Numerical solutions of some unsteady laminar flows of viscoelastic fluids in concentric annuli with axially moving boundaries

Summary The numerical solution of the steady and nonsteady laminar, isothermal flow of the 6-constant Oldroyd fluid in concentric annuli with axially moving boundaries, is given. The steady flow problem involves the solution of a non-linear ordinary differential equation. In the non-steady flow problem, a modified finite difference method, given byTownsend, is used. It is shown that the steady flow solution obtained directly and the solution obtained from the start-up flow problem agree with each other, thus showing the validity of the finite difference method. In various flow situations, start-up flow, flow decay, decay of a disturbance in the pressure, the effect of superimposed oscillations in the pressure gradient and in the axial velocity of the boundaries on the mean state of flow, are illustrated.

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Zusammenfassung Es werden numerische Lösungen der stationären und instationären laminaren, isothermen Strömung einer Oldroyd-Flüssigkeit mit sechs Konstanten in konzentrischen Ringspalten mit axial bewegten Wänden angegeben. Das stationäre Strömungsproblem erfordert die Lösung einer nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichung. Beim instationären Problem wird in Anlehnung anTownsend eine modifizierte Finite-Differenzen-Methode angewandt. Es wird gezeigt, daß die direkt erhaltenen Lösungen des stationären Problems mit den numerisch erhaltenen Lösungen des instationären Problems übereinstimmen, wodurch die Anwendbarkeit dieser Methode nachgewiesen ist. Für verschiedene Strömungssituationen wie Anlauf- und Abklingströmung, Abklingen nach einer Druckströmung sowie der Einwirkung von überlagerten Schwingungen im Druckgradienten und in der Axialbewegung der Wände auf den mittleren Strömungszustand werden die resultierenden Ergebnisse veranschaulicht.

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With 15 figures     

On elastic effects in unsteady pipe flows

Summary Theoretical consideration is given to two unsteady pipe flows. In the first, a combined steady and oscillatory shear flow is generated by a pulsatile pressure gradient in a stationary pipe. In the second, the pressure gradient is constant, but the pipe wall executes axial vibrations.The theoretical analysis is carried out for an upper convected Maxwell model characterized by a viscosity function and one relaxation time. A conventional perturbation method of solution is concluded to be inadequate to describe some of the interesting experimental observations and most of the work employs a finite-difference formulation based onTownsend's work. In the vibrating-pipe analysis, it is concluded that the flow must be considered to be dominated by the axial movement of the pipe if the interesting experiments ofManero andMena are to be properly interpreted.We have still not reached the stage where existing experimental results on pulsatile flow and the vibratingpipe situation can bequantitatively predicted.

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Zusammenfassung Es werden zwei Typen instationärer Rohrströmungen theoretisch betrachtet. Bei dem ersten wird eine kombinierte stationäre und oszillierende Scherströmung dadurch erzeugt, daß bei ruhendem Rohr der Strömung ein pulsierender Druckgradient aufgeprägt wird. Bei dem zweiten ist der Druckgradient konstant, dagegen führt das Rohr axiale Schwingungen aus.Die theoretische Analyse wird für das Modell einer verallgemeinerten Maxwell-Oldroyd-FlüssigkeitB (d. h. mit kontravarianter konvektiver Zeitableitung) durchgeführt, welches durch eine Viskositätsfunktion, aber nur eine einzige Relaxationszeit gekennzeichnet ist. Es wird gezeigt, daß die üblichen Störungsmethoden nicht geeignet sind, einige der interessantesten experimentellen Beobachtungen zu beschreiben. Daher wird in den meisten Fällen eine auf den Arbeiten vonTownsend basierenden Finite-Differenzen-Methode angewendet. Bei der Analyse des vibrierenden Rohrs wird geschlossen, daß die Strömung maßgeblich durch die Axialbewegung des Rohrs bestimmt sein muß, wenn die interessanten Experimente vonManero undMena angemessen interpretiert werden sollen.Zur Zeit ist noch nicht eine solche Stufe des theoretischen Verständnisses erreicht, von wo aus einequantitative Voraussage der bekannten experimentellen Ergebnisse bei pulsierenden Strömungen bzw. einem vibrierenden Rohr geleistet werden könnte.

