空间四边形的一个性质及其应用

性质　如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明　如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1…     

菱形中的一道精彩试题

<正>题目已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G为垂足.求证:四边形CEGF是菱形.一、一题多证思路分析1先证四边形CEGF是平行四边形,再证EG=EC.证法一如图1,∵AE平分∠BAC,EC⊥AC,图1EG⊥AB,∴EC=EG,EG∥CF.又∵∠ACD+∠CAD=90°,     

一类“半角”问题基本结论及其应用

<正>1.基本图形与结论如图1,AB=AC,∠BAC+∠D=180°,∠EAF=12∠BAC,点E在BD上,点F在DC上,则有BE+CF=EF.证明延长DB至G,使BG=CF,连接AG,∵∠BAC+∠D=180°,∴∠GBA=∠ACF.∵AB=AC,∴△GBA≌△FCA,∴AG=AF,∠GAB=∠FAC.     

求不规则四边形面积的几种方法

<正>面积问题是初中数学的重要内容之一,本文介绍利用转化思想求不规则四边形面积的方法.一、通过"割补",化不规则四边形为规则图形例1如图1,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.1.分割法解法一作CE∥AD交AB于E,CF∥AB交AD于F,如图2.     

从两道课后习题看共性和通法

<正>在新北师大版九上第四章总复习中,有两道较难的习题,一道需要做辅助线,一道要求三条线段的比例.习题1如图1,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,在DC的延长线上取一点E,连接OE交BC于点F.已知AB=a,BC=b,CE=c,求CF的长.习题2如图2,四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,点R为DE的中点,BR     

正方形中的一个结论及其应用

<正>1.基本图形结论如图1,在正方形ABCD中,E、G、F、H分别为边AB、BC、CD、AD上的一点,若(1)EF=GH;(2)GH⊥EF,垂足为I,则由其中(1)■(2),也可以由(2)■(1).下证(1)■(2).证明如图2,过B作BM∥GH,交AD于点M,交EF于点K;过点C作CN∥EF,交AB于点N,交BM于点P.因为MH∥BG,     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

经过三角形顶点的直线的一个性质与推论

<正>性质如图1,O是△ABC的外心,经过A点的直线交直线BC于点D (O,B,C不在直线AD上),P是直线AD上任意一点(A,P不重合),以PA为直径的圆分别与AB,AC的另一个交点为E,F,PM∥AO交EF于点M.则BD/CD=EM/FM.证明延长PM交以PA为直径的圆于点Q,连接QE,QF.过O点作OG⊥AB于G,     

一个结论的延伸及应用

<正>例如图1,在矩形ABCD中,若OC、OD分别是∠BCD、∠ADC的平分线,则AD+BC=AB.证明如图1,因为AB∥DC,所以∠AOD=∠CDO.因为OD是∠ADC的平分线,所以∠ADO=∠CDO.因此∠AOD=∠ADO.所以AD=AO.同理,得BC=BO.于是AD+BC=AO+BO,即AD+BC=AB(还有多种证法,读者可自行探究).延伸1如图2,在平行四边形ABCD中,     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

由角平分线想到的

我们知道 ,等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边 (三线合一 ) .反之 ,当题设中出现角平分线时 ,如能联想到等腰三角形 ,往往可以很快沟通思路 ,提高解题效率 .这里略举几例 .例 1在△ABC中 ,∠B的平分线交AC于D ,DE∥BC交AB于E ,EF∥AC交BC于F ,求证 :BE =FC .证明　∵　DE∥BC ,　∴　∠ 2 =∠ 3 .又∵　∠ 1=∠ 2 ,　∴　∠ 1=∠ 3 .∴　BE =DE (即△BDE为等腰三角形 ) .∵　DE∥BC ,　EF∥DC ,∴　四边形CDEF为平行四边形 .∴　FC =DE ,　∴　BE =FC .本例虽然比较简单 ,但有心的同学可以从中注意到一个有用的基…     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

关于切线和直径的试题的拓展

<正>2015年聊城市中考数学第24题:如图1,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D.过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线于点C,连结AD并延长,交BE于点E.(1)求证:AB=BE;(2)略.本题是在课本传统例题上改编的考题,证明方法很多,我们选其中几种方法证明,为拓展的证明铺垫思路,本文的核心是两种拓展.一、原中考题的证明证法1如图2,连结OD.∵PC为⊙O的切线,∴OD⊥PC.     

四边形的一个性质

命题　如图 1,A1 、A2 、B1 、B2 、C1 、C2 、D1 、D2 是凸四边形 ABCD边上的点 ,且AA1 =BA2 =r AB,　 DC1 =CC2 =r CD,AD1 =DD2 =t AD,　 BB1 =CB2 =t BC,(0 相似文献   

面积法巧证一道奥林匹克问题

题目如图1,在凸四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,经过O作任两条直线分别交边AD、BC、AB、CD于点E、F、G、H,GF、EH分别交BD于点I、J.证明:1OI-O1J=O1B-O1D.图1这是《中等数学》2006年第1期奥林匹克数学问题高中169.这里利用面积证法给出一个连初中生都能知晓的证法.证明连结D     

下结论要理由充分

我们先来看看下面两道题的证明,有无"漏洞".题1求证:平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等.已知:■ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,OE⊥AD于E,OF⊥BC于F.图1求证:OE=OF.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OE⊥AD,OF⊥BC,∴∠AEO=∠CFO.又∵∠AOE=∠COF(对顶角相等),∴△AOE≌△COF(AAS).∴OE=OF.图2题2已知:正方形ABCD中,O是对角线AC的中点.连接OB、OD.求证:OB=OD.证明1∵四边形ABCD是正方形,OA=OC,∴OB=OD(正方形的对角线互相平分).     

等腰梯形的一个性质及推广

性质等腰梯形的一条对角线与一腰的平方差等于上下底的积.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,则BD2-AB2=AD·BC.证明∵梯形ABCD是等腰梯形,∴BD=AC.∵等腰梯形有一个外接圆,由托勒密定理得BD·AC=AB·CD+AD·BC,并注意到AB=CD,故BD2-AB2=AD·BC.推广1如图2,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,P是BC上任意一点,则PD2-PA2=AD(PC-PB).     

一道联赛题的多种证法

2014年广西高中数学联赛第10题为：如图1,已知D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点,△ABC的内切圆分别与边BC、CA切于G、F,求证：DE、GF的交点在∠ABC的角平分线上.标准答案给出的证明较为复杂,下面提供几个简单的证法.证法一如图2,设DE、GF的交点为H,K为边AB与圆的切点,连接AH并延长交BC于W.∵DE∥BC,BD=DA,∴AH=HW.