构造数表导出1~3+2~3+…+n~3公式

高中《代数》下册第 12 1页上有公式 13+ 2 3+ 3 3+… +ｎ3=12 ｎ(ｎ + 1)2 ,要求同学们用数学归纳法证明 .同学们在学习过程中应该去探寻 ,利用所学的知识和方法导出这个公式 ,以锻炼自己的思维 ,体验成功的喜悦 ,增添学习数学的情趣 .本人采用构造法来推导此公式 .构造数表 :1,　 2 ,　 3 ,　 4,… ,ｋ ,… ,ｎ|　 |　　 |　　 |　　 |2 ,— 4,　 6,　 8,… ,2ｋ ,… ,2ｎ|　　 |　　 |　　 |3 ,— 6,— 9,　 12 ,… ,3ｋ ,… ,3ｎ|　　 |　　 |4,— 8,— 12 ,— 16,… ,4ｋ ,… ,4ｎ…… |　　 |ｋ ,— 2ｋ ,— 3ｋ ,— 4ｋ ,…—,ｋ…     

导出1~3+2~3+3~3+…+n~3的公式的一种方法

笔者曾在《中学生数学》2002年第5期(上)发表了《导出12+22+…+n2的公式的一种方法》的文章,主要阐述用全等三角形数阵并进     

导出1~2+2~2+3~2+…+n~2公式的又一种方法

《中学生数学》曾介绍导出12+22+32+…+n2(设为Sn)的公式的几种方法,本文介绍     

不等式a~3/x~2+b~3/y~2≥(a+b)~3/(x+y)~2的另证

文 [1 ]中谭志中和单老师为解决一类电场问题提出了一个不等式 ,即对于任意的ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,有不等式ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 成立 .(其中等号成立当且仅当ａｙ =ｂｘ ａｘ=ｂｙ) .文中为证明上述不等式 ,构造了恒等式 ,即 :ｆ (ｘ ,ｙ) =ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 =(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 +(ａｙ -ｂｘ)ｘｙ(ｘ + ｙ)ａｘ+ ｂｙ+ ａ +ｂｘ + ｙ .构造虽然巧妙 ,但一时不易让人接受 ,下面给出此不等式的另一种证法 .证　由于ａ ,ｂ∈Ｒ+ ,ｘ ,ｙ∈Ｒ+ａ3ｘ2 + ｂ3ｙ2 ≥(ａ +ｂ) 3(ｘ + ｙ) 2 (ｘ2 + ｙ2 + 2ｘｙ)·ａ3ｘ2 + ｂ3…     

关于 X_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)的通项公式

这是八六年高考数学第八题:已知x_1>0,x_1≠1 且x_n+1=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数都满足x_nx_(n+1)。此题证法很多,先求通项公式是一个类型的方法,下面给出一种求通项公式的简便方法。由已知     

x~3+y~3+z~3=0无整数解的证明

<正> 文1证明了x~3+y~3+z~3=0无xyz≠0的整数解。其中重要的根据是;若s~3=a~2+3b~2,(a,b)=1,(a,b)的最大公约数,记为(a,b),则有s=n~2+3v~2,且a=n(n~2-9n~2),b=3v(n~2-v~2).例如91~3=836~2+3·135~2,求得上述的s=4~2+3·5~2,而不是4~2+3·5~2.     

证不等式a+b+c/3≥(abc)~(1/3)的几种方法

命题设a、b、c≥0,(a+b+c)/3≥abc~(1/3), 证明显然当a、b、c中至少有一个为零时,不等式恒成立,所以我们只就a、b、c全不为零时给出证明。方法1应用基本不等式m~2+n~2≥2mn来证明。设P>0、q>0、r>0 ∵p~2+q~2≥2pq, q~2+r~2≥2qr,r~2     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

不等式(a+b+c)/3≥(abc)~(1/3)的应用三例

在高中教材中有一个重要不等式为 :如果ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ +ｂ +ｃ3≥ 3ａｂｃ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 .灵活应用这一重要不等式往往可以收到很好的解题效果 .下面举三例说明 .例 1　比较 (12 ) 13 与ｌｏｇ1312 的大小 .分析 :这两个数大小比较初看起来不易运用常规办法处理 ,如果分析 (12 ) 13 这一个数而应用公式1ａ+1ｂ+1ｃ3≥31ａ·1ｂ·1ｃ ,即 3ａｂｃ≥31ａ+1ｂ+1ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ+ )进行放缩处理 ,问题就会迎刃而解 .解　∵ (12 ) 13 =312 =312 ·1·1>32 +1+1=34,而 34=ｌｏｇ3 (3) 3 4 =ｌｏｇ342 7>ｌｏｇ3416=ｌｏ…     

公式(a+b/2)~2≤a~2+b~2/2的一个证法及其应用

公式〔蝉、“簇丝兰早兰兰(:)弓}自统编数学课 一’一’、2/一2’一’、·~?一”~,一本第三册尸66.5(3),一般是利用基本不等式a“+吞,》Za西(a、乙〔尺,当且仅当。=乙时取“=,,号)证明的。在此我们为了推广这一不等式而采用另一种证法。 证明:令f(x)=(x一a忿)+(x一的“(a拍〔R),则f(x)对任何实数x恒有厂(x)》0。故方程(x一a)“+(x一b)“二0当a沪b时只能有虚恨当‘=b时则二根相等。因而其判别式△(0. 方程的判别式 △=4(a+b)2一4 02·(aZ一卜西“)(0。即(e+舌)“(2(a:+乙“).(色华、么、21《趁土兰 2(当且仅当a=b时取“=”号)。公式(幻可以…     

不定方程 x~3+y~3=z~2与 x~3+y~3=z~4

在 x,y 互素的条件下,本文给出不定方程 x~3+y~3=z~2所有的整数解,并证明不定方程 x~3+y~3=z~4无 xyz≠0之整数解.     

