用尺规作图不可能三等分任意角

三等分任意角问题 ,连同立方倍积问题和变圆为方问题 ,是古希腊巧辩学派的学者们于公元前 5世纪提出并研究了的几何学三大问题 .2 0 0 0多年来 ,历代数学家为了解决这三个问题 ,耗费了许多心血 ,但都遭到失败 .其实这三个问题 ,于 19世纪就被严格证明为不可能用直尺、圆规 ,经有限次的作图步骤来解决的问题 .自 16 37年笛卡尔 (ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ,15 96 - 16 5 0 )创立了解析几何学之后 ,尺规作图的可能性就有了判定准则 .1837年万泽尔 (Ｐｉｅｒｒｅｈａｎ ｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ,1814- 184 8)首先证明了“立方倍积”和“三等分…     

从三等分角谈起

在中学的数学教科书中,明确地写出了:用直尺和圆规将任意角三等分是不可能的.我们这篇文章的目的,是解释这句话的确切含义,并且给出一个例子来说明.即我们严格证明60度角是不可能三等分的.当然文章还包含了另外一些有兴趣的内容.     

三角形的外角与三等分角问题

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三等分角线构成的三角形的性质

笔者在研究中惊奇地发现三角形有关角三等分线的交点构成的三角形有许多美妙的性质，特介绍如下，以飨读者．引理对任意△ABC，如果存在∠β，∠γ，使1二十七个莫莱三角形熟知的五个莫莱三角形及其位置关系见文[6]，而笔者在研究中又惊奇地发现；定理1如图1，与任意△ABC每边相邻的每两个优角（大于平角而小于周角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的优角）相邻的三等分线的反向延长线的交点构成正△D8E8F8．且边长是：图1图2定理2如图2，任意△ABC任意一个优角与另两个劣角（小于平角的∠A、∠B、∠C称为△ABC的劣角）中，与每边相邻的…     

任意角的三角函数

1　考点简析三角函数的定义贯穿于与三角有关的各部分 ,并起着关键作用 .本节教与学应在基本概念和基础知识上下功夫 .考点要求有 :理解弧度的意义并能正确地进行弧度和角度的换算 ;掌握任意角的三角函数的定义 ,三角函数的符号 ,同角三角函数的关系式与诱导公式 ;能运用上述三角公式化简三角函数式 ,求任意角的三角函数值与证明较简单的三角恒等式 .2　题型展评例 1　若α是第二角限的角 ,则 1) 2α、α2 是第几角限的角 ;2 )当 |ｃｏｓ α2 |=-ｃｏｓ α2 ,角 α2 属于 (　　 ) ;(Ａ)第一象限 .　　 (Ｂ)第二象限 .(Ｃ)第三象限 .　　 (Ｄ…     

任意角的三角函数

重点：角的概念的推广，终边相同的角的表示方法，弧度制及其应用，任意角的三角函数的概念，三角函数值在各象限内的符号，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，对三角函数式进行化简、求值、证明。     

任意角的三角函数

1本单元的重点、难点分析 本单元是三角函数的起始内容，首先将角推广到任意角，再利用函数的观念来定义正弦、余弦等知识，体现一种推广思想，也体现函数贯穿整个高中内容的基本思想．任意角的三角函数是进一步学好后面两角和与差的三角函数、三角函数的图象和性质、解斜三角形以及其它知识的基础，因此本单元在高中数学中起到了承上启下的作用。     

任意角的三角函数

本单元是三角函数的起始内容，也是学习后续课程的重要基础．根据生产实际和进一步学习数学的需要，课本将角的概念推广到任意角，并学习了角的另一种单位制——弧度制；在角的概念推广后，课本用函数的观点定义了任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六种三角函数，它们都是以实数为自变量的函数；通过学习同角三角函数的基本关系式，建立了六种三角函数之间的广泛联系，     

任意角的三角函数

1．本单元重点、难点分析 本单元是三角函数的起始内容,首先将角的概念进行推广,并引入弧度制的表示方式,再定义六种三角函数,体现一种推广思想．任意角的三角函数的定义是进一步学习三角函数的根基,由此导出三角函数值的符号、同角三角函数的基本关系式及三角函数的诱导公式．     

任意角的三角函数

1．本单元重点、难点分析 本单元的重点：任意角的概念，象限角的概念；弧度的意义，弧度与角度的换算；任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；公式sin^2α＋cos^2α=1及sinα/cosα=tanα的推导、变形及应用，五组诱导公式及其综合运用．     

任意角的三角函数

本单元是三角函数的起始内容，也是学习后继内容的根基．教材首先将角的概念推广到任意角，并引入弧度制的表示方法；在此基础上，定义了任意角的六种三角函数；然后介绍同角三角函数的基本关系式以及三角函数的诱导公式，它们是进行三角恒等变换的必备基础．     

