有心圆锥曲线上四点的两种不同形式类西摩松线

根据文[1],直线l及其平行线被有心圆锥曲线L截得弦的中点和曲线L的中心都在同一直线l’上,直线l’叫有心圆锥曲线L关于直线l的共轭直径.有心圆锥曲线中类西摩松线的内容是:在中心为O的圆锥曲线L上任取三点A、B、C,曲线L关于直线BC、CA、AB的共轭直径分别为OD、OE、OF,在曲线L上取异于A、B、C的一点     

圆锥曲线直径的一个有趣性质

与圆的直径相仿，经过有心圆锥曲线中心的弦叫做圆锥曲线直径，经研究，它有如下一个有趣的统一性质：     

圆锥曲线切线与过焦点直线夹定角的一个结论

过有心圆锥曲线的焦点的直线到动切线的角一定时,两条直线的交点的轨迹会是怎样的呢?这个轨迹与有心圆锥曲线有怎样的位置关系呢?本文探究以上问题,得到了一般结论.     

也谈作圆锥曲线的切线使之平行于已知直线

如何作圆锥曲线与已知直线平行的切线 .文〔1〕给出了一种作法 ,该作法的作图条件是已知圆锥曲线的对称轴及焦点 .本文将探讨在不需任何附加条件的情况下 ,如何作圆锥曲线与已知直线平行的切线 .定理　已知圆锥曲线Ｔ及其上一点Ｐ ,ｌ为Ｔ在点Ｐ的切线 ,则Ｔ共轭于ｌ的直径过点Ｐ .证明　略 (见文〔3〕)作图题　已知圆锥曲线Ｔ及平面内一条直线ｌ(当Ｔ为抛物线时 ,Ｔ与ｌ平行的弦存在 ;当Ｔ为双曲线时 ,Ｔ与ｌ平行的弦存在 ,并且在Ｔ的同支上 ) ,试求作圆锥曲线Ｔ与直线ｌ平行的切线 .作法　 (1 )作Ｔ与ｌ的平行线的两条弦ＡＢ、ＣＤ ,并分…     

圆锥曲线又一统一性质的再推广

文[1]介绍了圆锥曲线的一个统一性质：经过圆锥曲线通径PQ的一个端点作关于直线PQ对称的两条直线交圆锥曲线于另外两点M、N,则直线MN平行于弦PQ的另一端点处的切线.文[2]放弃了弦PQ过焦点这一限制条件,将之推广为：性质经过圆锥曲线任意一条与对称轴垂     

以二次曲线的弦为直径的圆方程在解题中的应用

在解析几何中有些问题涉及到以二次曲线的弦为直径的圆方程 ,若用求圆心和半径的方法来解 ,一般较为麻烦 .这里介绍一种较简单的解法 .先来看一个结论 :若直线l与二次曲线C有两个交点A ,B ,则将直线l与二次曲线C的方程联立 ,分别消去y和x ,所得的关于x和y的两个一元二次方程 (让二次项系数相等 )相加即得以AB为直径的圆方程 .应用上述结论的思路解决二次曲线中有关问题是比较方便的 .下面举几个例子介绍有关问题的这种解题模式 .例 1　设过坐标原点的直线l与抛物线C :y2=4(x - 1 )交于A ,B两点 ,且以AB为直径的圆恰好经过抛物线C的焦点…     

二次曲线的切线两种定义的等价性

众所周知,若直线与椭圆仅有一个交点,则称此直线为椭圆的切线,但这一定义对一般曲线来说可能不成立,即若直线与曲线仅有一个交点,此直线与曲线未必相切,因而平面曲线与直线相切的定义应为:设有曲线C及C上一点M,在C上任取一个异于M的点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.然而当曲线C为平面二次曲线时我们可以断言这种定义在去掉某些特殊情况时(即直线的方向为二次曲线的非渐近方向且M(x0,y0)不是C的奇点)是等价的.本文将对此结论作出证明.首先考虑直线与二次…     

消常数化齐次

<正>一条直线与圆锥曲线交于A、B两点,对于与OA、OB夹角相关的问题,用消元法处理,运算量较大,很容易出错.若设法将直线方程与圆锥曲线方程中的常数项消去,化为二次齐次方程来处理,则简洁明快.     

有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理

文[1]将圆中的蝴蝶定理和坎迪定理统一推广为同心圆中的花蝴蝶定理,受其启发,笔者得到了有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理.为了证明需要,我们先引入并证明圆锥曲线中的坎迪定理.1 二次曲线中的坎迪定理AB是二次曲线Ω的弦,M是AB上的任一点,过M作Ω的两条弦CD和EF,其中C,E位于AB同一测.     