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With 14 figures     

Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten bei stationärer und periodischer Bewegung

Zusammenfassung Verschiedene Typen von Sekundärströmungen in viskoelastischen Flüssigkeiten werden besprochen, und es werden vor allem experimentelle Realisierungen derselben mitgeteilt, wobei als Versuchsflüssigkeit wäßrige Lösungen von Polyacrylamid Verwendung finden.Aus der Klasse der stationären Bewegungen werden Strömungen in geradlinigen Rohren von beliebigem Querschnitt und in gekrümmten Rohren von kreisförmigem Querschnitt unter einem konstanten Druckgradienten, sowie Strömungen um drehsymmetrische Körper, die um ihre Symmetrieachse rotieren, behandelt. Für den letztgenannten Fall wird u. a. das Gegeneinanderwirken von Viskoelastizitäts- und Trägheitseinflüssen aufgezeigt.In der Klasse der periodischen Bewegungen wird zuerst kurz auf die Strömung in einem geradlinigen Rohr von beliebigem Querschnitt unter einem alternierenden Druckgradienten eingegangen. Anschließend wird die Strömung um drehsymmetrische Körper, welche um ihre Symmetrieachse Rotationsschwingungen ausführen, untersucht. Dabei wird nicht nur eine stationäre Sekundärströmung in der Meridianebene, sondern außerdem auch eine solche in azimutaler Richtung nachgewiesen und als Folge der Unsymmetrie der anregenden periodischen Bewegung einsichtig gemacht. Schließlich wird gezeigt, daß im Innern eines Zylinders mit freier Flüssigkeitsoberfläche, der um seine Achse Drehschwingungen vollführt, eine unter Umständen recht komplizierte stationäre Sekundärströmung auftritt, und es wird deren Abhängigkeit von der Frequenz und der Füllhöhe untersucht.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen-Vereinigung und der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Bad Nauheim am 8. April 1965.Zum Schluß sei Herrn Prof. Dr.K. Weissenberg (The Royal Institution, London) herzlich für die Mitteilung seiner unveröffentlichten Ergebnisse gedankt, die zur Durchführung der zuletzt beschriebenen Versuche angeregt haben. Herrn Dipl.-Ing.K. Feldkamp (Technische Hochschule Braunschweig) sowie meinen Mitarbeitern HerrnH. Stollorz und HerrnH. Pickelin danke ich für ihre Hilfe bei Planung und Bau der Apparaturen und bei der Durchführung der Versuche, meinem Kollegen Herrn Dr.J. Pawlowski für manche anregende Diskussion sowie für die Messung der Fließkurven. Den Farbenfabriken Bayer AG., insbesondere Herrn Dr.W. Meskat gebührt schließlich mein Dank für die Förderung der vorliegenden Untersuchung.     

Three-dimensional periodic boundary layers

Summary Three-dimensional periodic boundary layers on an arbitrary surface are considered assuming that the outer flow is a known periodic potential flow. It is shown that, if the Strouhal number and the Reynolds number are of the same order and if both are large, the interaction between the curvature of the surface and viscosity induces a harmonic part in the secondary motion inside the boundary layer in addition to steady and subharmonic parts.

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Übersicht Es werden dreidimensionale periodische Grenzschichten an einer beliebigen Oberfläche betrachtet unter der Annahme, daß die Außenströmung eine bekannte periodische Potentialströmung ist. Es wird gezeigt, daß unter der Vorsausetzung, daß Strouhalzahl und Reynoldszahl groß und von gleicher Größenordnung sind, durch das Zusammenwirken von Oberflächenkrümmung und Zähigkeit innerhalb der Grenzschicht ein harmonischer Anteil für die sekundäre Strömung innerhalb der Grenzschicht entsteht, der sich den stationären und den subharmonischen Anteilen überlagert.

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The author thanks Prof. S. D. Nigam for his comments on the first draft of the paper.     

Unsteady elastico-viscous flow in a curved pipe

Summary An analysis is presented of the flow of an elasticoviscous liquid in a pipe of circular cross-section, coiled in a circle oflarge radiusR, under the influence of a pressure gradient oscillating (about a zero mean) with frequencyn. Of particular interest is the secondary flow set up in the cross-section of the pipe due to centrifugal effects. For sufficiently small values ofn, it is found that the flow pattern approaches that which would be produced by a steady pressure gradient having the same instantaneous value (Thomas andWalters 1963), and of the type that one would be led to expect by centrifugal effects. For large values ofn, the flow in the interior of the pipe, away from the wall, is spectacularly reversed, flow now being directed towards the centre of curvature, elasticity having the effect of reducing the critical (high) frequencyn = n _c which onsets flow reversal.

