Hyperbolicity and wave propagation in extended thermodynamics

Summary The hyperbolic system of the field equations of the Extended Thermodynamics governing the non-equilibrium thermodynamical processes of gases is studied. First, the extreme cases of strongly degenerate Fermi and Bose gases are discussed so as to complete the previous analysis by Liu and Müller. The physical interpretation of these results appears to be in agreement with quantum and statistical mechanics. Then, the propagation of discontinuity waves and the critical time for classical gases will be dealt with.

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Sommario Si studia il sistema iperbolico delle equazioni di campo della Termodinamica Estesa che governa i processi termodinamici di non equilibrio nei gas. Nella prima parte si discutono i casi limite dei gas di Fermi e Bose fortemente degeneri completando la precedente analisi di Liu e Müller. L'interpretazione fisica di questi risultati appare in accordo con la meccanica quantistica e statistica. Nella seconda parte si studia la propagazione di onde di discontinuitá e il tempo critico per i gas classici.

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Supported by C.N.R., M.P.I. fondi ricerche 40% and 60% and INFN(sez. di Bologna).     

Temperature waves in rigid materials with memory

Summary The problem of finite speed of propagation of temperature in rigid heat conductors is analysed within the framework of the thermodynamics of materials with memory. The constitutive relations are expressed by functionals depending on the histories of temperature and temperature gradient and also, explicitly, on the present value of the temperature. The condition that ensure the possibility of wave propagation for temperature are derived.

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Sommario Si esamina il problema della propagazione della temperatura con velocità finita nei conduttori di calore rigidi nel contesto della termodinamica dei materiali con memoria. Le relazioni costitutive sono espresse da funzionali dipendenti dalle storie della temperatura e del gradiente di temperatura ed anche, esplicitamente, dal valore attuale della temperatura. Si deducono le condizioni che assicurano la possibilità di propagazione ondosa per la temperatura.

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This work was partially supported by the Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica of C.N.R., Italy.     

Linear elastic fracture mechanics as a limit-case of strain-softening instability

Summary Size-scale, slenderness and degree of redundancy are shown to have a fundamental impact on the global structural behaviour, which can range from ductile to brittle when strain softening and localization are taken into account. The brittle behaviour involves an internal instability in the load-deflection path, which shows a positive slope in the softening branch. This virtual branch is revealed only if the loading process is controlled by a monotonically increasing time function (e.g., the crack opening displacement). Otherwise, the loading capacity shows discontinuity with a negative jump. When the post-peak behaviour is kept under control up to the complete structure separation, the area bounded by the load-deflection curve and the deflection axis represents the energy dissipated in the fracture process. A general explanation of the well-known decrease in apparent strength and increase in fracture toughness by increasing the specimen size is given in terms of dimensional analysis. Due to the different physical dimensions of strength [FL^–2] and toughness [FL^–1], the actual values of these two intrinsic material properties may be found exactly only with comparatively large specimens.

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Sommario Si dimostra come la scala dimensionale, la snellezza e il grado di iperstaticitá, influenzino in modo fondamentale il comportamento globale di una struttura. Tale comportamento potrá variare da duttile a fragile, allorché si prendano in considerazione l'incrudimento negativo e la localizzazione della deformazione. Il comportamento fragile consiste in una instabilitá interna lungo la curva carico-spostamento, acquistando il ramo discendente una pendenza positiva (snap-back). Tale ramo virtuale puó venire rilevato sperimentalmente solo nel caso in cui il processo di carico venga pilotato da una funzione monotona crescente del tempo (es., la larghezza della fessura). Altrimenti, la capacitá di carico presenterá una discontinuitá con un salto negativo. Qualora il comportamento oltre il carico massimo venga tenuto sotto controllo sino alla separazione completa del provino, l'area compresa tra la curva carico-spostamento e l'asse dello spostamento, rappresenta l'energia dissipata nel processo di fessurazione. Viene infine fornita una giustiflcazione sia alla diminuzione della resistenza a trazione che all'aumento della tenacitá alla frattura, che si verificano all'aumentare della dimensione del provino, sulla base dei concetti dell'Analisi Dimensionale. A causa delle diverse dimensioni fisiche di resistenza [FL^–2] e tenacitá [FL^–1], i valori reali di tali due proprietá intrinseche del materiale possono essere determinati esattamente soltanto con provini di dimensione relativamente grande.

