2011年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

试题一、(本题满分40分)如图1,P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点.若∠BPA=∠DPA,证明:∠AQB=∠CQB.二、(本题满分40分)证明:对任意整数n≥4,存在一个n次多项式     

一道高中联赛加试题的别证

2003年全国高中数学联赛加试题第一题: 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A、B,所作割线交圆于C、D,C在P、D之间,在弦CD上取一点Q,使∠DAQ=∠PBC.求证: ∠DBQ=     

2004年中考数学模拟试题(7)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 .5 -2 的结果是 (　 ) .A .25 　　B .-25 　　C .2 5　　D .12 52 .下列运算中 ,正确的是 (　 ) .A .x2 ·x3 =x6　　B .2x2 +x3 =5x2C .(x2 ) 3 =x6　　D .(x+y2 ) 2 =x2 +y43 .如图 .直线a ,b被直线c所截 ,现给出下列四个条件 :①∠ 1 =∠ 5 ;②∠ 1 =∠ 7;③∠ 2 +∠ 3 =1 80° ;④∠ 4=∠ 7.其中能判定a∥b的条件的序号是 (　 ) .A .①②　　　B .①③C .①④　　　D .③④4.下列图形中 ,不是中心对称图形的5 .直线l1,l2 ,l3 表示三条相互交叉的公路 ,现要建一个货物中转站 ,要求它…     

海南省2008年中考数学科第24题质量分析报告

【题目】24.(本题满分14分)如图13,已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m),且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.     

第二届国际中学生数学《友谊赛》试题(1988年8月14—19日在保加利亚举行)

七年级 L求方程护y十xyZ二30的整数解. 2.在线段AB上选取两点C和D,使AC二CD二DB:在半平面上过点A和C引两条射线,相交于点M.已知匕MAB二45 0.乙MCB=60”.求匕MBA的大小. 3能不能用一些数1和一1来填写5 xs的正方形表,使在每行,每列和每条大对角线上所填的数之和都不同? J气年级 1.求证:不存在这样的自然数n,使数n6+3n5一5n4一15n3+4n2月Zn+3是白然数的完全平方. 2.试证:若p,q,和q:是实数,p二。。+。2+l,则两个三次方程:阵x十q,一0,尸十Px十qZ二0中至少有一个方程含有两个不同实根. 3.已知两个圆,每个圆都通过另一个圆的圆心,设A和…     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

一个圆锥曲线有趣的结论

命题:过椭圆x2/a2+y2/b2=1,a＞b＞0的长轴上一点D(k,0)作弦AB,椭圆的长轴的延长线上一点N(q,0).问当k,q满足什么关系时能使∠ANO=∠BNO.……     

问题征解

一、本期问题征解 1.解方程 2(3χ-1)(4χ-1)(6χ+1)(12χ+1)=3 2.已知不等式aχ~2+bχ+C>0的解为a<χ<β(其中a<0,β>0),求不等式Cχ~2-bχ+a<0的解 3.锐角△ABC中,AB=3,BC=4,AC的长也是整数,求证:∠B=∠C或者∠A=∠B 江苏泰州中学薜大庆提供 4.若记实数χ的整数部分(即不超过χ的最大整数)为〔χ〕 1~0.试证〔χ〕+〔χ+(1/n)〕+〔χ+(2/n)〕+…+〔χ+((n-1)/n)〕=〔nχ〕,式中χ为正实数,n为任何自然数;     

2015年高考北京卷19题的解法、背景与推广

题1 (2015高考北京-19)已知椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为(21/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M. (Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示); (Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.     

不定方程与组合问题

[问题一]试求不定方程x1+x2+x3+…+xm=n(m≥2,n≥2,m≤n)的正整数解的组数. 分析本题可用“挡板法”求解,由于x1≥1,x2≥1,…,xm≥l,把n分解成n个1,这n个1共有n-1个空挡.插入m-1块“挡板”,把n个1分成m个部分.则每一种情况对应不定方程的一组解,所以原不定方程共有Cm-1n组解.     

基于费马点问题的同题异构

<正>1问题情境费马点问题在三角形ABC内部存在一点P,使PA+PB+PC达到最小值.分为两种情况:(1)当三角形的内角都小于120°时,费马点在三角形的内部且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°;(2)当三角形的某个内角不小于120°时,则该钝角的顶点就是费马点!     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

凸多边形边数的另解

<正>贵刊2016年12月下智慧窗栏目刊登的《凸多边形的边数》中的原题:已知凸n边形A_1A_2A_3…A_n的所有内角都是15°的整数倍,且∠A_1+∠A_2+∠A_3=450°,而其它内角都相等,那么n最少是,最多是.原解据题设知:∠A_1+∠A_2+∠A_3=450°,故可设∠A_4=∠A_5=…=∠A_n=x·15°,由此得:450°+(n-3)x·15°=(n-2)×180°,30+(n-3)x=(n-2)×12.     