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Zusammenfassung Eine Analyse der Strömung einer elasto-viskosen Flüssigkeit in einer Röhre von rundem Querschnitt, die in einem Kreis mit einemgroßen RadiusR gewunden ist, wird unter dem Einfluß eines Druckgradienten, der mit der Frequenzn oszilliert (um einen Nulldurchschnitt), dargestellt. Von besonderem Interesse ist die Sekundärströmung, die in dem Querschnitt der Röhre unter dem Einfluß der Zentrifugalwirkungen entsteht. Für genügend kleine Werte vonn wird herausgefunden, daß das Strömungsbild sich demjenigen annähert, das von einem stationären Druckgradienten erzeugt werden würde, der denselben augenblicklichen Wert besitzt (Thomas andWalters 1963) und dem Typus angehört, den man aufgrund der Zentrifugalwirkungen erwarten würde. Für große Werte vonn wird die Strömung im Inneren der Röhre, d. h. von den Rändern entfernt, in spektakulärer Weise umgekehrt; jetzt wird die Strömung zum Krümmungsmittelpunkt hin gerichtet, und die Elastizität hat die Wirkung, die kritische (hohe) Frequenzn = n _c zu reduzieren, bei der die Strömungsumkehr beginnt.

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With 2 figures     

Flow enhancement mechanisms of a pulsating flow of non-Newtonian liquids

Summary The pipe flow of non-Newtonian liquids under a fluctuating pressure gradient is considered. Adopting a generalized Maxwell model with full relaxation spectrum and considering only weak-sense stationary pressure-gradient noises, it is shown that there are two mechanisms involved in the flow enhancement: an inelastic and a dynamic mechanism. Both depend on the shear-thinning properties of the liquid in steady and oscillatory flows. For one-frequency pressuregradient noises, the flow enhancement increases with increasing frequency of fluctuation if the modulus of the complex viscosity is a decreasing function of the frequency. Since almost all polymeric liquids are shear-thinning in oscillatory shear flows, this investigation serves as a possible explanation for the data collected byBarnes, Townsend andWalters (1971). This, however, does not necessarily ensure that the constitutive model adopted in this study is free of defect in a general flow field.

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Zusammenfassung Es wird die Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit bei fluktuierendem Druckgefälle betrachtet. Für ein verallgemeinertes Maxwell-Modell mit beliebigem Relaxations-Spektrum wird bei Beschränkung auf kleine Schwankungen des Druckgradienten um einen stationären Mittelwert gezeigt, daß zwei Mechanismen zur Steigerung des Durchflusses beitragen, ein unelastischer und ein dynamischer Mechanismus. Beide hängen von den Scherentzähungs-Eigenschaften der Flüssigkeit bei stationären und oszillierenden Beanspruchungen ab. Für eine harmonisch-periodische Druckstörung nimmt die Durchflußsteigerung mit wachsender Schwankungsfrequenz zu, wenn der Betrag der komplexen Viskosität eine mit der Frequenz abnehmende Funktion darstellt. Da nahezu alle Polymerflüssigkeiten bei oszillierenden Scherströmungen Scherentzähung aufweisen, liefert diese Untersuchung eine mögliche Erklärung für die vonBarnes, Townsend undWalters (1971) zusammengestellten Ergebnisse. Dies bedeutet aber nicht notwendigerweise, daß das hier angenommene Modell auch für die Beschreibung allgemeinerer Strömungsfelder angemessen ist.

     

Calibration of and measurements on a rheogoniometer by means of a small computer

Summary In this paper we propose a method for measurements with and calibration of the Weissenberg Rheogoniometer by means of a small computer.For Newtonian fluids we found that the dynamic viscosity is changed by a superposition of a steady shear flow on an oscillatory one, dependent on the direction of the steady shear flow.

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Zusammenfassung In diesem Aufsatz wird eine neue Methode zur Eichung eines Weissenberg-Rheogoniometers und für das Messen mit diesem Apparat dargestellt. Wir haben an newtonschen Flüssigkeiten beobachtet, daß die dynamische Viskosität bei der Überlagerung einer stationären und einer oszillierenden Scherströmung je nach der Richtung der stationären Strömung ihren Wert ändert.