任意角的三角函数

1本单元重点、难点分析三角函数是中学数学的重要内容之一,也是高等数学的重要基础。本单元首先将角的概念进行推广,并引入弧度制的表示方式,再定义六种三角函数,然后探讨同角三角函数间的一些基本关系式及三角函数的诱导公式。角的概念的推广和角的度量单位的更新(引入弧度制)是本单元的第一个重点,它拓宽了三角函数的应用范围,简化了三角函数的研究,是进一步学习三角函数的基础,起到了承上启下的作用.任意角的三角函数的定义是进一步学习三角函数的根基,由此导出的三角函数的符号、同角三角函数间的基本关系式及三角函数的诱导公式是本单…     

任意角的三角函数

1本单元重点、难点分析 三角函数是中学数学的重要内容之一。也是高等数学的重要基础。本单元首先将角的概念进行推广．并引人弧度制的表示方式，再定义六种三角函数．然后探讨同角三角函数问的一些基本关系式及三角函数的诱导公式。     

涉及三等分角线的两个重要结论

涉及三等分角线的两个重要结论李平龙（江苏省灌云县中学）莫勒定理［１］是涉及三角形中三等分角线的著名定理，被数学家奥克莱赞为：“数学中最令人吃惊而又全然意外的定理之一，如同明珠一般，鲜有能与之匹敌者．”对此定理的研讨至今仍经久不衰．文［２］、［３］分别...     

102 任意角的三角函数

主持人按　许多重要的数学概念 ,如各种数、指数、函数、坐标的概念 ,以及距离、角等几何概念 ,都是在不断的扩展过程中 ,一个个地建构起来的 .知识结构建构的过程 ,总是要依赖于学生已有的认知结构的 .在扩展建构的情形 ,或是表现在调节原概念的原有定义 ,使它的本质能显露得更加清楚 ,从而能顺利地扩展到更一般的情形中去 ,如三角函数概念的扩展 ;或是表现在适当限制新概念的定义范围 ,暂时只讨论比较适于学习与研究的一些情况 ,如反函数概念的引入 .这也就是皮亚杰所说的同化与调节的过程 .这是着眼于提高学生的整体素质的学习 ,学一个新概念 ,不只是为了记忆与应付考试 ,而且也理解与弄清了几个“为什么” !1　能扩展到更一般的情形么 ?Ｔ :在初中我们已学习过锐角三角函数的定义 ,即 (由学生说 ,教师板书 ) :如图 1,设Ｒｔ△ＡＢＣ的三边分别为ａ、ｂ、ｃ ,则有图 1ｓｉｎＡ =ａｃ =对边斜边 ,ｃｏｓＡ =ｂｃ =邻边斜边 ,ｔｇＡ =ａｂ =对边邻边 ,ｃｔｇＡ =ｂａ =邻边对边 .现在 ,角的概念业已推广到了任意角 ,那么 ,三角函数的概念也能扩展到更一般的情形 ,即成为任意角的三角函数么 ?根据我们...     

再告企图用规尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”这一个不成问题的问题,本通报已经登过几次启事说明这是一个已经证明“不能”的问题,忠告一些同志不要浪费宝贵的精神企图“能”了.启事登了以后,“三等分角”的稿件还是源源而来,我们虽然对每一稿都作了答复,但认为对这样的问题彼此白费了许多精力和时间,殊不值得.就来稿的情况看:有些同志是不知道这个问题已经证明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;还有人想了一个方法,他自己认为是对     

剖析《试解几何难题三等分角》一文

剖析《试解几何难题三等分角》一文汪富泉（四川师范学院数学系（南充）６３７００２）三等分任意角、立主倍和化圆为方，是早在１９世纪就已经完全解决了的“尺规作图不能问题”因此，所谓“几何三大问题”已是不成问题的问题，而不是什么川可难题了，五十年代，我国一些...     

再告企圖用規尺三等分角的同志

“用规尺三等分任意角”這一個不成問題的問題,本通報已經登過啟事說明這是一個已經證明“不能”的問題,忠告一些同志不要浪費寶貴的精神企圖“能”了。啓事登了以后,“三等分角”的稿件還是源源而來,我們雖然對於每一稿都作了答覆,但認爲對這樣的問題彼此白費了許多精力和時間,殊不值得,就來稿的情况看:有些同志是不知道這個問題已經證明“不可能”了;也有人明知道了而偏不相信;還有人想了一方法,他自己認爲是對的,但是不會證,讓我們代他證;更有人對於他想的方法並沒有信心,認為是“十不離九”,萬一不對的話,也是近似的;等等。這樣,我們敢大胆地說一句話:這些同志還沒有徹底了解前人對於這個問題的證明,现在我們再一次奉勸企圖用規尺三等分任意角的同誌細讀前人的證明,這樣的證明,數學界公認為是對的已經多年了,如果還有人懷疑,就請先把它駁倒了再研求三等分法,幸勿先想方法,不管前人研究的成果,