也谈一元一次不等式的解集及其数轴表示问题

<正>贵刊(初中版)2009年8月(下)刊发了安徽毛春松老师的《类比方程学好不等式(组)》,文中将一元一次不等式同一元一次方程的解答过程进行了对比,有效帮助同学们掌握解不等式的相关方法.对比解一元一次方程,在解不等式时,"不等式两边同时乘以(或除以)同一个负数时,不等号的开口方向要改变"这一步与解方程不同,最容易出现错误.因此笔者认为很有必要将解不等式步骤中"化系数为1"的这一步凸显出来,如此不仅提醒同学们关注这一步的符号特征从而更加准确地求解,也便于解题之后进行检查.除此之外,本     

不等式性质的灵活应用

<正>不等式性质常见的有如下三个1.不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变.2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.这三个基本性质是对不等式进行变形的重要依据,灵活应用它们,能帮我们顺利地解     

不等式基本性质的运用

同学们都知道,不等式的基本性质有下列三条:①不等式的两边都加上(或减去)一个整式,不等号的方向不变;②不等式的两边都乘以一个正数,不等号的方向不变;③不等式的两边都乘以一个负数,不等号的方向改变.现通过举例,说说不等式基本性质的作用,供同学们学习时参考.     

解一元一次方程常见错误例析

解一元一次方程是今后解决实际问题以及学习解其他方程的基础,同学们务必要扎实掌握．但是,在初学解一元一次方程时,总会出现这样或那样的错误．现对解一元一次方程易出现的错误举例剖析如下．     

五招助你巧解一元一次方程

解一元一次方程的一般步骤是:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1.在每一个步骤中,倘若我们能根据方程的特点巧妙变形,则可以使得解题过程更简便,下面本文结合例题介绍五招巧解一元一次方程的重要策略,供同学们借鉴.     

含参一元二次不等式的多种解法

<正>例题已知不等式ax²+bx+c>0的解集为{x|-10的解集为{x|-12+bx+a>0的解集.解题提示:注意不等式解集的端点值是对应方程的根,还要注意不等号方向与解集形式对字母范围的限制.解法一∵ax2+bx+a>0的解集.解题提示:注意不等式解集的端点值是对应方程的根,还要注意不等号方向与解集形式对字母范围的限制.解法一∵ax²+bx+c>0的解集为     

也谈不等式基本性质的运用

贵刊(初中版)在2012年1月刊发了甘肃陈国玉老师的《不等式基本性质的运用》,在比较大小、实际运用、确定范围三方面,运用不等式的三条基本性质进行求解,求解效果甚好,然而并不易于理解,求解过程不够简炼.同学们细心品读不等式的基本性质,可以发现:不等式基本性质的最大关键为不等号方向改变与否.据此,完全可以将不等式的基本性质,进一步总结为:(1)不等式两边同时乘以0,不等号变成等号;(2)只有不等式两边同时     

关于方程和不等式组的无解问题

同学们在解方程或不等式组时,经常会遇到"无解"这样的问题,现将有关类型归纳如下,供同学们学习时参考.一、一元一次方程的无解例1关于x的方程a(2x+1)=12x+3b,问:当a、b为何值时,(1)方程有唯一解;(2)方程有无数解;(3)方程没有解.分析对于一元一次方程ax=b,(1)当a≠0时,方程有唯一解;(2)当a=0,b=0时,方程有无数解;(3)当a=0,b≠0时,方程没有解.将已知方程化为ax=b的形式,逆向应用     

不等式的一种解法

用代数法解一元高次不等式是非常繁的,所以常用图象解法。但是,对于高次不等式組来說,使用图象解法也不太方便。本文打算提出一种不等式(組)的簡便解法,使得解不等式变为一連串有一定規律的公式运算,甚至可以說象代数运算那样方便。一、基本概念为了下面討論一般化起見,我們約定用記号∨泛指不等号>,<,≥,≤。定义1.假如不等式p1(x)∨0的解是不等式p2(x)∨0的解;p2(x)∨0的解也是p1(x)∨0的解,則称不等式p1(x)∨0和不等式p2(x)∨0是等价的,記为p1(x)∨0～p2(x)∨0.例如,x—1>0～x>1。定义2.假如任何自变量值都能滿足不等式p(x)∨0,則称它为恆真不等式,記为p(x)∨0～И。     

解不等式的常见错误

解不等式是不等式一章的重要内容 ,解不等式的变形依据是不等式的性质及有关函数的性质 .但是初学解不等式的同学 ,由于对性质认识不足 ,理解不深 ,常出现变形不等价的错误 ,现归纳总结如下 :一、不等式两边同除含字母的式子致误例 1　解不等 3ｘ(ｘ +1 ) <7(ｘ+1 ) .错解　原不等式两边同除以ｘ+1 ,得　 3ｘ <7,所以　ｘ<73 .剖析　由于ｘ +1中含有字母 ,正、负不定 ,两边除以ｘ +1 ,由不等式的性质 ,不等号的方向无法确定 ,自然原不等式变形为 3ｘ <7是错误的 .正解　原不等式可化为3ｘ(ｘ+1 ) -7(ｘ+1 ) <0 ,(ｘ+1 ) ( 3ｘ -7) <0 ,解得…     

