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1.
辽宁省大连市 112中学车延文 ,尹向阳读者来信指出 :《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 12 51的解答有不妥之处 .因为数 4 / 9ａ2 ｎ-8和 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ-8)不是两个无关的数 .数 4 / 9ａ2 ｎ-8是数列 {4 / 9ａ2 ｎ-8}的第ｎ项 .利用关系ａｎ 1 =12 ａｎ 49ａｎ,易知 4 / 9ａ2 ｎ 1 -8=2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8) .因此 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8)是数列 {4 /9ａ2 ｎ-8}的第ｎ 1项 .所以用数学归纳法来说明这两个数均为自然数时 ,仅验证ｎ =1时 .结论成立就不够了 .必须验证ｎ =1,及ｎ =2时结论成立 ,整个证明的叙述应改为如下 :令Ａｎ=4 / … 相似文献
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在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ 若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ 若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- … 相似文献
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在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足 ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1 当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为 ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1 满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2 当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为 ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为 ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2 数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得… 相似文献
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填空题在近几年的高考题中数量不多 ,但由于其绝大多数是计算型 (尤其是推理计算 )和概念(性质 )判断的试题 ,应答时必须按照规则进行切实的计算或逻辑的推理和判断 ,没有象选择题那样的提示与猜测 ,在能力要求上高于选择题 .而且它一直是高考新题型的“试验田” ,每年总会出现一至两个新题型 ,起到反映改革趋势 ,探索命题规律 ,考查学生创新能力的作用 :( 2 0 0 0年上海高考 )出现了一道“阅读信息处理题” :“在等差数列 {an}中若a10=0 ,则有等式a1+a2 +… +an =a1+a2 +… +a19-n.(n<1 9.n∈N)成立 .类比上述性质可得 :在等比数列 {bn}中… 相似文献
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有些数学问题是由物理问题抽象得到的 ,或蕴含有物理意义 ,我们在解决这些问题时利用一个物理装置把数学问题物理化 ,常会出现一些有趣的巧法 .例 1 设 {ａｎ}为等差数列 ,Ｓｎ 1为其前ｎ 1项的和 ,求证 :ａ1Ｃ0 ｎ ａ2 Ｃ1ｎ ａ3Ｃ2 ｎ … ａｎ 1Ｃｎｎ=Ｓｎ 1ｎ 1·2 ｎ.证 设数列 {ａｎ}的公差为ｄ ,当ｄ =0时 ,由组合数性质知结论成立 .当ｄ >0时 ,ａ1<ａ2 <… <ａｎ 1,如图 1,考虑数轴上坐标为图 1 数轴ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 1的点 ,在ａｉ 处对应放置质量为Ｃｉ- 1ｎ (ｉ=1,2 ,… ,ｎ 1)的质点 ,由于ａｉ 1-ａｉ=ｄ ,Ｃ… 相似文献
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一类与自然数有关的不等式证明题是高考的热点问题 ,最常规的证明方法是数学归纳法和放缩法等 .但数学归纳法证明往往过程较繁 ;用放缩法时则盲目性较大 .对于两个数列 {ａｎ}与 {ｂｎ} ,有下面的结论 :1)若ａｎ<ｂｎ,则ａ1+ａ2 +… +ａｎ<ｂ1+ｂ2 +…+ｂｎ;2 )当ａｎ>0 ,ｂｎ>0时 ,若ａｎ<ｂｎ,则ａ1·ａ2 ·…·ａｎ<ｂ1·ｂ2 ·…·ｂｎ.证明某些数列不等式时若能利用此性质 ,则可使证明过程简捷明快 .1 ａ1+ａ2 +… +ａｎ<Ｂｎ 型可以构造数列 {ｂｎ} ,使得ｂ1+ｂ2 +… +ｂｎ=Ｂｎ,只需证明ａｎ<ｂｎ 即可例 1 (1992年“三南”高考试… 相似文献
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3月 1 9日 星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题 已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1 由已知可得 ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 . ②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2 由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ… 相似文献
