Plane Hydrodynamic flows with steady vorticity: a reduction theorem

Summary Besides steady plane flows and unsteady plane flows of constant and steady vorticity, there are only two simple types of plane hydrodynamic flows with steady vorticity. These two types of unsteady flows have steady streamlines that are parallel straight lines or concentric circles.

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Zusammenfassung Neben stationären und nichtstationären ebenen Strömungen konstanter und stationärer Wirbelstärke, gibt es nur zwei einfache Typen von ebenen hydrodynamischen Strömungen mit stationärer Wirbelstärke. Diese zwei Typen von nichtstätionaren Strömungen haben stationäre Stromlinien, welche aus parallelen Geraden oder aus konzentrischen Kreisen bestehen.

     

The stability of time-dependent laminar flow: Flow with curved streamlines

Zusammenfassung Das Problem der Stabilität laminarer, inkompressibler und stationärer Strömungen mit gekrümmten Stromlinien wird hier ausführlich untersucht. Im Gegensatz zur klassischen Behandlung der Stabilität, wo die untersuchten Strömungen stationär sind und wo Stabilität genau definert ist, bedarf dieses System zur Lösung einer neuen Basis. Interpretation und Formulierung dieser neuen Basis werden vorgenommen, und drei Definitionen werden als die wichtigsten herausgestellt. Bei Anwendung dieser Kennzeichen auf neutrale Stabilität und durch Erweiterung der vonOrr für parallele Strömungen entwickelten Analyse, wird für die kritische Reynolds-Zahl ein Mindestwert als eine Funktion der Zeit errechnet. Für den Fall einer Strömung zwischen konzentrischen Kreiszylindern mit einer stationären und einer Schwingungskomponente in der Zeit werden quantitative Ergebnisse geboten. Das stationäre Problem wird in diesem Zusammenhang als ein spezieller Grenzfall behandelt.     

The effects of streamline curvature and spanwise rotation on near-surface,turbulent boundary layers

A second moment closure model is used to study the mean fields and turbulence structure of spanwise rotating flows and flows with streamline curvature. The effects of flow stabilization and destabilization by rotation and/or curvature and their interpretation in terms of a Rayleigh instability mechanism are discussed in the context of the present model. When applied to the constant flux layer adjacent to a bounding surface, the model provides a similarity theory for flows with spanwise rotation and streamline curvature like that of Monin-Obukhov in the case of density stratified flows. In particular, it is shown that Bradshaw's empirical length scale correction can be derived in terms of the basic constants of the model determined in the absence of rotation and curvature. Also, direct comparisons with experimental data confirm the model predictions. The definitions of strong and mild curvature are discussed and a distinguishing criterion derived.

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Zusammenfassung Gemittelte Strömungsfelder und Turbulenzcharakteristiken werden bestimmt mittels eines numerischen Modelles mit Momenten zweiter Ordnung als Ciosure für lateral rotierende Strömungen und mit gekrümmten Stromlinien. Stabilisierungs- und Destabilisierungseffekte infolge Rotation und/oder Krümmung werden als Raleigh-Instabilitäten im Zusammenhang mit dem Modell diskutiert. Wenn angewandt auf die Konstant-Scherspannungszone in Grenzschichten, liefert das Modell eine Ähnlichkeitstheorie für Strömungen mit lateraler Rotation und Stromlinienkrümmung, vergleichbar dem Falle des Monin-Obukhov Modelles für geschichtete Strömungen. Es wird insbesondere gezeigt, dass Bradshaws empirische Längenkorrektur sich aus den Grundkonstanten des Modelles ergibt für den Grenzfall ohne Rotation und Krümmung. Direkter Vergleich mit experimentellen Daten bestätigt die Rechnungen. Die Definitionen von starker und schwacher Krümmung werden diskutiert und ein Unterscheidungskriterium eingeführt.

     

Circular oscillations of a cylinder in a viscous fluid

Summary The steady streaming velocity induced by the circular motion of a cylinder of elliptic cross-section in a viscous fluid is considered. The amplitude of this circular motion is supposed small compared with a typical diameter of the cylinder, which maintains a fixed orientation throughout the motion. Outside the Stokes shear-wave layer Reynolds stresses contribute to the induced steady streaming. The outer flow is calculated in the case of large streaming Reynolds numbers for two particular cylinders.