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With 3 figures     

A potential theory for the steady separated flow about an aerofoil section

Summary An incompressible potential flow theory is used to determine the steady separated flow about an aerofoil. The theory permits a continuous variation from fully-attached (Joukowski) flow to fully-separated (Helmholtz) flow, with the Kutta condition always satisfied at the trailing edge, and with the position of the separation point as an assignable parameter to determine the flow configuration. The method is also applicable to other flows such as that about a flat plate with a rear free-stream flap.

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Eine Potentialtheorie für stationäre abgelöste Strömung um ein Tragflügelprofil

Übersicht Zur Bestimmung der stationären abgelösten Strömung um einen Tragflügel wird eine Potentialtheorie für inkompressible Strömung benutzt. Die Theorie erlaubt eine stetige Variation von vollständig anliegender Strömung (Joukowski) bis zu vollständig abgelöster Strömung (Helmholtz), wobei stets die Kutta-Bedingung an der Flügelhinterkante erfüllt ist und die Lage des Ablösepunktes ein Parameter ist, der das Strömungsbild festlegt. Die Theorie läßt sich auch auf andere Strömungen, etwa um eine ebene Platte mit rückseitiger Freistrahlklappe, anwenden.

     

Unsteady flows of a third-order viscoelastic fluid

Summary Unsteady third-order viscoelastic flow is examined for the purpose of determining a method by which certain material constants in theRivlin-Ericksen theory can be measured. The concept of an intrinsic pressure hole error is used, and an expression for this error is derived for third-order flow. It is also shown that the velocity field for unsteady creeping motion of a third-order fluid is identical at any time to a corresponding steady third-order flow. The pressure field, however, depends upon the rate of change of the flow with time.

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Zusammenfassung Es wird die instationäre Strömung dritter Ordnung einer viskoelastischen Flüssigkeit untersucht zu dem Zweck, eine Methode anzugeben, mit deren Hilfe gewisse Stoffkonstanten in der Theorie vonRivlin undEricksen gemessen werden können. Dazu wird das Konzept des intrinsic pressure hole error verwendet, und es wird für diesen Fehler im Rahmen der Theorie dritter Ordnung ein Ausdruck abgeleitet. Weiter wird gezeigt, daß das Geschwindigkeitsfeld für die instationäre schleichende Strömung einer Flüssigkeit dritter Ordnung zu jeder Zeit mit der zugeordneten stationären Strömung dritter Ordnung identisch ist. Im Gegensatz dazu hängt das Druckfeld jedoch von der zeitlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ab.

     

Rapid extension of a crack

Summary For a body which is initially in a state of uniform anti-plane shear, the wave motion generated by a rapidly extending crack is analyzed in this paper. It is shown that extension with constant speeds of the crack tips is not consistent with the criterion for brittle fracture, but it is consistent with a fracture criterion related to postulated zones of cohesive tractions near the crack tips.

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Zusammenfassung Anbringen eines Lochs in einem gespannten Körper kann die Entstchung eines rasch sich ausbreitenden Risses veranlassen. In dieser Arbeit wird für einen Körper, der sich ursprünglich in einem Zustand gleichförmiger Schubspannung befand, die durch einen in schneller Ausbreitung begriffenen Riß verursachte Wellenbewegung untersucht. Es wird gezeigt, daß eine Ausbreitung mit konstanten Geschwindigkeiten der Rißenden nicht verträglich ist mit dem Kriterium für Sprödbruch, wohl aber mit einem Bruchkriterium, das mit postulierten Zonen kohäsiver Zugspannungen in der Nähe der Rißenden zusammenhängt.

     

Fluides viscoélastiques non linéaires satisfaisant à un principe de superposition étude théorique et experimentale

Summary This study is devoted to incompressible viscoelastic fluids in which a superposition principle for stress is assumed. In order to respect the material objectivity, this summation of incremental stress, with corresponding memory factor, is operated in a rheological (corotational) frame. Theoretical study for these fluids in viscometric flows was conducted up to explicit solutions. This study shows some impossibility ranges for such flows. The determination of the memory functions from this type of flow involvesFourier transform and so, would need the knowledge of all the kinematic range, and this is impossible.The study in relaxation tests permits the determination of the memory functions. So, we performed these experiments, to get memory functions which were independent of the kinematics.Using the function so obtained, we can compute and predict some experimental results in steady flows; and the comparison between these two results was quite good.