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.定理 若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列 {ａｎ}满足递推关系ａｎ 1=ｂａｎ ｃａｎ -1,ａ1=0 ,ａ2 =1 ,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .证 1 )当ｎ =2时 ,由题意知ａ1=0 ,ａ2=1 ,ａ3 =ｂａ2 ｃａ1=ｂ .从而方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ-ａｎｃ =0即为ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0 .显然方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0的根ｘ0 也是ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 .所以 ,当ｎ =2时命题成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ 2 )时命题成立 .即方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的… 相似文献
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文 [1]介绍了一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论。本文将该结论作出推广 .为了方便 ,首先抄录文 [1]的结论 :“定理 若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1 ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列{ａｎ}满足递推关系ａｎ 1 =ｂａｎ ｃａｎ-1 ,ａ1 =0 ,ａ2 =1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .”上述定理的推广如下 :定理 1 若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 必是方程ｘｎ-ａ2 ｎ 1 ｘ -ａ2 ｎｃ=0的根 ,其中ａｎ 和ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第… 相似文献
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题目 :{ａｎ}是等比数列 ,且Ｓ =ａ1 +ａ2 +…ａｎ,Ｔ =1ａ1 +1ａ2 +… +1ａｎ,求 {ａｎ}的前ｎ项之积 .苏州大学出版的 2 0 0 1版《高三数学教学与测试》(教师用书 )中给出的解答如下 :解 设ｑ为公比 Ｓ =ａ1 -ａｎｑ1 -ｑ ,Ｔ =1ａｎ- 1ａ1ｑ1 -ｑ =ａ1 -ａｎｑａ1 ａｎ(1 -ｑ) ＳＴ =ａ1 ａｎ,又ａ1 ａｎ=ａ2 ａｎ- 1 =… ａ1 ａ2 ａ3…ａｎ =(ａ1 ａｎ) ｎ2 ,即所求之积为 ＳＴｎ2 .笔者在探究其解法的过程中 ,发现上面的解答是错误的 .无独有偶 ,中国青年出版社 1 998年 8月出版的《中学生同步学习参考书》(高二数学)Ｐ98页也有此… 相似文献
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1 已知数列 {ａｎ}适合ａ0 =4 ,ａ1=2 2 ,且ａｎ- 6ａｎ - 1 ａｎ - 2 =0 (ｎ≥ 2 ) ,证明 :存在两个正整数数列 {ｘｎ}和 { ｙｎ}满足ａｎ=ｙ2 ｎ 7ｘｎ- ｙｎ(ｎ≥ 0 ) .解 [方法 1]由特征方程ｘ2 - 6ｘ 1=0 ,求其特征根为 3± 2 2 ,应用待定系数法 ,求其通项公式ａｎ=8 5 24 (3 2 2 ) ｎ 8- 5 24 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .取 ｙ0 =1,ｙ1=9,ｙｎ=6 ｙｎ - 1- ｙｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) .用求ａｎ 同样的方法可求得ｙｎ=2 324 (3 2 2 ) ｎ 2 - 324 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .令ａ- 1=2 ,则 ｙ20 7=8=ａ- 1ａ0 且可证ｙ2 ｎ 7=ａｎ -… 相似文献
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关于公式学习的变式探究 总被引：1，自引：0，他引：1
公式学习是数学学习的中心环节 .掌握公式就意味着明确公式的结构特征 (条件和结论 ) ,弄清公式的来龙去脉、推证方法和适用范围 ,并能运用公式解题 .为此 ,要十分注重公式的变式探究 .例如 ,等比数列求和公式 ,课本采用“ｑ倍减法”推导该公式 (记为方法 1) ,若着眼于 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ 与ａｎ 之间的联系以及等比数列的定义 ,可得如下推导方法 .方法 2 :(方程法 )设 {ａｎ}是公比为ｑ的等比数列 ,则ａ2ａ1=ａ3 ａ2=… =ａｎａｎ -1=ｑ (ｎ≥ 2 ) ,∴ａ2 =ａ1ｑ ,ａ3 =ａ2 ｑ,… ,ａｎ=ａｎ -1ｑ ,相加得Ｓｎ-ａ1=ｑＳｎ -1(ｎ≥ 2 ) ,… 相似文献
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题 4 9 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0… 相似文献
