对解二项式定理习题中常见错误的浅析

在排列组合二项式定理这一章的教学中。由于排列组合的概念比较粗象,又是二项式定理这一节的基础,把排列组合做为这一章的重点和难点是无可非议的,因此,但常常不自觉地轻视了二项式定理的教学。实际上这一节的教材内容涉及的知识面较广,概念性较强,加之具一定的难点,这些都不同程度地干扰和阻碍了本节的教学。反映在学生的解题思路中歧生的概念性的错误十分常见,兹剖析如下: 一、二项式系数C_n~r中r的取值概念不清。例1(2~(1/2) 3~(1/4))~(100)的展开式中有多少个有理项? 错解:(2~(1/2) 3~(1/4))~(100)的展开式的通     

“韦达定理”应正名为“赵爽定理”

若x_1,x_2是一元二次方程x~2-2cx a~1=0的根,则有: x_1 x_2=2c (I) x_1×x_2=a~2这是什么定理呢?那还用问,它不就是“韦达定理”吗?不错,但也不对,为什么这样说呢?因为这个定理并不是韦达最先发明的,而是我国的古代数学家赵爽首创,赵爽号君卿,是东汉末至三国时代人,他出身贫寒,父亲是做小本生意的,平时帮助父亲干活,一有空就发愤读书,他研究过张衡的天文数学著作《灵宪》以及刘洪的《乾象历》,并对《同髀算经》和《九章算术》进行了深入的研究,并作了详细注解。他是继《九章算术》以后,对数学进行理论研究的开山祖,在数学方面他的突出贡献主要是写了《勾股方圆图注》文中第一次正确地给出了勾股定理的理论证明,关于一元二次方程中根与系数的关系定理,也是在该注中给出的。他说:“其位弦为广袤合,令勾     

习题教学需要“推敲”

习题教学需要"推敲",因为我们要弄清楚习题中每一个条件的底细,要挖掘习题中蕴含的逻辑链条,要了解解答中每一环节的作用,教师在上课时要把握火候".推敲"是我们感悟方法、寻找通道、增长智慧的主渠道,也是一种高效的教与学的方式.     

一道习题的“台前幕后”

文[1][2]分别对人教版高中新课标教科书《必修4》中的如下一道习题:设f(α)=sin~xα+cos~xα,x∈{n|n=2k,k∈N+}.利用三角变换,估计f(α)在x=2,4,6时的取值情况,进而对x取一般值时f(α)的取值范围做出一个猜想.进行了从解法到结论的探究.对此,笔者觉得意犹未尽,本文拟从不同的视角,对本题的解法     

一个“冷却”定理

考虑如下问题其中,00,使当t≥T时,u(x,t)≡0.本文讨论β≠0,β为常数时的问题(Ⅰ),给出了相应的“冷却”结论,并给出了与之相应的T的估值.     

“梅氏定理”与“塞氏定理”的一点应用

现行全日制十年制学校初中数学课本《几何》(第一册)复习题四第26、27题,就是梅涅劳斯定理和塞瓦定理的通俗叙述。它们是解决共线点和共点线的有力工具,这在教材中是没有作要求的。可是对线段的比例等有关的问题,则是教材所要求的。这两个定理在这些方面也有重要的作用。恰当的运用这两个定理,可以不添辅助线或少添辅助线,并且思路清晰,证法简捷。这对开     

Stone型定理

本文在Hilbert C~*-模框架下获得了Stone型定理,使得经典的Stone定理是其特例。     

“动点型”问题浅析

<正>"动点型"问题主要指在图形中存在一个或多个动点,沿直线或曲线运动所形成的一类问题.这类问题往往与分类讨论、方程函数、数形结合、转化迁移等数学思想融合在一起,对同学们的空间想象、逻辑推理、抽象归纳的能力要求较高,成为近年来中考的热点.动点势必导致分类,点既是运动的基础,又是各类运动型问题解决的关键.下面结合几个"动点型"问题进行浅析.     

习题训练在“精”不在“多”——以一道习题教学为例

<正>教育学理论指出,课堂内容过多,学生的收获往往不尽如人意,而较少的深入讲解却能使学生收获颇丰.习题讲解课也是一样,如果就题讲题,题目是讲不完的,学生学会的只是解一道题的方法,知识的迁移和运用没有得到有效训练,达不到训练应有的效果,反而是浪费了时间,跳脱不了“题海”战术,增加了学生的负担.因此在教学中要针对一道题进行深入讲解,通过变式训练,深入研讨,达到训练思维的目的.这就是课堂中应有的“少讲就是多得”.下面以一道习题教学为例,谈一谈如何进行变式训练的教学.     