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Paper presented at the 8th National Conference of the Italian Association of Theoretical and Applied Mechanics, Torino, September 29. October 3, 1986.     

On the stability of one-dimensional continuous systems with polygenic forces

Summary Using the energy theorem for polygenic systems, it is shown that polygenic systems of the divergence type are pseudoconservative. Hence, their Hamiltonian can be used as a Liapunov functional to investigate the stability of such systems. Furthermore, for polygenic divergence type systems, the eigenvalue curve is strictly monotonic and its first branch is always to the right of the first branch of the corresponding conservative system's eigenvalue curve. Hence, the first critical load of the corresponding conservative system is a lower bound for the first critical load of the polygenic divergence type system.

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Sommario Attraverso il teorema energetico dei sistemi poligenici, si mostra che i sistemi poligenici di tipo divergenza sono pseudo-conservativi e quindi che il loro Hamiltoniano può essere usato come un funzionale alla Liapunov per studiare la stabilità di tali sistemi. Si mostra inoltre, sempre per i sistemi poligenici di tipo divergenza, che la curva degli autovalori è strettamente monotona e che il suo primo ramo è sempre alla destra del primo ramo della curva degli autovalori del corrispondente sistema conservativo. Dunque il primo carico critico del corrispondente sistema conservativo è un limite inferiore per il carico critico del sistema poligenico di tipo divergenza.

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This research was carried out under NRC Grant No. A. 7297.     

Wave propagation in linearly elastic shells

Summary The problem of discontinuity wave propagation in hyperelastic shells is discussed within the framework of the nonlinear theory. A suitable linearization is proposed, such that explicit results can be obtained with direct calculations. Namely the speeds of propagation for acceleration and shock waves are evaluated, within the dependence of their values on the geometrical properties of the shell.

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Sommario Si considera il problema della propagazione di onde di discontinuità in una volta sottile iperelastica nell'ambito della teoria nonlineare. Viene proposta una linearizzazione che consente di ottenere risultati espliciti con calcoli diretti. In particolare vengono determinati i valori delle velocità di propagazione delle onde d'accelerazione e d'urto e viene studiata la loro dipendenza dalle proprietà geometriche della volta.

     

On the use of polynomial estimators and regulators for accurate attitude control of three axis satellites

Summary This paper deals with the results obtained by implementing, in the regulation loop, a control observer based on approximation by means of Laguerre polynomials for the state estimation as well as to determine the actuation strategy. The solution has been studied for an accurate control of operational satellites when high precision pointing is required and is based on a continuous inertial actuation system generated by four reaction wheels.

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Sommario La memoria presenta i risultati ottenuti includendo, nell'anello di regolazione, un osservatore di controllo, che si avvale dell'approssimazione mediante polinomi di Laguerre, sia per l'estimazione dello stato, che per la ricerca della strategia di attuazione. La soluzione è studiata per il controllo fine, per satelliti operazionali cui sono richieste elevate prestazioni di accuratezza per il puntamento, e si basa su un sistema di attuazione continuo, di tipo inerziale prodotto da un sistema di quattro ruote di reazione.

     

Evolution law of a weak discontinuity crossing a non characteristic shock in a non-linear dielectric medium

Summary Transmission and reflection of an electromagnetic discontinuity wave colliding with a non characteristic shock in a dielectric medium with non-linear constitutive equation is analyzed in the case of polarized fields depending on one space variable and time. The transmitted and reflected amplitudes are obtained; the evolution law of the transmitted discontinuity is integrated for propagation through a constant state and the appearing of a new value of the critical time is discussed.

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Sommario Viene analizzata la collisione di un'onda elettromagnetica di discontinuità con un urto non caratteristico in un mezzo dielettrico avente equazione costitutiva non lineare, per campi polarizzati e dipendenti da una sola variabile spaziale e dal tempo. Vengono ricavate le ampiezze trasmessa e riflessa. Si integra poi la legge di evoluzione della discontinuità trasmessa nel caso della propagazione in uno stato costante e si discute la comparsa di un nuovo valore per il tempo critico.

