广义二阶流体管内轴向流动

在流体的本构关系中引入分数阶导数运算，对于介于粘性与弹性之间的流体的描述更具有合理性。本文将这种关系引入二阶流体，研究其管内轴向流动。我们先求出了１／２阶导数的解析解，用以验证Ｌａｐｌａｃｅ数值反演的ＣＲＵＭＰ方法的有效性。然后用ＣＲＵＭＰ法分析二阶流体管内轴向流动的特征。分析表明粘弹性特征越明显的流体，其速度与应力对分数导数的阶数越具有敏感性。     

广义二阶流体涡流速度的衰减和温度扩散

将分数阶微积分运算引入到二阶流体的本构关系中,建立了带分数阶导数的广义二阶流体模型．研究了广义二阶流体涡流速度的衰减和温度扩散,利用分数阶导数的Laplace变换和广义Mittag-Leffler函数,得到了涡流速度场和温度场的精确解,分析了分数阶指数对涡流速度的衰减和温度扩散的影响．     

带非线性源项的Riesz回火分数阶扩散方程的预估校正方法

本文针对带非线性源项的Riesz回火分数阶扩散方程,利用预估校正方法离散时间偏导数,并用修正的二阶Lubich回火差分算子逼近Riesz空间回火的分数阶偏导数,构造出一类新的数值格式.给出了数值格式在一定条件下的稳定性与收敛性分析,且该格式的时间与空间收敛阶均为二阶.数值试验表明数值方法是有效的.     

变系数双侧空间回火分数阶对流-扩散方程的隐式中点法

针对带非线性源项的变系数双侧空间回火分数阶对流-扩散方程,采用隐式中点法离散一阶时间偏导数,中心差商公式离散对流项,用二阶回火加权移位差分算子逼近左、右Riemann-Liouville空间回火分数阶偏导数,构造了一类新的数值格式.证明了数值方法的稳定性和收敛性,且方法在时间和空间均为二阶收敛.数值试验验证了数值方法的理论分析结果.     

空间分数阶非Newton流体本构及圆管流动规律研究

对非Newton流体的本构及流动规律进行研究是分析、预测和控制非Newton流体在管道中流动的关键.实验表明非Newton流体在流动过程中具有历史记忆性,基于空间分数阶微积分方法,建立了分数阶非Newton流体本构模型;并推导了该模型在圆管中的流速分布、流量、平均流速、压降、平均Reynolds数等管道流动参数;提出了分数阶非Newton流体圆管流态判别准则.研究表明非Newton流体的圆管流层间的切应力可以通过流速的轴向分布大小来描述.对于不含屈服切应力的分数阶非Newton流体,分数阶的阶数越大,断面流速分布越均匀,记忆能力越强.分数阶的阶数大小反映了流体对全域空间的记忆性强弱;而对于含有屈服切应力的分数阶非Newton流体,分数阶的阶数越大,速梯区流速分布越均匀,流核区速度越小.分数阶的阶数大小反映了局部空间记忆性强弱.该研究为非Newton流体的记忆特征提供了一种新的建模方法.     

计算Riemann-Liouville分数阶积分和导数的数值算法

研究计算Riemann-Liouville (RL)分数阶积分和导数的数值算法.首先,分析了RL分数阶积分和导数的定义式,由于定义式中包含一个积分瑕点,使RL分数阶积分和导数难于计算.然后,给出了一种去掉积分瑕点的方法,在此基础上设计出计算RL分数阶积分和导数的数值算法,并证明了此数值算法具有一阶精度.最后,给出了计算实例,计算结果说明提出的算法是有效的.     

带非线性源项的双侧空间分数阶扩散方程的隐式中点方法

本文用隐式中点方法离散一阶时间偏导数,并用拟紧差分算子逼近Riemann-Liouville空间分数阶偏导数,构造了求解带非线性源项的空间分数阶扩散方程的数值格式.给出了数值方法的稳定性和收敛性分析.数值试验表明数值方法是有效的.     

