2022年高考数学浙江卷第16题的探究

离心率是圆锥曲线的一个非常特殊的几何性质,同时又能融合其他数学相关知识很好地考查学生思维与能力.结合一道高考真题实例,从解析几何与平面几何这两个最常见的思维视角切入,深入探究有关圆锥曲线的离心率问题,并总结出破解技巧与方法应用.     

求圆锥曲线离心率的解题策略

求圆锥曲线的离心率是解析几何中常见的一类问题．解这类问题的关键是如何构造出关于“离心率e”的方程．本文将通过对这类问题的归纳总结,给出求解圆锥曲线离心率的几种思维策略．     

几何视角直观,代数视角运算——一道离心率的探究

圆锥曲线的离心率是其一个非常特殊的几何性质,很好体现圆锥曲线自身的性质,又能融合其他数学相关知识,是很好锻炼学生思维与能力的一个主阵地.结合一道模拟题的实例,发散思维,从几何与代数两个最常见的思维视角切入,深入探究,合理应用,引领并总结破解技巧与应用.     

也谈圆锥曲线的“保型性”和“保形性”

“数学通讯”1986年第9期发表的“圆锥曲线保型性定理的别证与修改”一文中,给出了如下定理:过定点 M(x_0,y_0)作圆锥曲线Γ(指非退化曲线,M 非Γ的中心)的割线,则割线被圆锥曲线截得的动弦的中点轨迹Γ′是和原圆锥曲线同类型的圆锥曲线(或圆锥曲线的部分弧);且两者具有相同的离心率.     

合理引参,巧妙构建,变式拓展——以一道确定离心率的模拟题为例

圆锥曲线的离心率是其一个非常特殊的几何性质,既很好地体现圆锥曲线自身的性质,又能融合其他数学相关知识,是很好锻炼学生思维与能力的一个主阵地.结合一道模拟题的实例,发散思维,从不同视角引参数,挖掘内涵,构建基本量的关系式,不断深入探究,变式应用与拓展,引领并总结破解技巧与应用.     

例析圆锥曲线离心率范围问题的求解

离心率是圆锥曲线的一个重要性质 .椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据 ,双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据 ,而抛物线离心率为特殊值 .圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同 ,而确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线、抛物线的类型 .高考试题对离心率的求值多次相继出现 ,受其启发 ,本文现对圆锥曲线离心率变化范围进行探究 ,对常见相关习题进行归纳 .1　由曲线图形的性质求离心率的范围从曲线的方程和性质 ,结合图形特定形状 ,求解离心率的范围 .例 1　过双曲线x2a2 - y2b2 =1　 (a >0 ,b>0 )的右焦点 F作双曲…     

选择题和填空题中圆锥曲线的离心率问题

<正>离心率是描述圆锥曲线形状特征重要的量,椭圆的离心率描述椭圆"扁平"程度,双曲线的离心率描述双曲线的开口大小,在高考中高频考查求椭圆、双曲线的离心率问题.圆锥曲线离心率问题涉及定义、标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系以及向量、三角函     

走进圆锥曲线离心率的取值范围的思维途径

求圆锥曲线离心率的取值范围的问题,是高考热点.这类问题涉及多个知识点,综合性强,解法灵活且多种多样,学生在解决这类问题时,许多同学感到不知从何入手.其实解决这类问题的关键是如何挖掘出问题中的不等关系?如何走进圆锥曲线离心率的取值范围?其思维途径何在?本文试图通过实例对此问题作一些探求.     

求圆锥曲线离心率的常用方法探究

离心率是圆锥曲线重要的几何性质,是描述曲线形状的重要参数.椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要参数,双曲线的离心率是描述双曲线"张口"大小的一个重要参数,而抛物线的离心率是特征值1,圆锥曲线的统一定义是按离心率范围不同,确定圆锥曲线中的椭圆、双曲线和抛物线的类型.离心率问题已成为各类测试的考查热点,备受高考命题者的青睐,考查的题型主要以离心率的大小和范围问题为主.求离心率的关键是找出一个与参数a、b、c、e有关的等式或不等式.如何根据题中的条件,选择恰当的方法呢?现举几例.     

也谈圆锥曲线的切线的几何作图法

1979年第5期《数学通报》曾经介绍了过一已知点作圆锥曲线的切线的几何作图法。所述方法是在已知圆锥曲线及其焦点、与相应准线的条件下,借助于离心率e完成的。本文将介绍另一种更为简单的几何作图法,不需要利用圆锥曲线的准线和离心率,并且能够统一地适用于椭圆、双曲线和抛物线。 先研究如下定理。     