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Zusammenfassung Es wird die stationäre Strömung untersucht, die durch die kreisförmige Bewegung eines Zylinders mit elliptischem Querschnitt in einer zähen Flüssigkeit induziert wird. Die Amplitude dieser Kreisbewegung wird als klein angenommen gegenüber den Halbachsen der Ellipse, deren Orientierung während der Bewegung unverändert bleibt. Ausserhalb der Stokes-Schicht tragen die Reynolds-Spannungen zur Induzierten stationären Strömung bei. Die äussere Strömung wird im Falle von grossen Reynolds-Zahlen der Strömung für zwei besondere Zylinder berechnet.

     

Pattern selection in the Bénard problem for a viscoelastic fluid

We discuss pattern selection in the Bénard problem for a viscoelastic fluid. Double periodicity of the solutions with respect to a hexagonal lattice is assumed. Both steady and oscillatory onsets of instability are considered. For steady onset, we find that the rolls are the only bifurcating solution which can be stable.

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Zusammenfassung Wir diskutieren Musterauswahl beim Bénardproblem für eine viskoelastische Flüssigkeit. Es wird angenommen, daß die Lösungen doppelt periodisch hinsichtlich eines hexagonalen Gitters sind. Es werden sowohl Instabilitäten untersucht, die zu stationären Strömungen führen, als auch solche, die zu zeitlich periodischen Strömungen führen. Im stationären Falle stellt sich heraus, daß Rollen die einzige Verzweigungslösung sind, die stabil Scin kann.

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Dedicated to Prof. Klaus Kirchgässner on the occasion of his sixtieth birthday     

The stability of time-dependent laminar flow: Parallel flows

Zusammenfassung In dieser Arbeit wird das allgemeine Problem der Stabilität inkompressibler, instationärer, paralleler und laminarer Strömungen zwischen zwei unendlichen Ebenen untersucht. Dabei werden sowohl die klassische linearisierte Theorie für Störungen mit kleiner Amplitude als auch eine Variationsmethode für Störungen endlicher Grösse angewandt. Die grundlegenden Lehrsätze der linearen Theorie werden, soweit dies für das allgemeine Problem möglich ist, erweitert und ihre Konsequenzen aufgezeigt. Unter Anwendung der Variationsmethode werden für mehrere besondere instationäre Strömungen quantitative Ergebnisse gezeigt, aber die hier entwickelten Gleichungen können ebenso auf jedwede parallele Strömung angewendet werden. Das stationäre Problem ist als ein besonderer Grenzfall behandelt.     

Influence of geometry on unipolar space-charge-limited current in solids and in vacuum

Zusammenfassung Die Verteilung der Ladungsträgerkonzentration, des elektrischen Feldes und des elektrostatischen Potentials für den stationären Zustand von raumladungsbegrenzten Strömen in drei verschiedenen Medien wird berechnet und graphisch wiedergegeben für Strukturen von ebener, zylindrischer und sphärischer Geometrie. Die drei betrachteten Medien sind das Vakuum und zwei Festkörper, in denen entweder die Beweglichkeit oder die Bahngeschwindigkeit der Ladungsträger von der Feldstärke unabhängig ist. Die Ergebnisse sind von Bedeutung im Zusammenhang mit Durchschlags-und Einschwingvorgängen in raumladungsbegrenzten Strömen.     

Self-similar solution of unsteady compressible three-dimensional stagnation-point boundary layers

Summary The self-similar solution of the unsteady laminar compressible boundary-layer flow with variable properties at a three-dimensional stagnation point with mass transfer has been obtained when the free-stream velocity varies inversely as a linear function of time. The resulting ordinary differential equations have been solved numerically using an implicit finite-difference scheme. The results are found to be strongly dependent on the parameter characterizing the unsteadiness in the free-stream velocity. The velocity profiles show some features not encountered in steady flows.

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Zusammenfassung Ähnliche Lösungen der nichtstationären laminaren kompressiblen Grenzschichtströmung mit veränderlichen Stoffgrößen ist für einen dreidimensionalen Staupunkt mit Massen-Übertragung erhalten worden, für den Fall, daß die Anströmung invers zu einer linearen Funktion der Zeit variiert. Es entsteht eine gewöhnliche Differentialgleichung, die numerisch mit einer impliziten Differenzenmethode gelöst wurde. Die Ergebnisse hängen stark von dem Parameter ab, der die Nicht-Stationärität der Anströmung kennzeichnet. Die Geschwindigkeitsprofile zeigen einige Eigenschaften die in stationärer Strömung nicht auftreten.