加热下分数阶广义二阶流体的Rayleigh-Stokes问题的一种有效数值方法

考虑加热下分数阶广义二阶流体的Rayleigh-Stokes问题(RSP-HGSGF),提出了一种逼近有界区域内RSP-HGSGF的有效数值方法.并且讨论了所提出方法的稳定性和收敛性.最后,利用数值例子体现数值方法的有效性.     

一类带有黎曼边界条件的时间分数阶积分微分方程的紧差分格式（英文）

本文研究带黎曼边界条件的时间分数阶积分微分方程的数值方法.将L1离散公式逼近Caputo分数阶导数,加权带位移的Grünwald公式逼近Riemann-Liouville分数阶积分及其紧差分逼近空间二阶导数结合起来,建立一种求解该方程的差分格式并对其进行分析.尽管黎曼边界条件使得边界上的截断误差会比内部网格点的截断误差低一阶,本文仍严格证明格式是无条件稳定且全局收敛精度为O(τ^2-α+h⁴).最后,本文进行数值实验来验证理论结果.     

空间-时间分数阶对流扩散方程的数值解法

本文考虑一个空间-时间分数阶对流扩散方程.这个方程是将一般的对流扩散方程中的时间一阶导数用α(0＜α＜1)阶导数代替,空间二阶导数用β(1＜β＜2)阶导数代替.本文提出了一个隐式差分格式,验证了这个格式是无条件稳定的,并证明了它的收敛性,其收敛阶为O(ι h).最后给出了数值例子.     

非线性分数阶常微分方程的分段线性插值多项式方法

通过分段线性插值多项式方法构造了一类含有Hadamard有限部分积分的非线性常微分方程的数值离散格式.在时间方向上, 利用分段线性插值多项式方法对分数阶导数项进行近似, 并通过二阶向后差分格式来离散整数阶导数项.经过详细的证明, 得到了收敛精度为O(τmin{1+α,1+β})的误差估计结果.最后,通过数值算例和理论结果的对比直观地说明了理论分析的正确性.     

分数阶振子方程基于变分迭代的近似解析解序列

在粘弹性介质中的阻尼振动中引入分数阶微分算子,建立分数阶非线性振动方程.使用了分数阶变分迭代法（FVIM）,推导了Lagrange乘子的若干种形式.对线性分数阶阻尼方程,分别对齐次方程和正弦激励力的非齐次方程应用FVIM得到近似解析解序列.以含激励的Bagley-Torvik方程为例,给出不同分数阶次的位移变化曲线.研究了振子运动与方程中分数阶导数阶次的关系,这可由不同分数阶次下记忆性的强弱来解释.计算方法上,与常规的FVIM相比,引入小参数的改进变分迭代法能够大大扩展问题的收敛区段.最后,以一个含分数导数的Van der Pol方程为例说明了FVIM方法解决非线性分数阶微分问题的有效性和便利性.     

二阶非牛顿流体环管流动解析解

本文采用积分变换的方法,找到了一类非牛顿流体在环形管道中不定常流动的解析解,并进行了数值计算,详尽分析了非牛顿性系数和其他各参数对二阶流体不定常流动的影响.指出当二阶流体非牛顿系数相同时,环管流与一般管流相比达到稳定的特征时间较短,并且相应的速度分布、平均速度分布的数值均较小,在外半径相同时,环管流内壁的剪应力较之一般管流,其大小随内半径的大小而变,环管流的外壁剪应力总相应地小于内壁剪应力.     

非对称阻尼系统特征对一阶导数与二阶导数的计算

提出了一种计算非对称阻尼系统特征对一阶、二阶导数的方法.该方法利用阻尼系统的特征向量计算特征对的导数,避免了状态空间中特征向量的使用,节省了计算量,且不要求系统所有特征值的互异性.最后以两个非对称阻尼系统进行数值试验,数值结果表明提出的方法是有效的.     

