三角形的伴垂心的若干报值特征

如图1,△ABC的三条高分别为AD、BE、CF,垂心为H,点D关于BC边的中点的对称点为D′,点E关于CA边中点的对称点为E′,点F关于AB边中点的对称点为F′,则由Ceva定理易知AD′,BE′,CF′三线共点,记为H′,称H′为△ABC的伴垂心[3],又叫伪垂心[1][2].     

一个新发现的点——牛顿线段的中点

在△ABC中,O,G,H分别是它的外心、重心、垂心,O,G,H三点共线,此线是著名科学家牛顿首先发现的,故被命名为牛顿线,其中线段OH称为牛顿线段,对于牛顿线段有OG∶GH=1∶2;如果分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,如图,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,我们得到如下定理定理在△ABC中,分别以三边AB,BC,CA为对称轴,作外心O的对称点,记这些对称点分别为D′,D″,D,连结CD′,AD″,BD,三条直线CD′,AD″,BD共点,设此点O′,称点O′为△ABC的边对称外心;此点是牛顿线的中点,且有OG∶GO′∶O′H=2∶1…     

三角形垂心的一个性质推广

文[1]给出了三角形垂心的一个性质: 定理若△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

一个三线共点命题的推广及简证

《中学数学》2007年第6期P37刊载了如下图1命题D、E、F为△ABC的周界中点,EF、FD、DE三边的中点分别为D1、E1、F1,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1,则AA1、BB1、CC1相交于一点Z.本文给出如下推广命题D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的点,D1、E1、F1分别是△DEF的边EF、FD、DE上的点,AD1、BE1、CF1分别交BC、CA、AB于A1、B1、C1.如果(BDDC·ECEA·FAFB)·(DFF1E1·EDD1F1·EF1ED1)=1(*),那么AA1、BB1、CC1三线共点.简证SS△△AABCAA11·SS△△AA11ECAA·SS△△FEAAAA11…     

问题征解

一、本期问题征解 1.已知47~(100)是168位数,试求47~(25)的位数。 2.已知x、y为正整数,且xy=24,求函数1/(x~2+y~2)的极大值。 3.在△ABC和△A′B′C′中,已知∠B=∠B′,BC=B′C′,AB+AC=A′B′+A′C′, 求证△ABC≌△A′B′C′。 4.在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点D,AC延长线上取一点E,使DB=EC,连接DE交BC于G,求证DG=GE。黄冈上巴河标云岗中学熊红英 5.M为BC边的中点,AD为∠A的平分线。过A、D、M三点作圆设交AB、AC于E、F点,求证BE=CF。     

不等边三角形若干"心"的一个性质

笔者发现三角形“心”有如下性质:定理不等边三角形的内心I、垂心H、界心K及其旁心三角形的外心M是平行四边形的四个顶点.为了证明该定理,先给出如下几个引理:引理1△ABC中AD、BE、CF为三边上的高,垂心为H,则该三角形三边之中点,三个垂足D、E、F,三线段H A、H B、H C之中点九点     

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆,     

三角形垂心的一个性质

定理 若给定锐角△ABC的垂心为H,且D、E、F分别为H在BC、CA、AB边所在直线上的射影,H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心,则△DEF≌△H1H2H3.     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

一个周界中点三角形不等式的加强

文[1]得到如下定理: 定理如图1,设D,E,F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=(1)/(2)(a b c),△ABC、△AEF、△BDF、△CED的内切圆半径分别为r、rA、rB、rC,则有     

三角形某些"陪心"的性质

引理设M为△ABC所在平面上一点,过M点分别在△BMC、△CMA、△AMB中作内角平分线MD、ME、MF与直线BC、CA、AB交于D、E、F,则AD、BE、CF必交于一点N.     

数学问题解答

2008年7月号问题解答(解答由问题提供人给出) 1741设△ABC的内切圆切三边BC、CA、AB于D、E、F,求证(1)AD、BE、CF三线共点; (2)(S_(△DEF))/(S_(△ABC))=r/(2R)(r、R分别为△ABC的内切圆、外接圆半径). (江苏省新海高级中学孙四周222006)     

涉及三角形的角平分线的两个轨迹问题

定理 1　设 AD,BE,CF是△ ABC的角图 1平分线 ,△ ABC内的动点 P到其三边的距离构成某三角形的三条边之长 ,则点 P的轨迹是△ DEF的内部 .证明　如图 1 ,过点 P作直线 E′F′分别交 AC、AB于点 E′、F′.设点 P到边 BC,CA,AB的距离分别为 r1,r2 ,r3 .则S△ E′AF′=12 ( AE′.r2 AF′.r3 ) ,( 1 )S△ ABC=12 ( ar1 br2 cr3 ) ,( 2 )　　　 S△ E′AF′S△ ABC=AE′.AF′bc . ( 3)把 ( 1 )、( 2 )代入 ( 3)式可得ar1 br2 cr3 =bc( r2AF′ r3 AE′) ( 4 )由于　 AE =bca c,AF =bca b,所以bc( r2AF r…     

四边形的一个性质的推广

题目设D、E、F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则S△DEF=1/4S△ABC.     

一个三角形不等式的优美几何证明

设P为△ABC内部或边界上任意一点,从P分别向三边BC、CA、AB所在直线作垂线,垂足分别为D、E、F.设△ABC的三边长BC=a,CA=b,AB=c,内切圆半径为r,PD=r1,PE=r2,PF=r 3.文[1]证得如下结论:     

Ceva定理与Menelaus定理的逆定理的推广

Ceva定理:O为△ABC内一点,直线AO、BO、CO分别与BC、CA、AB交于D、E、F,则AFFB·BDDC·CEEA=1.注:AF FB是指有向线段AF的数量与有向线段FB的数量之比,下同.其逆定理是:设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上一点,若AFFB·BDDC·CEEA=1,则直线AD、BE、CF三线共点.显然,若AFFB·BDDC·CEEA≠1,则直线AD、BE、CF三线     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

该题还可以进一步简证

题目如图1,在△ABC中,D、E、F分别在边BC、CA、AB上,BE与CF交于点P,过点P作BC的平行线分别交DF、AD、DE于点G、H、K.求证:GP=HK.该题,文[1]给出了一个简证,笔者通过一番琢磨,给出一个更为简洁的证明.证明如图2,设过点P与BC平行的直     

四边形的一个有趣性质

定理　设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明　如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D…     

涉及周界中点三角形的两个有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分,人们则称这一点为三角形的周界中点,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形. 本文在文[1]、[2]的基础上,进一步研究周界中点三角形并得到了两个有趣的性质. 引理 设D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且BC=a,CA=b,AB=c,s=1/2(a+b+c),则 AE=BD