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Zusammenfassung Wir untersuchen inkompressible viskoelastische Fluide, die einem Superpositionsprinzip für die Spannungen genügen. Um dem Prinzip der Bezugsindifferenz zu entsprechen, wird die Summation der Spannungs-inkremente in einem korotationalen Bezugssystem vorgenommen. Die theoretische Untersuchung wird für viskosimetrische Strömungen mit kreisförmigen oder geradlinigen Stromlinien für einfache Randwertprobleme bis zu expliziten Lösungen durchgeführt. Dabei findet man, daß es Bereiche gibt, für die solche Strömungen nicht existieren. Die Bestimmung der Gedächtnisfunktion aus diesen Strömungsformen würde eineFourier-Transformation erfordern und darum die Kenntnis des gesamten kinematischen Bereichs voraussetzen, was nach vorstehendem Ergebnis unmöglich ist.Mit Hilfe von Relaxationsversuchen kann man die Gedächtnisfunktion unmittelbar erschließen. Durch solche Experimente erhalten wir Gedächtnisfunktionen, die von der Kinematik unabhängig sind. Unter Verwendung dieser Funktionen lassen sich einige theoretische Aussagen über stationäre Strömungen erhalten, die mit dem Experiment verglichen werden können. Es ergibt sich eine recht gute Übereinstimmung.

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Avec 6 figures     

Eine numerische Methode zur Lösung der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale,inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte

Übersicht Es wird eine Differenzenmethode zur numerischen Integration der Navier-Stokesschen Gleichungen für die zweidimensionale, inkompressible, stationäre Strömung längs einer dünnen Platte beschrieben. Zur Verringerung des Rechenaufwandes wird angenommen, daß die Platte Symmetrieebene der Strömung ist. Die Ergebnisse einiger Testrechnungen für die Strömung längs einer endlich langen sowie einer unendlich langen Platte werden mit den Näherungslösungen von Blasius für die Plattengrenzschicht und von Goldstein für die Nachlaufströmung verglichen. Dabei zeigt sich deutlich die Stromaufwärtswirkung der Plattenvorderkante auf die ankommende Strömung und der Plattenhinterkante auf die Grenzschicht kurz vor dem Plattenende.

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Summary A difference method will be described for the numerical integration of the Navier-Stokes equations for the two-dimensional, incompressible, steady flow along a flat thin plate. To reduce the computation time the plate is assumed to be the symmetry plane of the flow. The results of some computation tests for the flow along a plate of finite and infinite length, are compared with the approximate solutions of Blasius for the boundary-layer flow and of Goldstein for the wake behind the plate. The upstream effect of the leading edge on the incoming flow and of the trailing edge on the boundary layer shortly before the end of the plate becomes visible.

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Auszug aus dem Bericht UW 62/70-ö der Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Ottobrunn. Die Arbeit ist Teil des Forschungsauftrages T 01-830-I-205 des Bundesministeriums der Verteidigung.     

The velocity slip of polar fluids

Summary The theory of polar fluids, briefly reviewed and shown to be identical to the theory of micropolar fluids, is applied to five different viscometric flows and to the flow around a slowly rotating sphere. Comparing theoretical predictions with experimental results for the viscometric flows it is demonstrated that the theory may serve as a model for the flow of suspensions if a velocity slip along a solid wall is accounted for.In the important limit, in which the length scale of the microstructure is much less than a characteristic geometric length theNavier-Stokes equations subject to a velocity slip boundary condition are all one has to work with for the evaluation of the apparent fluidity; a positive slip coefficient guarantees the sigma phenomenon to result. For other flows one may also adopt this procedure as long as one is interested only in average macroscopic quantities. In this way it turns out that the classical expressions for the hydrodynamic force and torque on a slowly translating and rotating sphere may be employed if the geometric radius is replaced by an apparent one.But even for the evaluation of local quantities, where the full system of equations has to be used, one needs a velocity slip boundary condition. Only then does a qualitative agreement with the experimentally determined details of the flow field result. It is demonstrated that such a requirement is a natural and physically expected supposition for any continuum approximation of a fluid with internal structures.