二维分数阶发展型方程的正式的二阶BDF交替方向隐式紧致差分格式

该文将研究二维分数阶发展型方程的正式的二阶向后微分公式(BDF)的交替方向隐式(ADI)紧致差分格式.在时间方向上用二阶向后微分公式离散一阶时间导数,积分项用二阶卷积求积公式近似,在空间方向上用四阶精度的紧致差分离散二阶空间导数得到全离散紧致差分格式.基于与卷积求积相对应的实二次型的非负性,利用能量方法研究了差分格式的稳定性和收敛性,理论结果表明紧致差分格式的收敛阶为O(k~(a+1)+h_1~4+h_2~4),其中k为时间步长,h_1和h_2分别是空间x和y方向的步长.最后,数值算例验证了理论分析的正确性.     

分布阶扩散-波动方程的有限元解的误差估计

本文考虑了分布阶时间分数阶扩散波动方程,其中时间分数阶导数是在Caputo意义上定义的,其阶次$\alpha,\beta$分别属于（0,1）和（1,2）.文中提出了在计算上行之有效的数值方法来模拟分布阶时间分数阶扩散波动方程.在时间上,通过中点求积公式把分布阶项转换为多项的时间分数阶导数项,并且利用$L1$和$L2$公式来近似Caputo分数阶导数;空间上使用Galerkin有限元方法进行离散.给出了基于$H^1$范数的有限元解的稳定性和误差估计的详细证明,最后的数值算例结果说明了理论分析的正确性以及有效性.     

基于耦合纯无网格方法时间分数阶下孤立子波碰撞过程的数值模拟研究北大核心CSCD

为数值预测时间分数阶耦合非线性Schrödinger(TF-CNLS)方程描述的孤立子波非弹性碰撞过程,首次发展了一种耦合纯无网格有限点集法(coupled finite pointset method,CFPM).其构造过程为:1)对时间分数阶Caputo导数项采用一种高精度的差分格式;2)对空间导数采用基于Taylor展开和加权最小二乘法的有限粒子法(FPM)离散格式;3)对区域进行局部加密和采用稳定性好的双曲余弦核函数以提高数值精度.数值研究中,首先,运用CFPM对有解析解的一维TF-CNLS方程进行求解,分析了节点均匀分布或局部加密情况下的误差和收敛阶,表明给出的耦合无网格法具有近似二阶精度和易局部加密求解的灵活性;其次,运用CFPM对无解析解一维TF-CNLS方程描述的孤立子波非弹性碰撞过程进行了数值预测,其出现的波塌缩现象与整数阶下出现的多波现象截然不同;最后,与有限差分结果作对比,表明CFPM数值预测时间分数阶下孤立子波非弹性碰撞过程的复杂传播现象是可靠的.     

加热下分数阶广义二阶流体的Stokes第一问题的高阶数值方法

针对一类带Dirichlet边值条件和初值条件的加热下分数阶广义二阶流体的Stokes第一问题,提出了一种新的高阶隐式数值格式.应用Fourier分析方法和矩阵方法研究了该格式的稳定性、可解性及收敛性.也进一步给出一个时间误差阶更高的改进的隐式格式.最后通过两个数值算例验证了格式的理论分析是有效可靠的.     

联合Duffing方程和Van der Pol方程的非线性分数阶微分方程

本文研究了Adomian分解方法在非线性分数阶微分方程求解中的应用. 利用Riemann-Liouville分数阶导数和Adomian分解方法, 将Duffing方程和Van der Pol方程联合在一个分数阶方程中,并获得了此方程的解析近似解.     

单位圆内二阶线性微分方程的解与小函数的关系

讨论了系数是单位圆内解析函数的二阶齐次和非齐次线性微分方程的解及其一阶导数和二阶导数与小函数之间的关系,并得到了它们之间的精确估计.