2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案

一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分2 4分)(1 )曲线y=lnx与直线x + y=1垂直的切线方程为y =x -1。(2 )已知f′(ex) =xe-x,且f(1 ) =0 ,则f(x) =12 (lnx) 2 。(3 )设l为正向圆周x2 + y2 =2在第一象限中的部分,则曲线积分∫Lxdy -2 ydx的值为32 π。(4)已知方程x2 d2 ydx2 + 4xdydx+ 2 y =0 (x >0 )通解为y =c1 x+ c2x2 。(5)设矩阵A =2　1　01　2　00　0　1,矩阵B满足ABA =2BA +E ,A 为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则|B| =19。(6)设随机变量X服从参数为λ的指数分布,则P{X >DX} =1e。二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分3 2分)(7…     

海南省2003年中等学校招生考试数学科试题

(本试题满分 1 2 0分 ,考试时间 1 2 0分钟 )　　一、选择题 (本大题满分 2 4分 ,每小题 2分 )1 .计算 3 +( -5 )的结果是 (　 ) .A .2　　　B . -2　　　C .8　　　D . -82 .已知x=-1是一元二次方程x2 +mx+1 =0的一个根 ,那么m的值是 (　 ) .A .0　　　B .1　　C .2　　D . -23 .下列各式中 ,不一定成立的是 (　 ) .A .(a +b) 2 =a2 +2ab+b2B .(b-a) 2 =a2 -2ab +b2C .(a +b) (a-b) =a2 -b2D .(a -b) 2 =a2 -b24.如图 ,在 ABCD中 ,已知∠ABC =60°,则∠BAD的度数是 (　 ) .A .60°　　B .1 2 0°　　C .1 5 0°　　D .无法确定…     

2003年北京市中学生数学竞赛初中二年级复赛试题

(2 0 0 3年 7月 2 7日 )一、填空题 (满分 40分 )1.若 (2x -1) 5=a5x5+a4x4+a3 x3 +a2 x2 +a1 x +a0 ,则a2 +a4=.2 .在△ABC中 ,M是AC边的中点 ,P为AM上一点 ,过P作PK∥AB交BM于X ,交BC于K .若PX =2 ,XK =3,则AB =.3.a ,b ,c是非负实数 ,并且满足 3a +2b +c =5,2a +b - 3c =1,设m =3a +b- 7c,记x为m的最小值 ,y为m的最大值 ,则xy =.4.在△ABC中 ,AD是BC边上的中线 ,AB =2 ,AD =6,AC =2 6,则∠ABC =.5 .已知xyz =1,x +y +z =2 ,x2 + y2 +z2 =16.则 1xy + 2z + 1yz + 2x + 1zx + 2y=.二、(满分 15分 )如果正数a ,b ,c满足a+c…     

用函数转移法证角的相等或互补

八五年全国初中数学竞赛有这样一道题: 已知:如图所示,O为凸五边形ABC D E内一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8。求证:∠9与∠10相等或互补。初看本题,似乎无从下手。但考虑到转移的方法,就是要证     

问题与解答

一、本期问题 1.解方程sin~1087x-COs~1086x=1。河北定兴中学任世彬提供 2.p是Rt△ABC内一点,设∠PAC=∠PBA=PCB=θ,试证:ctgθ≥2。 3.等腰梯形两底之比为1:3,当以一腰为直径的圆与另一腰相切时,该梯形的内角大小如何? 安徽怀宁江镇中学黄全福提供 4.求x+2y在圆x~2十y~2≤1内的最大值和最小值,以及达到最大值和最小值时的点的坐标(x,y)。     

2002年全国攻读硕士学位研究生入学考试数学试题(一)(附参考答案)

一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分。)( 1 ) ∫+∞cdxxln2 x=[1 ]。( 2 )已知函数 y=y( x)由方程 ey+6xy+x2 -1 =0确定 ,则 y″=[-2 ]。( 3 )微分方程 yy″+y′2 =0满足初始条件 y|x=0 =1 ,y′|x=0 =12 的特解是 [y=x+1或 y2 =x+1 ]。( 4)已知实二次型 f( x1,x2 ,x3) =a( x21+x22 +x23) +4 x1x2 +4 x1x3+4 x2 x3经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y21,则 a=[2 ]。( 5)设随机变量 X服从正态分布 N (μ,σ2 ) (σ>0 ) ,且二次方程 y2 +4 y+X=0无实根的概率为 12 ,则μ=[4]。二、选择题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分…     

巧借平几结论 妙解解几问题

平面解析几何与平面几何有着紧密的联系 ,因此 ,平面几何的某些结论在解析几何中仍起着不可估量的作用 .适时而且恰当借助平面几何的有关结论来进行转换 ,可以创造出非常简洁的解题方法 .下面就举例简析之 :例 1.过点A(- 2 ,0 )作圆x2 +y2 =1的割线ABC ,则弦BC的中点P的轨迹方程是 .简析 :如图 1,由于BC中点P与圆心O的连线与AC垂直 ,即∠OPA =90° ,∴由平几结论得 :P在以OA为直径的圆上 ,且落在已知圆内的部分 ,所以易得P点的轨迹方程为 :(x + 1) 2 +y2 =1(- 12 相似文献