课本习题的“自由漫步”

<正>我在平时整理题目的时候发现,题和题之间存在着一些联系,从图形上看有很多类似的地方,有些图形还在课本中出现过.结合这些有联系的图形,我们来看看发生了一些什么样的变化,以及其中存在着哪些解题的共同点.1原题呈现已知:如图1,最大正方形的面积等于较小两个正方形面积的和,求证:这三个正方形的边构成的△ABC是直角三角形.     

浅析微积分中值定理

<正>1.平均变化率和瞬时变化率若开车从某镇到80mile以外的另一个镇用了2h,则平均速度就是40mile/h,即位移除以时间的商.而旅途中速度表读数却经常不同于40.开始显示0,有时上升至57,后又降到0.显然,速度表测量是瞬时速度.瞬时速度是怎么来的呢?它和平均速度又有怎样的关系?     

“Katona-Kleitman定理的推广定理”的简短证明

本文给出“Ｋａｔｏｎａ－Ｋｌｅｉｔｍａｎ定理的推广”的简短证明．设Ｓ是ｎ元集合,Ｓ１,Ｓ２,…,Ｓｋ是 Ｓ的ｋ分划,Ｆ是Ｓ的子集系, 使得没有Ａ,Ｂ∈Ｆ,满足存在某个Ｓｉ有Ａ∩Ｓｉ＝Ｂ∩Ｓｉ,而对所有Ｓｉ＜（１＜ｉ≠ｉ＜ｋ）有Ａ∩∨ＳｉＢ∩Ｓｉ,则｜Ｆ｜     

“Katona-Kleitman定理的推广定理”的简短证明

本文给出“Katona-Kleitman定理的推广”的简短证明.设S是n元集合,S1,S2,…,Sk是S的k分划,f是S的子集系,使得没有A,B∈f,满足存在某个Si有A∩Si=B∩Si,而对所有Sj(1≤j≠i≤k)有A∩Sj∈B∩Sj,则     

“奔驰定理”及其应用

<正>"奔驰定理"揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律,并因其图形与奔驰的logo相似而得名.下面谈一下该定理及其应用,供大家参考.1"奔驰"定理     

“排序定理”及其应用

定义:两组实数a_1≤a_2≤…≤a_n,b_1≤b_2≤…≤b_n,称S=a_1b_1 a_2b_2 … a_nb_n为这两组实数的同序积的和,同时称(?)=a_1b_n a_2b_(n-1) … a_nb_1为这两组实数的倒序积的和。 对于S和(?),我们有以下 排序定理:若两组实数a_1,a_2,…,a_n和b_1,b_2,…,b_n满足     

“弦切角定理”的教学

笔者在《弦切角》一节公开课教学中采取了与教本(初级中学课本几何第二册)不同的证明方法,受到了二十名听课者的一致肯定,下面是教学实录,仅供同行参考。教学内容:初三几何§7.11弦切角课时安排:共分两课时 (第一课时) 教学目的:1.使学生掌握弦切角的定义并能正确判定弦切角; 2.熟练掌握三种情况下的弦切角的证明方法及推论的证明方法; 3.使学生能利用定理及推论进行简单证明; 4.初步培养学生的运动观点。     

一类Liouville型定理

<正> 古典的 Liouville 定理说:全平面上有界的全纯函数必是常数.在多复变函数论里,有许多定理是研究什么样的复流形上不存在非常值或非退化的(有界)全纯函数或全纯映照.这类定理可以统称为 Liouville 型定理.与一个复变数情况不同的是这类定理大多可以由复流形上的 Schwarz 引理推出.例如,S.T.Yau 证明了一个 Schwarz 引理后     

一个Thoms型定理

Thomas［1］ established a genralization of the OrliczPettis theorem as follows: Let Ω be a compact Hausdorff space and X a normed space. If a series ∑fj in C(Ω,X) is subseries convergent in the topology of pointwise convergence on Ω, then ∑fj is also subseries convergent in the topology of uniform convergence on Ω. Note that ∑fj is subseries convergent in the topology of pointwise (resp., uniform) convergence on Ω means that for every (tj)∈{0,1}N, there is an f∈C(Ω,X) such that …     

对一道课本习题的浅析

问题人教版数学八年级下册教科书第133页的第15题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,EF交正方形外角的平分线CF于F.求证:AE=EF.图1图2证明在AB上任取一点M,使AM=EC,连结ME,如图2.因为∠MAE=∠FEC,∠AME=∠ECF,所以△AME≌△ECF故AE=EF.这是按教材提示做辅助线,很容易获得的结果.但是我们面对这一经典的习题不妨做些如下的探讨和研究:①将“问题”中的“E为BC的中点”,改为“E为线段BC上的任意一点”,其他条件不变.求证:AE=EF.(如图3)为使问题一般化,我做如此变换,下面探讨的方法仍然适合特殊情…