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Lavoro eseguito durante il godimento di una borsa di studio nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Energy and radiation transfer in a finite convex body with general boundary conditions

Summary We consider a nonlinear system of equations describing the interaction of radiation with matter through a balance of the specific intensity of radiation and the specific internal energy in a convex bounded body.The boundary conditions are not homogeneous. However, suitable additive decompositions of the unknown functions lead to systems with homogeneous boundary conditions and known source terms. We give two such decompositions: one of these, suggested by physical considerations, arises from the study of a nonhomogeneous linear integral equation in a convenient Banach space. The system is studied by using the theory of semigroups of linear operators and nonlinear perturbations in an L ₁ setting. We prove the existence and uniqueness of a positive differentiable solution, which is global in time.

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Sommario Si considera un sistema non lineare di equazioni che descrivono l'interazione della radiazione con la materia e rappresentano il bilancio dell'intensità specifica di radiazione e dell'energia specifica internu in un mezzo finito convesso. Le condizioni al contorno sono di tipo generale e non omogenee; l'introduzione di opportune scomposizioni della funzione incognita permette di ricondurci a sistemi con condizioni al contorno omogenee; ciò comporta l'introduzione di termini di sorgente noti. Si presentano due esempi di scomposizione, uno dei quali, suggerito da considerazioni fisiche, scaturisce dallo studio di un'equazione integrale lineare non omogenea in un opportuno spazio di Banach. Si riduce quindi il problema ad un'equazione di evoluzione non lineare in uno spazio di Banach di norma L ₁.Si prova l'esistenza di un'unica soluzione forte non negativa, utilizzando la teoria dei semigruppi e delle perturbazioni non lineari; tale soluzione risulta inoltre globale nel tempo.

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Work performed under the auspices of C.N.R. (Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica) and partially supported by M.P.I.     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

Scattering kernels for the boundary conditions of the boltzmann equation on the moving boundary of two-phase systems

Summary This paper deals with the problem of the boundary conditions for the Boltzmann equation on the moving boundary between a liquid and a vapour phase with condensation and vaporization in non-equilibrium conditions. A physical theory is proposed on the basis of the mathematical theory of the scattering kernels, of the kinetic theory and of the statistical theory of phase-transition. The mathematical result of this theory consists in a set of equations correlating, by means of integral operators, the distribution function of the molecules leaving the liquid surface to the one of the molecules arriving on the surface of the liquid phase.

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Sommario Il presente lavoro studia il problema della condizione al contorno per l'equazione di Boltzmann sulla frontiera mobile fra la fase liquida e quella di vapore di un sistema bifasico in condizioni di disequilibrio termodinamico. Si propone, sulla base dei metodi matematici della teoria cinetica e della teoria degli «scattering kernels» e sulla base dei risultati precedenti di una teoria statistica di transizione di fase, una teoria fisico-matematica per lo studio del problema. In termini matematici si ottiene un operatore che correla la funzione di distribuzione delle molecole che lasciano la superficie liquida alla funzione di distribuzione delle molecole che arrivano sulla superficie. Tale operatore rappresenta la formulazione della condizione al contorno.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research, Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, and presented at the Euromech Colloquium 86 on the «Boltzmann Equation».     

Some finite extremum principles in piecewise linear elasto-plasticity

Summary The paper discusses the boundary value problem for isotropic continua with elastic-linear hardening stress-strain laws of conventional deformation theory. A pair of dual extremum theorems are proven: the first, which takes as variables stresses and plastic strains, reduces the problem to the minimization of a quadratic functional subject to convex quadratic inequalities and linear equalities; the latter, which takes as variables displacements and plastic strains, reduces the problem to the minimization of a non-quadratic functional subject to linear equalities. In absence of hardening the first principle reduces to the well-known Haar-Kármán theorem for elastic perfectly plastic bodies. Some extensions of the above principles to piecewise linear hardening bodies and the connections of the deformation theory with the flow theory of linear kinematic hardening are reported at the end of the paper.

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Sommario Si discute il problema dell'analisi elastoplastica dei mezzi isotropi dotati d'incrudimento lineare adottando le ipotesi della teoria della deformazione.Vengono dimostrati due principi di estremo duali che consentono di ricondurre la soluzione dei problemi al contorno alla minimizzazione di opportuni funzionali.Il primo di tali principii, in assenza d'incrudimento, si riduce al ben noto teorema di Haar-Karman che viene quindi generalizzato ai mezzi incrudenti.Viene discussa anche l'estensione di quanto sopra accennato al caso d'incrudimento lineare a tratti e la Nota è chiusa da alcune considerazioni in merito alla connessione fra la teoria della deformazione e la teoria incrementale dell'incrudimento cinematico.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National (Italian) Research Council (C.N.R.).     