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(一 ) 2 0 0 0年第 9期数学问题的第 1 2 67题是 :试确定ａ0 的取值范围 ,使由递推式ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ(ｎ=0 ,1 ,2 ,… )给出的数列是严格增数列 .该题提供者给出的解答有误 ,原解答是ａ0 >16 .为说明ａ0 >16 不正确 ,只要举个反例即可 ,例如当ａ0 =1时 ,数列 {ａｎ}是 1 ,- 2 ,… ,足见不是增数列 .如何求ａ0 的范围 ?可先解出ａｎ,一种解法是 :ａｎ 1 =- 3ａｎ 2 ｎ ａｎ 1 - 2 ｎ 15 =(- 3) (ａｎ- 2 ｎ5)∴ａｎ- 2 ｎ5 =(ａ0 - 15) · (- 3) ｎ,ａｎ =2 ｎ (- 1 ) ｎ 1 3ｎ5 (- 1 ) ｎ· 3ｎ·ａ0考查△ｎ =ａｎ-ａｎ - 1… 相似文献
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结论 已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证 设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ… 相似文献
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四十多年前 ,Ｋ .Ｆａｎ ,Ｏ .Ｔａｕｓｓｋｙ和Ｊ .Ｔｏｄｄ发现并证明了如下两个优美的初等不等式[1] :设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 皆为实数 ,1° 若ａ0 =ａｎ 1=0 ,则2 (1-ｃｏｓ πｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎ 1ｋ =1(ａｋ-ａｋ- 1) 2 (1)等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .2° 若ａ0 =0 ,则2 (1-ｃｏｓ π2ｎ 1) ｎｋ =1ａ2 ｋ≤ ｎｋ =1(ａｋ-ａｋ - 1) 2 (2 )等式成立当且仅当ａｋ=Ｃｓｉｎ ｋπ2ｎ 1(ｋ =1,2 ,… ,ｎ ,Ｃ为实常数 ) .1982年 ,Ｇ .Ｖ .Ｍｉｌｏｖａｎｏｖｉｃ和Ｉ.… 相似文献
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1 一个数列例题例题 在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解 由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 : ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ … 相似文献
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在有关数列问题求解中 ,由于概念不清、性质不明、公式不分等原因 ,部分同学解题时经常出现错误 .本文拟举例说明 .例 1 已知数列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=3ｎ - 4 ,求证数列 {ａｎ}是等差数列 .错证 :∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａ1=3- 4 =- 1 ,ａ2 =2 ,ａ3=5,ａ4=8,则ａ2 -ａ1=ａ3-ａ2 =ａ4-ａ3=3,∴数列 {ａｎ}是等差数列 .评析 证明过程不能用特殊的几项来代替全部 ,而应紧扣定义 :从第二项起 ,是“每”一项与前一项的差为常数 .故可通过通项公式 ,判断 (ａｎ 1-ａｎ)是否为常数来证明 .正确证明 ∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａｎ 1=3ｎ - 1 ,则当ｎ… 相似文献
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充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1 数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2 已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3 数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4 三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5 已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=… 相似文献
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《数学通讯》2002,(10)
学数学与学习任何一科知识一样 ,也要有创新精神 ,这对我们学好数学非常重要 .下面请看一道例题 .例 设等比数列 {ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,积为Ｐｎ,各项倒数的前ｎ项和为Ｔｎ.求证 :Ｐ2 ｎ=ＳｎＴｎｎ.这道题的常规解法是利用等比数列的求和公式及有关性质 ,将Ｐｎ,Ｓｎ,Ｔｎ 化为关于ａ1和ｎ的关系式 ,化简后证明相等 .这种解法步骤比较多 ,较繁 .下面我运用等比数列的性质通过合比定理证明它 .证明 Ｐ2 ｎ=(ａ1ａ2 ａ3 …ａｎ) 2 =(ａ1·ａｎ) ｎ;ＳｎＴｎｎ=ａ1+ａ2 +ａ3 +… +ａｎ1ａ1+ 1ａ2+ 1ａ3+… + 1ａｎｎ,∵ ａ11ａｎ=ａ21ａｎ… 相似文献