圆锥曲线的一个重要性质及应用

众所周知,圆锥曲线的离心率ｅ是用来刻画圆锥曲线形状的一个重要特征量,不同的圆锥曲线有着不同的离心率;椭圆型圆锥曲线　０＜ｅ＜１抛物线型圆锥曲线　ｅ＝１双曲线型圆锥曲线　ｅ＞１笔者通过研究发现,圆锥曲线还存在着一个与离心率ｅ相类似的重要性质;为了叙述方便,首先给出一个定义;定义１：过圆锥曲线内接三角形的三个顶点的三条切线所围成的三角形称为圆锥曲线的切线三角形;定理：圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比记为△,则（Ⅰ）椭圆型圆锥曲线　０＜△＜２（Ⅱ）抛物线型圆锥曲线　△＝２（Ⅲ）双曲线…     

数学"口诀"应适度提倡--兼与周学祁先生商榷

《中学数学》2 0 0 2年第 3期刊登了《“口诀”应该淡出数学教学的阵地》[1] .我们对文[1 ]的主要观点有不同的意见 ,今将我们的意见陈述如下 ,在与周先生商榷的同时 ,祈望得到同行的指正 .1　数学口诀不能“进入历史的博物馆”诚然 ,正如文 [1 ]所说 ,有的数学口诀“不利于揭示知识间的本质联系”,“变得不伦不类”.最突出的一个例子 ,就是文 [1 ]所举的有关圆锥曲线离心率的一则口诀 :“奇妙奇妙真奇妙 ,a、b、c、d倒着瞧 ,e字当头你知道 ,离率公式记得牢 .”别说学生 ,就是任教多年的高中数学教师对此也感到莫名其妙 .本来一个非常形象、…     

利用对称性,巧求离心率

<正>求圆锥曲线的离心率问题是近年高考的一个热点,有关离心率的试题综合性强,灵活多变,能较好地反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能力,能有效地考查考生对数学思想和方法的掌握程度,强调"直观想象、数学运算"数学核心素养.直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化.利用图形描述、分析数学问题,建立形与数的联系,构建     

椭圆、双曲线中离心率问题的求解策略

圆锥曲线的离心率是高考考查的重点和热点．对离心率的考查实质上是对圆锥曲线的几何量和几何性质的考查，因此熟练掌握圆锥曲线的相关知识是根本．本文结合相关的题目具体谈谈离心率的考查方式及相应的求解策略，供读者参考．     

圆锥曲线离心率的本源探究

离心率是圆锥曲线最主要的参数之一,用它不仅可以判定圆锥曲线是椭圆、双曲线还是抛物线,还可以大致判定椭圆的扁平程度和双曲线的开口大小,在现行的教材中,我们只知道离心率e是指圆锥曲线上任意一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比。对椭圆和双曲线     

构建齐次不等式探析离心率的取值范围

<正>圆锥曲线是高考的重头戏,而离心率是圆锥曲线的重要内容,尤其求离心率的值也是高考的高频考点,而求离心率的范围却是一个潜在热点,好多考生遇到这类问题时难以找到切入点,望而却步.为此,笔者对此类问题进行了梳理,总结了一些解决问题的方法,供大家参考.一、直接运用题目中的条件不等式构建不等式     

探究问题背景发现解题方法

数学教材之中的核心知识点总是高考重点考查的内容,一个核心知识点加上一个好的背景,是一道好题不可缺少的前提条件．了解一道题的出题背景,也是能够成功解决此问题的一个重要的前提．离心率是圆锥曲线核心的知识点,因此也就成为了高考数学出题者常常光顾的地方,对离心率问题的考查,常常要以一些边缘的知识为载体,综合考查离心率的知识．笔者就离心率问题的常见的背景作一些简单的分析和归纳．     

圆锥曲线离心率的统一性质及其应用

<正>在教学中,笔者发现圆锥曲线过焦点的弦所在直线的斜率k,以及焦点内分弦的两个焦半径所成的比值λ,与圆锥曲线的离心率e有一个关联的性质,此性质能让我们快速、高效地解决一类关于圆锥曲线的离心率问题,供大家学习参考.性质1设圆锥曲线C的焦点F在x轴上,过点F且斜率为k的直线l交曲线C于A、     

创设光学性质，妙解圆锥曲线

<正>圆锥曲线在生产实际中有着非常重要的作用,广为人知的就有椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线具有一些非常好的光学性质,倍受各方关注,同时也成为高考数学中的一个融合点、交汇点、创新点.借助物理中的光学性质,巧妙融入数学中的圆锥曲线知识,充分体现新课标高考数学命题注重“在数学知识网络的交汇点上命题”的精神,更是实现数学与物理等不同学科之间知识的交汇与融合,考查相关知识与能力,是创新思维与创新应用的重要体现之一.     

谈离心率问题的解决策略

圆锥曲线的离心率是揭示圆锥曲线本质属性的一个重要的量,多年来一直受命题者的青睐,以致成为高考考查的热点．纵观近年来的高考和模拟试题,所涉及离心率的试题多以考查求离心率的值或离心率的范围为主,为此笔者结合试题向同学们介绍此类问题的解题策略,供大家学习和参考．