The Gibbs principle for the equilibrium of systems with two simple or composed phases

Summary A precise formulation of the Gibbs principle is proposed and the equilibrium equations for systems having two phases of the same substance are derived and discussed when: a) one of them is solid, isotropic and elastic and the other one is liquid or vapour and both the phases are simple, b) one is liquid and the other is vapour of the same binary mixture. Some final remarks are provided for the case of crystal phases.

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Sommario Viene proposta una rigorosa fomulazione del principio di Gibbs; vengono derivate e discusse le equazioni per l'equilibrio di un sistema formata da due fasi di una stessa sostanza, quando: a) la sostanza é semplice; b) una é liquida e l'altra é di vapore di una stessa miscela binaria. Alcune considerazioni finali riguardano il caso in cui la fuse solida é cristiallina.

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Work supported by the Italian C.N.R.     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

Regularization and symmetry breaking for the thermistor problem with the Thomson effect

We examine a mathematical model of the thermistor taking into account the Thomson effect. We show that this system of equations is always uniquely solvable, in sharp contrast with the case where the Thomson effect is neglected. Another feature of the problem is breaking of the symmetry of the solutions in accordance with practical experiments.

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Sommario Si esamina un modello matematico per il dispositivo noto come termistore tenendo conto anche dell'effetto Thomson. Viene provato che il problema al contorno per il sistema di equazioni differenziali ordinario che regge il dispositivo ha sempre una e una sola soluzione a differenza di quanto accade quando l'effetto Thomson è transcurato. Si prova inoltre la perdita di simmetria della soluzione, fatto rilevato anche sperimentalmente.

     

Fluid flow through a narrow sphere - cylinder meatus with very close diameter values

Summary Results are reported of an experimental hydraulic study on a centering system for the basis of fuel elements in a nuclear reactor. The system employs a cylindrical seat as a guide and a spherical centering element integral with the rod. Tests have been carried out for several values of the thikness of the meatus between sphere and cylinder, and, for every value of the thikness, with the perfectly centred sphere and with the totally eccentric sphere (touching the cylinder internally). Hydraulic characteristics of the system were obtained, in terms of dimensionless Euler-Reynolds numbers. Cavitation threshold has been determined for all the tested cases. A simple formula is further proposed, of very general validity, for approximate evaluation of the correction factor of the Stokes formula for a sphere in slow motion in a viscous fluid on the axis of an indefinite cylinder.

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Sommario Si riportano i risultati di un'indagine idraulica sperimentale effettuata su un sistema di centraggio per il piede di elementi di combustibile in un reattore nucleare. Il sistema è fondato sull'impiego di una sede cilindrica di guida e di un elemento sferico di centraggio solidale con la barra. Le esperienze condotte per vari valori dello spessore dell'intercapedine sfera-cilindro e, per ogni spessore, con riferimento sia all'assetto perfettamente centrato sia a quello totalmente eccentrico, hanno condotto alla determinazione delle caratteristiche idrauliche del sistema in termini di numero di Eulero - numero di Reynolds. Sono state condotte prove per la determinazione della soglia di cavitazione per i vari casi sperimentati. Viene inoltre proposta una formula approssimata di validità molto generale per la stima del coefficiente di correzione della formula di Stokes per il caso di moto lento di una sfera in un fluido viscoso lungo l'asse di un cilindro infinitamente lungo.

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Research supported by CNEN - PRV (Fast Reactor Project).     

Similarity solutions and spherical discontinuity waves in hyperelastic materials subject to a non constant deformation

Summary The full group analysis is applied to the second order equation governing the deformation of a homogeneous isotropic hyperelastic material. Some exact similarity solutions are obtained corresponding to classes of materials compatible with the conditions of invariance. The propagation of spherical discontinuity waves is then considered in a non-constant state characterized by the above mentioned solutions. The occurrence of shock waves is discussed.

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Sommario Si fa l'analisi gruppale completa dell'equazione del seconda ordine che governa le deformazioni di un mezzo iperelastico omogeneo ed isotropo. Si caratterizzano alcune soluzioni esatte di similaritá che corrispondono a classi di materiali compatibili con le condizioni di invarianza. Si studia la propagazione di onde sferiche di discontinuitá in uno stato non costante caratterizzato dalle soluzioni suddette.

