和孤立波的分支,并给出了孤立波的分支图,解决了孤立波的存在性及其个数等问题.     

广义Ramanujan-Nagell方程x~2+D~m=p~n的解数

设a是正整数,D=3a2+1,P=4a2+1,其中p是素数.本文证明了:如果a不是4的倍数,则除了当(D,p)=(4,5)时方程x2+Dm=pn恰有3组正整数解(x,m,n)=(1,1,1),(3,2,2),(11,1,3)以外,该方程恰有2组正整数解(x,m,n)=(a,1,1)和(8a3+3a,1,3).     

设辅助元解应用题

<正>应用题,是初中数学的重点和难点.解应用题的关键是寻找等量关系(或不等量关系),建立方程(或不等式),但有一类应用题,按照传统解法中的"问什么?设什么",或间接设元,无法通过等量关系建立方程(或不等式),需要通过再设辅助未知元,以达到解决问题的目的,而这个辅助未知元又不需在解决问题中求出来,请看下面几个例子.例1甲、乙、丙三个学生共解出100道数学题,每人都解出了其中60道题.将其中只有1人解出的题叫做"难题",将其中3人解出的题     

函数与方程思想在等差数列中的运用

我们知道{an}是等差数列时,an=a1 (n .当d≠0时,an是n的一次函数(n∈三N*),Sn是n的二次函数,且不含常数项(n∈N*). 根据等差数列的定义,容易得到它的几个等价命题: {an}为等差数列d为常数) an=an b(a、b为常数) Sn=an2 bn(a、b为常数). 由此可见,等差数列中的通项及求和问题,与函数、方程知识有着密切关系.下面举例     

九、 参数方程与极坐标

一、选择题3.与方程刁=l等价的方程是()J..Jt,,、.‘‘砍l(B(D 劣甘︸rJ悦eeL 、,声 A J‘、.。知直,,。参数方程为}‘ t犷=一 。in要 O 1=心一T _万=艺一欠幻日~二~ bx=Sin乙(C)工=tg心梦~以g止‘一侧(‘为参数)(。为参数),则直线l的倾斜角为(,=。吸沼(^)晋(B)晋(e)誓(n)誓 月.不论口为何实数,方程的曲线都不是()Se讨Ze众刃二2 ,:=x,所表示2.椭圆的参数方程为=4co。口 l=3sin口(0为参数)的(^)直线5.直线l:(B)圆(C):.2 比以刃甲=一3一白ino抛物线(D)双曲线(0为常数,‘为参数)中,劣封﹄口l才1吸坐标是() (^)(一了了,o)(B)(一了下,o)(…