不等式∑(a/(b+c))~(1/2)<1+23~(1/2)/3的初等证明

文 [1 ]利用多元函数的偏导数分四种情况证明了 :在△ ABC中 ,若 a,b,c为其边长 ,则有ab+ c+ bc+ a+ ca + b　　 <1 + 2 33 . ( 1 )之后 ,文 [2 ]给出了不等式 ( 1 )的一个初等“证明”,但文 [3]指出 [2 ]的证明是错误的 .本文将给出不等式 ( 1 )的一个初等证明 .引理 1　若正数 x,y满足0 相似文献   

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

PERTURBATION OF A_0 ~+h

Let Z be a topological space and mapping A2 :Z→B(H) with closed range R(A2 ) be continuous . Some necessary and sufficient conditions of the continuity of M-P inverses A z+ are given in [1], [2]. It is one of them that AZ+ is continuous if ana only if AZ+ is locallybounded. In this paper, we discuss the following problem: if limA n = A0 in B(H) and ||An+||is unbounded (i.e. the above necessary and sufficient condition fails), what h in H will make the equations: limAm+ h = A0+ h or w-limAn+ h= A 0+ h be true. For this purpose three theorems and an error estimation are given in this paper.     

二项式的一个新展开式

大家知道,二项式(1+x)~n可以按x的非负整数次幂展开,即有 (1+x)~n=C_n~0+C_n~1x+C_n~2x~+…+C_n~nx~n其系数可以排成一个数字三角,它被称为杨辉三角。我们若将二项式(1+x)~n按1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2),…,x(x-1)(x-2)…(x-n+1)展开,有 (1+x)~0=1 (1+x)~1=1+x (1+x)~2=1+3x+x(x-1) (1+x)~3=1+7x+6x(x-1)+x(x-1)(x-2) ………………一般地 (1+x)~n=H_n~0+H_n~1x+H_n~2x(x-1)+…+H_n~nx(x-1)(x-2)…(x-n+1) (1) 显然,展开式的系数是唯一存在的。可以将系数排成如下数表: 和杨辉三角一样,数表1也有很多有趣的性质和广泛的用途。 (一) 性质性质1 通项公式     

环F_3+uF_3+vF_3+uvF_3上的循环码

研究了环R=F_3+uF_3+vF_3+uvF_3上循环码的结构(u~2=u,v~2=v,uu=uu),证明了该环上的循环码是主理想生成的,并给出了其上循环码的生成多项式.     

公式1~3 2~3 … n~3=…的多证

问题求证:13 23 33 … n3=1/4n2·(n 1)2(正整数立方数列的前n项和公式)．证法一如图,作出函数y=2x(x≥0)的图像．在x轴上顺次截取线段OO1, O1O2,O2O3,…, On-1On使OO1=1, O1O2=2,O2O3=3,…,On-1On=n,过O1、O2、O3、…、On．分别作x轴的垂线,交半直线y=2x(x≥0)于P1、P2、P3、…、Pn,则P1O1=2×1=2,P2O2=     

怎样求数表的项与和

将满足一定条件的数按照一定的规律排成一个表 ,称为数表 .数表问题历来是竞赛的热点 ,并在 2 0 0 3年高考压轴题中出现 .那么 ,怎样求数表的项与和呢 ?可在观察、归纳、推理的基础上 ,运用数列的知识与方法 ,具体采取“多向分组、定组定项、定项求和”的方法来求解 .“多向分组”是指按横向或竖向或斜向将整个数表分组 ,把数表问题转化为数列问题 ;“定组定项”是指确定数表的项是“多向分组”中的第几组第几项 ;“定项求和”是指通过“定组定项”求得数表的项的通项公式 ,再按数列求和方法求和 .该方法的核心是分组 ,关键在于定组定项 .下…     

关于Sk=1+2k+3k+…+nk的探究

1.递推公式由二项展开式得对i求和上式左边可化为(n+1)k+1-1+Sk+1,从而有(1)由(1)式得递推公式     

利用欧拉公式解方程(组)

<正>我们知道对于任意实数a,b,c,都有如下公式:a³+b3+b³+c3+c³-3abc=(a+b+c)(a3-3abc=(a+b+c)(a²+b2+b²+c2+c²-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a2-ab-ac-bc),我们称上述公式为欧拉公式.特别的,当a+b+c=0时,a³+b3+b³+c3+c³=3abc.当我们解方程(组)时,经常会碰到有两项或三项立方加减或立方根加减的情况,都可充分运用欧拉公式求解.