     

Linear and non-linear pulse propagation in fluid-filled compliant tubes

Summary Here we study impact-initiated disturbances in fluid-filled elastic tubes. The undeformed tube diameter, wall thickness, and elastic modulus of the tube material are assumed to be functions of the distance along the centre line of the tube. The linearized version of the governing equations are solved by the Laplace transform, which is inverted by means of an approximate method. The original non-linear system of governing equations is solved numerically by the method of characteristics. Relationships between the axial fluid velocity and axial coordinate as well as between velocity and time are displayed for fixed values of time and axial coordinate respectively for the linear and nonlinear theory for ease of comparison.

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Sommario Si studiano le perturbazioni prodotte da impatto in tubi elastici riempiti di fluidi. Si assume che il diametro del tubo indeformato, lo spessore della parete e il modulo elastico del materiale del tubo siano funzioni della distanza misurata lungo la linea centrale del tubo. La versione linearizzata delle equazioni che governano il fenomeno è risolta con la trasformata di Laplace, invertita con un metodo approssimato. Il sistema originale non lineare delle equazioni è risolto numericamente con il metodo delle caratteristiche. Vengono rappresentate, per valori fissati del tempo e della coordinata assiale, le relazioni tra la velocità assiale del fluido e la coordinata assiale oltre alle relazioni fra velocità e tempo, sia per la teoria lineare sia per quella non lineare.

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Whirl and critical speeds of flywheel-container systems aboard vehicles

Summary Container-flywheel systems for road vehicles can be mounted in a variety of ways on the vehicle's body, thus allowing large or small displacements. In the case of steady precession kinematic conditions are here obtained for both large and small displacements. Dynamic analysis in the small displacement case is then tested against a complete nonlinear simulation model, previously used for studies on flywheel bus dynamics. Whirling and critical speeds are obtained and discussed.

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Sommario I sistemi contenitore-volano possono essere montati sui veicoli terrestri in vari modi, tali da permettere spostamenti relativi al veicolo più o meno grandi.Nel presente lavoro viene studiata la cinematica del moto precessionale uniforme, nel caso sia di grandi sia di piccoli spostamenti.Nel caso di piccoli spostamenti si ottiene una soluzione analitica per la dinamica precessionale del sistema; viene approfondito il caso della precessione sincrona concorde con la rotazione del volano, detta «velocità critica».La soluziòne analitica è verificata per confronto con la soluzione numerica effettuata mediante un modello non lineare a sei gradi di libertà.

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Propagation of infinitesimal disturbances in a gas according to a relativistic kinetic model

Summary In this paper a kinetic model describing a relativistic gas is considered. The propagation of infinitesimal disturbances is studied. Given the frequency of the disturbance, the complex wave number is shown to exhibit a continuous spectrum. A detailed analysis, however, indicates the possibility of isolating, at least in an asymptotic sense, a sort of discrete spectrum imbedded in the continuum. The spectrum obtained by such asymptotic analysis is in agreement with the corresponding results for the Boltzmann equation.

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Sommario In questo lavoro viene considerato un modello cinetico per descrivere un gas relativistico. Viene studiata in particolare la propagazione delle onde di piccola ampiezza e si mostra che, data la frequenza del disturbo, il numero d'onda possiede uno spettro continuo. Un'analisi dettagliata mostra però la possibilità di isolare, almeno in senso asintotico, una specie di spettro discreto immerso nel precedente. Questo spettro ricavato dall'analisi asintotica è in accordo coi corrispondenti risultati noti per l'equazione di Boltzmann.

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Partially supported by G.N.F.M. of C.N.R. and M.P.I. contract number (40%) 20120201/81 - (A) - 218142055.     

Weakness of multiple scattering effects in a slab of random medium

Summary Wave propagation in a stack of n slabs of equal thickness L/n, whose index of refraction is assumed to be random is considered. The behaviour of the wave function as n goes to infinity is studied.

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Sommario Si considera la propagazione ondosa in uno strato di materiale suddiviso in n parti di uguale spessore L/n, il cui indice di rifrazione è assunto aleatorio. Si studia il comportamento della funzione d'onda per n tendente a infinito.

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Presented at the VIII Congresso Nazionale dell'Associazione Italiana Di Meccanica Teorica ed Applicata (AIMETA), Torino, Ottobre 1986.