中考一元二次方程问题归类例析

中考试卷里的一元二次方程问题,大致有如下几类. 一、解一元二次方程例一一元二次方程x2=x 的解是( ). (A)1 (B)0 (C)1或0 (D)无解分析解一元一次方程的基本方法是配     

三招妙解一元一次程

<正>"去括号、移项、合并同类项、化系数为1",这是解一元一次方程的基本步骤,然而实际求解起来仍有不少难度,但若在具体实施时,能根据方程的特点,进行灵活处理,解答起来会更轻松、简便,现通过几例介绍三个妙招,供同学们借鉴.一、直除系数,直观得解     

巧用数形结合解决三个“一次”的问题

一元一次方程,一元一次不等式(组)和一次函数,这三个"一次"有着紧密联系.例如一次函数y=kx+b(k≠0),当y=0时,得一元一次方程kx+b=0,即一元一次方程的解就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标;当y>0时,得一元一次不等式kx+b>0;不等式kx+b>0在直角坐标中就是表示直线y=kx+b在x轴上方部分,kx+b<0就表示直线y=kx+b在x轴下方部分.两个一次函数图像的交点横纵坐标就是对应解析式组成的方程组的解等.上述这些联系的本质其实就是数与     

含有字母系数的一元一次方程

<正>大家已经掌握解一元一次方程的一般步骤与依据,遇到含字母系数的一元一次方程时,要注意分类讨论.现将这一内容做如下整理与概括,希望对同学们的学习有一定的帮助.一、关于x的方程ax=b的解的情况的探究下列各式哪些是关于x的一元一次方程?为什么?     

不等式F(x)·(Φ(x))~(1/2)≥0的解法探讨

例　解不等式(ｘ - 4)ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 .错解 :原不等式等价于不等式组 :ｘ - 4≥ 0 ,ｘ2 - 3ｘ - 4≥ 0 ,即 ｘ≥ 4,ｘ≥ 4或ｘ≤ - 1,解得ｘ≥ 4,∴原不等式的解集为 {ｘ|ｘ≥ 4} .剖析　显然当ｘ =- 1时 ,原不等式也成立 .为什么漏掉ｘ =- 1这个解呢 ?究其原因是忽略了原不等式中的“≥”号具有不等和相等的双重性 .要注意 :同解定理“不等式Ｆ(ｘ)·Φ(ｘ) >0与不等式组Ｆ(ｘ) >0Φ(ｘ) >0 同解”中的不等号是“ >” ,而不是“≥” .下面介绍三种可以防止错解的简便方法 ,供读者参考 .1　符号分解　符号“≥”是由“ >”与“ =”复合…     

巧用判别式 简解数学题

<正>一元二次方程根的判别式是方程知识的核心内容,是联系3个"二次"(二次函数、二次方程与二次不等式)的重要桥梁.巧用判别式简解数学题,关键在于构造出一元二次方程,然后利用Δ≥0来求解;或构造恒大于等于(或小于等于)0的二次不等式,然后利用Δ≤0来解答.对有些看似与一元二次方程毫无关联的     

例谈不等式(组)中的分类讨论

<正>不等式是数学学习中的重要内容,解一元一次不等式(组)是不等式的基础,当遇到含字母系数的不等式(组)时,常常需要分类讨论.下面我们通过例题来看看分类讨论在解与不等式(组)有关的问题中的应用.一、解不等式例1解关于x的不等式ax-1>2x+5.解移项,得ax-2x>5+1,合并同类项,得(a-2)x>6.此时,我们为了求出x的取值范围,要将x的系数化为"1",也就是不等式两边都除以(a-2),可是我们并不知道(a-2)的符号,就不     

2012年中考专题复习(5)——方程(组)

方程(组)知识是初中数学的核心内容之一,也是中考命题的重点内容.它主要包括一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程的解法以及列方程(组)解决实际问题.其中考查方程(组)的解法以选择题和填空题为主,计算量不大;考查列方程(组)解应用题以解答题为主,主要考查解工程类、方案设计类及决策类问题.     

不等式F（x）·（φ（x）)~(1/2)≥0解法探讨

引例解不等式 . 错解原不等式等价于不等式组: 即 解得x≥4, ∴ 原不等式的解集为{x|x≥4}. 剖析显然当x=-1时,原不等式也成立.为什么漏掉x=-1这个解呢?究其原因是忽略了原不等式中的“≥”号具有不等和相等的双重性.要注意:同解定理“不等式F(x) 与不等式组 同解”中的不等号是“>”,而不是“≥”.     

函数与方程思想在三角问题中的应用

函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,将问题中的条件转化为数学模型:方程、不等式或方程与不等式的混合组,然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.函数与方程犹如亲兄弟,彼此身上存在对方的影子,两者互相转化接轨,形成了函数与方程思想.本文将用函数与方程思想来解决三角函数的证明求值问题.