圆锥曲线直径的一个有趣性质

与圆的直径相仿,经过有心圆锥曲线中心的弦叫做圆锥曲线直径,经研究,它有如下一个有趣的统一性质:定理AB是经过圆锥曲线x2m+y2n=1(mn≠0,m,n不同时为负)中心的弦,P是圆锥曲线上异于A,B外的任意一点,PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-nm(当m=n>0时,圆锥曲线是圆;当m>0,n>0,m≠n时,圆锥曲线是椭圆;当m和n异号时,圆锥曲线是双曲线).     

对《二次曲线的利用不变性作图法》一文的注记

《数学通报》1997年第11期《二次曲线的利用不变性作图法》一文,提出了二次曲线的利用不变性作图法,此方法是切实可行的,但对于中心二次曲线,命题1有必要加以修正．命题1就引理1的方程而言,二次曲线（*）与确定的主方向共轭的主直径是新系的o'y'轴;与λ2确定的主方向共轭的主直径是新系的o'x'轴．我们知道,该命题1式（1）中的λ1与λ2是二次曲线特征方程λ2-I1λ＋I2=0的特征根,这里的两个特征根哪一个是人,哪一个是人,一般来说,可以任意选取,其中一个取作人,另一个就是人,也就是说中心二次曲线的简化方程有着两种形式,即除…     

用直线参数方程化简二次曲线方程

(一) 对于有心二次曲线,若已知中心位置,长、短半轴(或实、虚半轴),通过中心的对称轴方程,那么这二次曲线的标准方程就可以完全确定。 有心二次曲线有如下特点: (1) 任何经过中心的弦被中心所平分。     

直线为二次曲线切线的充要条件

过一点求二次曲线的切线的方法是大家所熟知的，但对于判别一条直线是否为一般二次曲线的切线，目前尚没有一种直接而且统一可行的方法．本文将探讨这一问题，给出判别一条直线是二次曲线切线的充要条件．     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

浅谈直线标准式参数方程化二维为一维的解题功能

运用直线的标准式参数方程 ,可以将直角坐标系内的某些问题化为数轴上的问题 ,从而在解决直线与圆锥曲线关系的问题中有其独特的作用 .本文拟从直线标准式参数方程的概念和基本运用两方面阐述这一降维工具 .1　深刻理解参数方程的概念是灵活运用的前提1.1　直线标准式参数方程是实现点的二维坐标和一维坐标互相转换的解析化工具图 1　直线的参数方程在直角坐标系中过定点Ｍ0 (ｘ0 ,ｙ0 )、倾斜角为α的直线ｌ在规定了Ｍ0 为原点 ,直线向上 (或向右 )的方向为正向 ,就成了一条数轴 .我们称其为ｔ轴 .ｌ上任一点Ｍ在直角坐标系中的坐标为Ｍ (…     

立足通性 寻求通法——谈解析几何中一类对称问题的求解

平面解析几何的教学中 ,我们常常会接触到这样的一类问题 :已知某条圆锥曲线和某条直线 ,探求在圆锥曲线上是否存在两点关于直线对称 ;或已知在圆锥曲线上存在两点关于直线对称 ,求解有关参数的取值范围 .这类问题虽以解析几何的面目出现 ,但其解决过程则属代数推理 ,其间涉及到中点坐标公式、二次方程及其判别式、根与系数的关系、有关不等式的处理等内容 ,具有一定的知识综合性 ,能够较好地考查学生的运算能力 ,转化变形能力 ,逻辑推理能力等 ,因而受到各级各类考试命题者的青睐 .笔者在向学生介绍这类问题的解法时 ,提炼出“一等”“一不…     

与椭圆直径相关的几个性质

文[1]的作者对椭圆共轭直径作了有益的探究,得出了一组优美的性质.笔者通过探究,得出了椭圆共轭直径的另一组优美性质.同时,笔者对椭圆直径也作了一些探究,得出一组优美性质.供大家参考.为了叙述的方便,先引出文[1]的两个定义.定义1经过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

一道奥数题的新证及推广

在几何中证明三点共线,基本思路是先由两点确定一条直线,然后证明第三点具有直线上点的性质,从而第三点也在直线上.在圆锥曲线中证明三点共线,那条定直线一般都是极线.关于极点和极线,有以下的定理:定理1在给定配极变换下,ξ为点x的极线的充要条件是x是直线ξ的极点.定理2(配极原理)如果点x的极线通过点y,则点y的极线必通过点x.定理3二次曲线的内接完全四点形的对角三角形是曲线的自极三点形.关于二次曲线,可以有:定理4[2]点不在二次曲线上,若存在两条切线,则两切点的连线就是该点的极线;若不     

曲线的渐近性与渐近线

曲线的渐近性与渐近线郑业龙（合肥经济技术学院）１引言设ｆ（ｘ）为定义在某一区间了上的函数，如果当点ｆ（ｘ，ｆ（ｘ））沿曲线ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）无限远离坐标原点时，点Ｐ与某直线Ｌ无限靠近，则称曲线Ｃ具有渐近性，且称直线Ｌ为曲线Ｃ的一条渐近线［１］。对于给定...