     

Laminar-turbulent transition

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen eines Teilchens, auf das kleine statistische Störkräfte wirken, werden für laminare Strömungen gelöst. Das Teilchen wird mit Flüssigkeitsballen identifiziert, wie sie in der turbulenten Strömung vollkommen ausgebildet sind, aber im laminaren Bereich in subkritischer Grösse schon vorkommen können. Als Stabilitätskriterium wird eine Bedingung hergeleitet, für die das mittlere Verschiebungsquadrat schnell wächst. Es wird gezeigt, wie aus den Gleichungen die wohlbekannten Stabilitätsgesetze für Geschwindigkeitsprofile mit Wendepunkten folgen. Die kritische Grösse eines Geschwindigkeitsballens in der Nähe des Umschlagpunktes ist wahrscheinlich identisch mit den kleinsten Turbulenzelementen. Es wird eine Formel hergeleitet für die Brownsche Bewegung in Strömungen.     

Convection in a rotating layer with nearly insulating boundaries

Summary Finite amplitude steady convection in a horizontal layer of fluid heated from below with nearly insulating boundaries and rotating about a vertical axis is investigated. The main result is that the only steady stable convective motion in the form of square pattern becomes unstable once the rotation parameter exceeds the value 7.45. The disturbances which have the highest growth rates are in the form of rolls inclined at an angle of 45° to the basic wave vectors of the steady motion.

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Zusammenfassung Das Problem der stationären Konvektion endlicher Amplitude wird untersucht für eine horizontale von unten erhitzten Flüssigkeitsschicht, die um eine vertikale Achse rotiert. Das Hauptresultat ist, daß die einzige stabile stationäre Konvektionsströmung in der Form von Quadratzellen instabil wird, wenn der Rotationsparameter den kritischen Wert 7.45 übersteigt. Die Strömungen höchster Anwachsrate haben die Form von Rollen, die einen Winkel von 45° mit den Wellenzahlvektoren der stationären Lösung einschließen.

     

A modified moments analysis of dispersion in steady and oscillatory flows

A modification of Aris's method of moments solution to the heat/mass dispersion equation has been developed. In addition to taking axial moments of concentration, the present approach also defines mean cross-sectionally weighted values of the concentration. This leads to a set of ordinary differential equations rather than the partial differential equations generated by Aris's method. Approximate solutions have been developed for the cases of steady and oscillatory flows in a flat channel and values of the dispersion coefficient have been in good agreement with exact analytical predictions calculated by Dewey and Sullivan and by Watson.

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Zusammenfassung Eine Modifaktion der Momenten-Methode von Aris für die Lösung der Dispersionsgleichung für Wärme/Masse ist entwickelt worden. Die neue Methode benützt nicht nur axiale Momente der Konzentration, sondern definiert zusätzlich im Querschnitt gewogene Durchschnittswerte der Konzentration. Dieses führt zu einem Satz gewöhnlicher Differentialgleichungen, an Stelle der partiellen Differentialgleichung nach der Methode von Aris. Angenäherte Lösungen sind entwickelt worden für die Fälle von stationären und oszillatorischen Strömungen in einem ebenen Kanal. Ergebnisse für Dispersions-Koeffizienten stimmen gut überein mit den exakten analytischen Werten, die von Dewey und Sullivan sowohl wie von Watson berechnet worden sind.

     

Invariant transformations in non-steady gasdynamics and magneto-gasdynamics

Zusammenfassung Es werden adjungierte Beziehungen für gewisse nichtstationäre gasdynamische und magnetogasdynamische Strömungen angegeben. Auch eine allgemeine Formulierung solcher Transformationen wird beschrieben. Dadurch werden neue Transformationen erzeugt.     

Reciprocal relations in non-steady one-dimensional gasdynamics

Zusammenfassung Es werden Reziprozitätsbeziehungen für die kugelsymmetrische nichtstationäre Gasdynamik und für die eindimensionale nichtstationäre Strömung von Gasen unendlicher Leitfähigkeit unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes angegeben. Sodann wird ein Beispiel dafür angeführt, dass man durch Reziprozitätsbeziehungen aus einer bekannten Lösung vierparametrische Gruppen von neuen exakten Lösungen der Gasdynamik erzeugen kann.     

