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1998年亚太地区数学竞赛有如下一道数论题:题1求满足如下条件的最大正整数n:n能被所有小于3n的正整数整除.在讲解该题时,为了便于学生理解,笔者先将试题变式为:变式1求满足如下条件的最大正整数n:n能被所有小于n的正整数整除.解析若设小于n的最大整数是k,则原题可转化为如下的等价形式:设k,n是正整数,满足k2相似文献
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一、教学理由和目标下面是2011年高三高考模拟考试的一道数列题,得分率非常低,本节课通过对这道题的研究让学生掌握等式恒成立问题的本质和处理策略.原题:设{an}是由正数组成的等差数列,Sn是其前n项和.是否存在常数k和等差数列{an},使kan2-1=S2n-Sn+1恒成立(n∈N)*,若存在,试求出常数k和数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由. 相似文献
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《数学通讯》2 0 0 1年第1 5期的“综合题新编”题1 4是一道不可多得的数列综合题,但吴伟朝老师在原稿中提供的解法不容易想到,笔者曾花了很长时间才弄懂.后来,笔者经过思索,找出一种更简明易懂的解法.在此提出来,若有不足之处,还望大家斧正.原题 在数列{an}中,a1=1 ,an +1=2an+n2 (n =1 ,2 ,3,……) ,求通项an.解 设an +1+ (n + 1 ) 2 +k(n + 1 ) +c=2 (an+n2 +kn +c) ,∵an +1=2an+n2 ,代入上式比较系数,得 k =2 ,c=3.∴an +1+ (n + 1 ) 2 + 2 (n + 1 ) + 3=2 (an+n2 + 2n + 3) .令bn=an+n2 + 2n + 3,则{bn}是公比为2的等比数列,且b1… 相似文献
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一道东南数学奥林匹克试题的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
题目(第三届(2006年)东南数学奥林匹克第6题):求最小的实数m,使不等式m(a3 b3 c3)≥6(a2 b2 c2) 1(1)对满足a b c=1的任意正实数a,b,c恒成立.本文给出此题的一个推广.推广设ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn,求最小的实数m,使不等式m∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(2)恒成立.注:在推广中取n=3,A=6,B=1即得上述东南竞赛题.解ai=1n,i=1,2,…,n,得m≥An Bn2.下面证明,当ai>0,i=1,2,…,n,n≥2,∑ni=1ai=1,B>0,A>-Bn时,有(An Bn2)∑ni=1ai3≥A∑ni=1ai2 B(3)下面证明(3)式成立.不妨设a1≥a2≥…≥an,则a12≥a22≥…≥an2,由切比雪夫不… 相似文献
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<正>求证:C1n/1-C2n/2+C3n/3+…+(-1)n-1Cnn/n=1+1/2+1/3+…+1/n(n∈N*).这是文[1]中给出的一道数学题,此文中指出本题"入手一做感觉棘手,很繁杂,与同组老师研讨时,一致认为要用数学归纳法证明",后给出了具体的证明过程,几乎用到了组合数性质的所有常用公式,可以说是一道高三复习组合数性质和数学归纳法的好题.笔者读完此文后,对"一致认为要用数学归纳法证明"有些疑问,难道此题不用数学归纳法就很难证明吗?于是,对此题的非数学归纳法证明作了思考. 相似文献
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一般地,数列{a_n}若满足递归关系 a_n= ∫(a_(n-1),a_(n-2),…,a_(n-k)),那么它由递归关系及k个初始值确定,我们称其为递归数列。与递归数列有关的问题是数学竞赛中的一个热点。确定某些递归数列的通项在有关递归数列问题的研究中又占有重要地位,以下是几种常用方法。 1.代换法。例1 在数列{a_n}中,a_1=1,a_(n 1)=5a_n 1,求a_(n 1) 解依题设a_n 1=5a_n 1 ①以n代换n十1,可得 a_n=5a_(n-1) 1 ②①-②得a_(n 1)-a_n=5(a_n-a_(n-1))(n≥2) ③对③进行迭代,得 相似文献
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美国第33届数学奥林匹克第5题是:设a,b,c为正实数,证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.这是一道被广泛关注的问题.文[1]将此题推广为:推广1设ai>0(i=1,2,3,…,3k,k∈N ),证明:∏3ki=1(ai5k-ai2k 3k)≥(i∑3=k1ai)3k.文[2]将此题再推广为:推广2设ai>0(i=1,2,3,…,n,n∈N ),αβ>0,则∏ni=1(aiα β-aiβ n)≥(i∑=n1ainα)n.事实上推广2可进一步推广为:推广3设ai>0(i=1,2,3,…,n,n∈N ),αβ>0,0≤λ≤1,则∏ni=1(aiα β-λαiβ μ)≥(α βα-λβi∑=n1aiαn)n,其中μ=n λ nαβ-nαλβ-1.为了证明推广3,我们先引进著名的加… 相似文献
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重要不等式的一个证明 总被引:1,自引:0,他引:1
下面的不等式称为算术平均———几何平均不等式 :Gn =na1 a2 …an ≤An=1n∑ni=1ai (ai>0 ,i=1 ,2 ,… ,n)本文通过添加一个零项ln Gnna1 a2 …an =0给出证明可设a1 ≤a2 ≤… ≤an,显然a1 ≤Gn ≤an 存在k,使得 ak ≤Gn ≤ak+1 .AnGn - 1 =1n ∑ni=1aiGn-n=1n ln Gnna1 a2 …an + ∑ni=1aiGn-n=1n ∑ni=1lnGnai + ∑ni=1aiGn-n=1n∑ki=1lnGnai - 1Gn(Gn-ai) +1n∑ni=k+ 1lnGnai - 1Gn(Gn-ai)=1n ∑ki=1 ∫Gnai1t -1Gn dt +1n ∑ni=k+ 1 ∫Gnai1t -1Gn dt=1n ∑ki=1 ∫Gnai1t -1Gn dt +1n ∑ni=k+ 1 ∫aiGn1Gn-1t dt以上每… 相似文献
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在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1 相似文献
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对于正数ai>0,i=1,2,…,n,k为给定的正整数,若∑ni=1ai=1,笔者在文[1]末提出了猜想:∏n-1i=1(1∑kj=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(nk kn-1)n(1)其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为常数,且0相似文献
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数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依 相似文献
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《数学通报》数学问题1845和1990是同一道题:已知a>0,b>0,√3/a+1/b=2,求a+b-√a2+b2的最大值.
文[1]对此题有如下两个猜测推广:
推广1若a>0,b>0,m/a十n/b=1(其中m,n为正常数),则a+b-√a2+b2的最大值为2m+2n-2√2mn. 相似文献
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题目 (武汉市2011届高中毕业生五月供题训练(三)理科第21题)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2na(n+1)(n∈ N+),其中a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bk=(a1a3…a2k-1)/(a2a4…a2k)(n∈N+).证明:bn<1/√2an+1这是一道融数列、不等式与函数为一体的综合问题,主要考查学生的思维能力.第(2)问的证明具有一定的难度,从证法上看,它注重通性通法,也不回避特殊技巧,既可用大众化的常规证法,也可用证明不等式的一些特殊技巧,很好地区分了考生思维的层次性.由第(1)问可知an=n,从而原不等式即为:1/2·3/4·5/6·…·. 相似文献