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Zusammenfassung Die Theorie der polaren Flüssigkeit, welche kurz referiert und für die gezeigt wird, daß sie identisch ist mit der Theorie der mikropolaren Flüssigkeit, wird auf 5 stationäre Schichtenströmungen sowie auf die Strömung um eine langsam rotierende Kugel angewendet. Durch Vergleich von theoretischen Resultaten mit experimentellen Ergebnissen für Schichtenströmungen wird gezeigt, daß die Theorie durchaus als Modell für die Strömung von Suspensionen geeignet ist, vorausgesetzt, daß eine Geschwindigkeitsgleitung entlang einer Wand mitberücksichtigt wird.In dem entscheidenden Grenzfall, in dem die Größe der Mikrostruktur klein ist im Vergleich zu charakteristischen Makrodimensionen, hat man zur Bestimmung der scheinbaren Fluidität nur dieNavier-Stokes-Gleichungen zu lösen, allerdings unter der Randbedingung einer Geschwindigkeitsgleitung; ein positiver Gleitungskoeffizient führt dann zum Sigma-Effekt. Auch auf andere Strömungen ist diese Methode anwendbar, solange man sich nur für irgendwelche Mittelwerte interessiert. Auf diese Weise zeigt sich, daß die klassischen Ausdrücke für die hydrodynamische Kraft und das Drehmoment auf eine sich langsam bewegende starre Kugel ihre Gültigkeit behalten, wenn man den geometrischen Radius durch einen scheinbaren ersetzt.Aber sogar zur Berechnung lokaler Größen, für die man das vollständige Gleichungssystem benötigt, muß eine Geschwindigkeitsgleitung an der Wand angenommen werden. Denn nur dann erhält man eine qualitative Übereinstimmung mit dem experimentell bestimmten Strömungsprofil. Es wird gezeigt, daß eine derartige Annahme für jede Approximation einer Flüssigkeit mit innerer Struktur durch ein Kontinuum physikalisch zu erwarten ist.

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With 2 figures     

Turbulente Strömungen in divergenten Kanälen

Zusammenfassung Die theoretische Behandlung turbulenter Grenzschichtströmungen mit mittlerem und starkem Druckanstieg erfordert die Berücksichtigung des Einflusses des Druckgradienten bis zur Wand hin. Unter Zugrundelegung des Prandtlschen Schubspannungsansatzes wird als Verallgemeinerung des logarithmischen Geschwindigkeitsgesetzes ein Wandgesetz abgeleitet, das diesem Einfluß in Wandnähe Rechnung trägt. Die empirischen Koeffizienten des Wandgesetzes sind die beiden empirischen Koeffizienten des logarithmischen Gesetzes und vom Druckgradienten der Strömung unabhängig. Das Wandgesetz kann unter Umständen dazu dienen, die Wandschubspannung aus der experimentellen Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe zu bestimmen.Der theoretischen Untersuchung turbulenter Strömungen in ebenen Diffusoren werden die bekannten Messungen Nikuradses zugrunde gelegt. Es zeigt sich, daß bereits mittels des Wandgesetzes Druckgradient, Wandschubspannung und Geschwindigkeitsverteilung für mittleren Druckanstieg in brauchbarer Näherung berechnet werden können. Methodisch wird dabei so vorgegangen, daß die Geschwindigkeitsverteilung über der gesamten Breite der Kanalströmung durch das Wandgesetz approximiert wird. Wandschubspannung und Druckgradient werden dann mittels des Impulssatzes und einer äußeren Randbedingung bestimmt.Eine brauchbare Wiedergabe der experimentellen Werte auch für starken Druckanstieg erzielt man, wenn man als approximierende Funktion eine analytische Weiterentwicklung des Wandgesetzes ins Innere der Grenzschichtströmung hinein benutzt. Diese analytische Weiterentwicklung ist charakterisiert durch Berücksichtigung der Trägheitskräfte in erster Näherung und Berücksichtigung des Vorganges der turbulenten Mischung in zweiter Näherung, d. h. Einbeziehung des zweiten Gliedes der Taylorentwicklung der Mischungswegfunktion in die Rechnung. Der dabei auftretende dritte empirische Koeffizient erweist sich als vom Druckgradienten unabhängig und ist darüber hinaus als universelle Konstante anzusehen.     