Vortex breakdown as a fundamental element of vortex dynamics

Summary Keller et al. (1985) have shown that, in analogy to the theory of gravity currents, there exist two types of force-free transitions (i.e. vortex breakdown phenomena) between axisymmetric vortex-flow states in tubes.This paper presents an extension of our earlier analysis, which is based on a variational principle and does not account for viscous effects and shear layer instabilities, to axisymmetric vortex flows in tubes with varying cross-sectional area.A broad investigation into the properties of steady axisymmetric vortex flows is given, in so far as they can be represented by perfect-fluid theory and simple extensions of it. It is argued that the basic physics of such flows, including vortex breakdown phenomena, can be explained with the help of the relatively simple theoretical concepts proposed. Numerical results are presented which show complete flow fields of loss-free transition in diffusers for various types of vortex flows. LDA-measurements and flow visualization experiments proove the existence of two types of transitions, as proposed by the analysis, and show the significance of critical cross-sections in the flow.

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Zusammenfassung Keller et al. (1985) haben gezeigt, daß in Analogie zur Theorie der Schwereströmungen zwei Arten von impulserhaltenden Übergängen (i.e. Vortex-Breakdown-Phänornene) zwischen axisymmetrischen Wirbelströmungszuständen existieren.Diese frühere Theorie, die auf einem einfachen Variationsprinzip basiert und Reibungseffekte sowie Scherschichtsinstabilitäten nicht berücksichtigt, wird in dieser Arbeit auf axisymmetrische Wirbelströmungen in Rohren mit veränderlicher Querschnittsfläche erweitert. Die Eigenschaften axisymmetrischer Wirbelströmungen werden in ihrer vollen Breite untersucht, soweit sie der Theorie der idealen Strömungen und ihren einfachsten Verallgemeinerungen zugänglich sind. Wie es scheint, kann mit hinreichender Rechtfertigung festgestellt werden, daß die grundlegende Physik solcher Strömungen (einschließlich der Vortex-Breakdown-Phänome) mit den relativ einfachen theoretischen Konzepten erklärt werden kann, die in dieser Arbeit diskutiert werden. Es werden numerische Ergebnisse gezeigt, welche die vollständigen Strömungsfelder verlustfreier Übergänge in Diffusoren für verschiedenartige Wirbelströmungen beinhalten. LDA-Messungen und Strömungsbeobachtungen beweisen die Existenz der von der Theorie vorausgesagten übergangsarten und zeigen die zentrale Bedeutung der kritischen Strömungsquerschnitte.

     

An integral representation for certain linearized magnetohydrodynamic flows in the plane

Zusammenfassung Die stationäre linearisierte magnetohydrodynamische Strömung durch einfache zweidimensionale «Körper» wird behandelt. Die Linearisierung der grundlegenden Gleichungen für die magnetohydrodynamische Strömung vollzieht sich in ähnlicher Weise wie in den von Oseen vorgeschlagenen Gleichungen für die gewöhnliche inkompressible Flüssigkeit. Auch wir setzen in dieser Arbeit die magnetische Prandtlzahl gleich eins.Ein gekoppeltes Paar von Integralgleichungen wird hergeleitet, dessen Lösung zu Ausdrücken für das magnetische, das geschwindigkeits- und das Druckfeld führt. Wir diskutieren diese Integralformulierung für den Fall einer Strömung um einen Kreiszylinder und für denjenigen einer Strömung um eine ebene Platte.

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This work was supported by the National Science Foundation under Grant GP 7641.     

Variational formulations for nonlinear wave propagation and unsteady transonic flow

A variational principle developed recently for constrained vector fields is applied to nonlinear waves and to unsteady, transonic flow. The mathematical conditions on the admissible functional form of the speed of propagation is compatible with physical considerations for the first systems and the treatment of the mixed derivative is indicative for a proper way to discretize the second for numerical calculations. The variational formulation provides a framework for stability analysis and finite element approximations for the nonlinear systems considered.

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Zusammenfassung Ein Variationsprinzip, das in letzter Zeit für Vektorfelder mit einschränkenden Bedingungen entwickelt worden ist, wird auf nichtlineare Wellen und auf nichtstationäre transonische Strömung angewendet. Die mathematische Bedingung für die zulässige funktionale Form der Fortpflanzungsgeschwindigkeit ist verträglich mit den physikalischen Bedingungen für das erste System, und die Behandlung der gemischten Ableitung deutet an, wie das zweite System für numerische Behandlung diskretisiert werden soll. Die variationale Formulierung gibt einen Rahmen für eine Stabilitätsuntersuchung und für eine Näherung durch finite Elemente für das nichtlineare System.