Non-steady two-phase stratified laminar flow of polymeric liquids in pipes

Summary A numerical method of solution is given for the non-steady two-phase stratified. laminar flow of various non-Newtonian fluids in pipes. In particular, the Ellis fluid model is chosen to illustrate inelastic shear thinning effects. It is shown that the method can be applied to the non-steady multi-phase stratified laminar flow of some non-Newtonian fluid models. An Oldroyd six constant model is used to illustrate the fully elastic flow. It is found that the presence of two phases of the same kind of immiscible liquids tends to suppress the typically viscoelastic response to time dependent situations that the same liquids would exhibit as a single phase. Overshoot of flow rates is reduced, if not completely eliminated in both the generation and decay of steady flows. In two-phase pulsatile flows, the flow enhancement is less marked and the time dependence of the individual flow rates can be significantly different. Theoretical results are used to interpret some of the flow instabilities encountered during the capillary flow of polymeric liquids.

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Zusammenfassung Es wird eine numerische Methode für die nichtstationäre geschichtete Zwei-Phasen-Strömung verschiedener nicht-newtonscher Flüssigkeiten durch Rohre angegeben, wobei zur Veranschaulichung unelastischer Scherentzähungseffekte speziell das Ellis-Modell ausgewählt wird. Dabei zeigt sich, daß diese Methode für die Anwendung auf nicht-stationäre Mehrphasenströmungen geschichteter laminarer Strömungen nicht-newtonscher Flüssigkeiten geeignet ist. Zur Veranschaulichung des vollständigen elastischen Fließens wird ein Oldroyd-Modell mit sechs Konstanten gewählt. Es wird gezeigt, daß die Anwesenheit von zwei Phasen nicht-mischbarer Flüssigkeiten die Unterdrückung des typisch viskoelastischen Verhaltens unter zeitabhängigen Bedingungen, wie es beim Vorhandensein einer einzigen Phase beobachtet wird, zur Folge hat. Das Überschwingen der Fließgeschwindigkeit wird sowohl beim Anfahren als auch beim Anhalten einer stationären Strömung verringert, wenn nicht gar völlig verhindert. In pulsierenden Zwei-Phasen-Strömungen ist die Geschwindigkeitserhöhung weniger ausgeprägt, und die Zeitabhängigkeit der beiden Fließgeschwindigkeiten kann wesentlich verschieden sein. Die theoretischen Ergebnisse werden dazu verwendet, einige bei der Durchströmung von Polymerflüssigkeiten durch Kapillaren beobachtete Fließinstabilitäten zu interpretieren.

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With 15 figures     

The effect of random step changes of system parameters on the stability of steady vibration of nonlinear systems

Summary The author proposes a method of analysing the effect of random step changes of system parameters on the stability of steady solution of a nonlinear system in case this steady solution is not the only one. The method is based on the assumption that the time between successive step changes is comparatively long against the period of steady vibration so that transients become stabilized after each parameter change. The parameter is free to vary on a finite interval of values.

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Übersicht Es wird ein Verfahren vorgeschlagen, um die Auswirkung von zufälligen Sprungstörungen der Systemparameter auf die Stabilität von stationären Lösungen nichtlinearer Systeme zu untersuchen. Dabei wird vorausgesetzt, daß es mehrere stationäre Lösungen gibt. Es wird angenommen, daß die Zeit zwischen den nacheinander folgenden Sprungstörungen vergleichsweise lang gegenüber der Periode der stationären Schwingung ist, so daß die Einschwingvorgänge nach jeder Parameteränderung abgeklungen sind. Der Parameter kann sich dabei in einem endlichen Wertcbcreich ändern.

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Herrn Professor Dr. K. Klotter zum 70. Geburtstag gewidmet.     

Solutions in terms of homogeneous harmonic functions in three-dimensional elastostatics and the viscous flow theory

Summary The paper presents the mean-stress approach to integration of differential equations in elastostatics and the theory of a viscous medium in steady slow flow. This method in the general formulation is used to the derivation of new uncoupled forms of the solution, in particular-expressed by homogeneous harmonic functions. It is shown that in spherical coordinates the boundary conditions arc uncoupled both for displacement and stress as well. As an example, the problem of a fixed elastic spherical inclusion (or obstacle) is studied.

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Übersicht Das Näherungsverfahren der mittleren Beanspruchung zur Integration der Differentialgleichungen der Elastostatik sowie der langsamen stationären Strömungen viskoser Medien wird beschrieben. Das Verfahren wird allgemein zur Ableitung neuartiger, nicht-gekoppelter Formen der Lösung verwendet. Insbesondere werden die Lösungen durch homogene, harmonische Funktionen ausgedrückt. Es wird gezeigt, daß die Randbedingungen bei Verwendung sphärischer Koordinaten sowohl bezüglich der Verschiebungen wie auch bezüglich der Spannungen entkoppelt sind. Als Anwendungsbeispiel wird der Einfluß eines elastischen sphärischcn Einschlusses auf die Spannungsverteilung in einem elastischen Medium untersucht.