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Work partially supported by Grant AFOSR-73-2561.     

Non-linear couette flow with heat transfer using the B-G-K model

Zusammenfassung Die Wärmeübertragung in der ebenen Couette-Strömung eines verdünnten Gases ist mit Hilfe der Momenten-Methode, angewendet auf das nicht lineare B-G-K-Modell, untersucht worden. Im Falle der isothermen Strömung reduziert sich die Geschwindigkeitsverteilung auf die Resultate der linearisierten B-G-K-Gleichung. Die Übereinstimmung der Resultate für die Temperaturverteilung und den Wärmefluss mit den Ergebnissen von früheren Arbeiten ist befriedigend.     

On the hydrodynamic interaction of two spheres oscillating in a viscous fluid. — I. Axisymmetrical case

This paper deals with the problem of the viscous flow induced by two spheres oscillating in a direction parallel to their central line. The effect of the hydrodynamic interaction of the spheres on the steady streaming has been studied analytically at high frequency by the method of matched asymptotic expansions.It has been found the structure of the steady streaming and the forces acting on the spheres in this complicated flow, depending on the values of the parameters of the problem. Typical flow fields and forces acting on the spheres are shown graphically.

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Zusammenfassung Diese Arbeit behandelt die Strömung, die in einer zähen Flüssigkeit durch die Schwingung von zwei Kugeln parallel zur Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte entsteht. Der hydrodynamische Effekt der Kugeln auf die stationäre Strömung wurde für hohe Frequenzen mit Hilfe von assymetrischen Entwicklungen untersucht.Gefunden wurde die Struktur der stationären Strömung und die Kräfte auf die Kugeln in Funktion der Parameter dieser komplizierten Strömung. Typische Strömungsfelder und die Kräfte auf die Kugeln wurden graphisch dargestellt.

     

Numerical integration of the Navier-Stokes equations

Zusammenfassung Die Navier-Stokes-Gleichungen werden für den allgemeinsten Fall in Divergenzform vektorwertiger Funktionen angeschrieben. Die Glieder, welche die Einflüsse der Zähighkeit, der Wärmeleitung usw. beschreiben, und diejenigen, welche infolge der Wahl nichtkartesischer Koordinaten auftreten, werden in einem Quellenvektor zusammengefasst. Dieses Differentialgleichungssystem wird im Abschnitt 3 durch ein modifiziertes Lax-Wendroff-Differenzenschema [1, 2] angenähert. Die Genauigkeit des Schemas ist von zweiter Ordnung.Die Stabilitätsgrenzen des Schemas werden für den einfachern Fall eindimensionaler, instationärer Strömung im Abschnitt 4 angenähert berechnet. Numerische Beispiele bestätigen die theoretischen Voraussagen.Im Abschnitt 5 werden die folgenden drei Beispiele diskutiert: 1. Die Reflexion einer geraden Stosswelle an einer kalten Wand (eindimensionales Beispiel). 2. Die stationäre Strömung in der Nähe der Vorderkante einer unendlich dünnen, ebenen Platte in Überschallströmung. 3. Die Diffraktion einer geraden Stosswelle an einer ebenen Platte mit rechtwinkliger Vorderkante.     

Pulsatile flow in tubes of varying cross-sections

Summary The pulsatile flow of an incompressible viscous fluid in a cylindrical tube of varying cross section is investigated for small Reynolds numbers. The solutions consist of a stedy and an oscillatory part. The shear stress distribution on the wall is evaluated and discussed in detail for special geometries like tapered tubes, locally constricted tubes and peristaltic tubes. The existence of separation in the flow field is noticed.

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Zusammenfassung Es wird die pulsierende Strömung einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit in Rohren mit veränderlichem Querschnitt bei kleinen Reynoldsschen Zahlen untersucht. Die Lösungen bestehen aus einem stationären und einem oszillatorischen Anteil. Die Schubspannungsverteilung an den Rohrwänden wird für einige besondere geometrische Rohrformen wie konische Rohre, örtlich eingeschnürte Rohre und peristaltische Rohre berechnet und ausführlich diskutiert. Bei einigen Fällen wird die Existenz einer Ablösung im Strömungsfeld festgestellt.