     

The effects of random longitudinal vibration on pipe flow of a non-Newtonian fluid

Summary A perturbation solution to a pulsating pipe flow of a non-Newtonian fluid is developed. The pipe is vibrated longitudinally in a random stationary manner and the fluid is driven by a constant pressure drop. Three explicit constitutive equations are studied: the generalized Newtonian, the strain-rate and the strain-dependent constitutive equations. It is found that all three of them are capable of describing the flow enhancement phenomenon observed byMena et al. and that this effect is entirely an inertia effect which is exhibited only by shear-thinning fluids.

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Zusammenfassung Es wird eine Näherungslösung für die pulsierende Rohrströmung einer nicht-newtonschen Flüssigkeit entwickelt. Das Rohr vibriert dabei in Längsrichtung nach Art eines stationären stochastischen Prozesses, und die Flüssigkeit wird durch ein konstantes Druckgefälle angetrieben. Drei Formen rheologischer Stoffgleichungen werden untersucht: die einer verallgemeinerten newtonschen, einer deformationsgeschwindigkeits-und einer deformationsabhängigen Flüssigkeit. Es wird gefunden, daß alle drei Modelle imstande sind, das vonMena und Mitarbeiter beobachtete Phänomen der Durchsatzsteigerung zu beschreiben und daß dieser Effekt ein reiner Trägheitseffekt ist, der nur bei Flüssigkeiten mit Scherentzähung vorkommt.

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With 3 figures     

Langevin analysis of dumbbells with hydrodynamic interaction

Summary In this communication we consider the hydrodynamic interaction problem in dumbbell kinetic theory using the traditional Langevin analysis. The pre-averaged Oseen tensor is avoided in the formulation. It is shown that the behaviour of the dumbbell is qualitatively different from that predicted by models employing the pre-averaged Oseen tensor; the most important result is that the predicted non-Newtonian viscosity in a steady shearing flow now occurs at the experimentally observed order of magnitude of shear rate. This contrasts with the constant viscosity predicted by the pre-averaged calculation.

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Zusammenfassung In dieser Veröffentlichung wird das Problem der hydrodynamischen Wechselwirkung in der kinetischen Theorie der Hanteln mit der traditionellen Langevin-Analyse behandelt. Bei dieser Methode wird die Vorab-Mittelung des Oseen-Tensors vermieden. Es wird gezeigt, daß das Verhalten der Hanteln von demjenigen qualitativ verschieden ist, das durch das Modell des vorab gemittelten Oseen-Tensors vorausgesagt wird. Das wichtigste Ergebnis ist, daß die so bestimmte nicht-newtonische Viskosität für die stationäre Scherströmung jetzt größenordnungsmäßig mit der experimentell beobachteten übereinstimmt, im Gegensatz zu der bei der Vorab-Mittelung erhaltenen konstanten Viskosität.

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With 7 figures     

Notes on plastic reloading zone in the asymptotic analysis of elastic-plastic crack extension

Summary The asymptotic structures of near-tip stress and deformation fields are studied for steady-state crack extension in elastic-plastic solids. The condition for the existence of a plastic reloading zone is formulated. If a plastic reloading zone is to exist in hardening materials, the effective stress must become unbounded as the crack flank is approached. It is shown explicitly in the case of mode III that solutions with logarithmic singularity produce negative plastic dissipation in the plastic reloading sector.

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Über die rückplastizierte Zone bei asymptotischen Lösungen der elastisch-plastischen Rißausbreitung

Übersicht Untersucht wird die asymptotische Form von rißspitzennahen Spannungs- und Verformungsfeldern bei der stationären Rißausbreitung in elastisch-plastischen Körpern. Die Bedingung für die Existenz einer rückplastizierten Zone wird formuliert. Wenn eine solche Zone bei verfestigendem Material vorhanden sein soll, muß die Vergleichsspannung bei Annäherung an die Rißflanke unendlich werden. Es wird gezeigt, daß bei Mode III die Lösungen mit logarithmischer Singularität negative Dissipation in der rückplastizierten Zone bedeuten würden.