膜自由振动的多辛方法

基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了膜自由振动问题,讨论了构造复合离散多辛格式的方法,并构造了一种典型的9×3点半隐式的多辛复合离散格式,该格式满足多辛守恒律、能量守恒律和动量守恒律．数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性．     

Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛Runge-Kutta方法

非线性波动方程作为一类重要的数学物理方程吸引着众多的研究者,基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了Landau-Ginzburg-Higgs方程的多辛算法,讨论了利用Runge-Kutta方法构造离散多辛格式的途径,并构造了一种典型的半隐式的多辛格式,该格式满足多辛守恒律、局部能量守恒律和局部动量守恒律.数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.     

高阶Schrodinger方程的哈密顿型蛙跳格式

[1]中系统地给出了典则Hamiltonian系统的辛差分格式的构造方法。[2]中给出方程x=f(x)的十字架格式,指出它是辛格式,并讨论其稳定性。[3]中给出波动方程两种哈密顿型蛙跳格式,并讨论其稳定性。 本文首先讨论Schrodinger方程iu_t=u_xx,构造了哈密顿型的蛙跳格式,并讨论其稳定性;进而指出它是辛格式,且可推广至非线性Schodinger方程;同时指出它具有瞬时平方守恒性质。最后,把上述结果推广至高阶Schrodinger方程iu_t=(-1)~m(~2mu)/(x~2m),给出其稳定性条件。     

长水波近似方程组的动力学行为和辛几何算法

长水波近似方程组作为一类重要的非线性方程有着许多广泛的应用前景,特别是在浅水非线性色散波的研究中具有重要意义.给出了长水波近似方程组的动力学行为,并基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了长水波近似方程组的数值解法,讨论了利用Preissmann方法构造离散多辛格式的途径,并构造了一种典型的半隐式的多辛格式,格式满足多辛守恒律.数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.     

解模守恒微分方程的显式平方守恒格式

对具有模守恒的微分方程,经典的显式Runge—Kutta方法和线性多步方法不能保微分方程的模守恒特性．我们利用李群算法和Cayley变换构造了高阶显式平方守恒格式,应用到模守恒的微分方程如Euler方程,Landau—Lifshitz方程,并且与相同阶的显式Runge—Kutta方法在保模守恒和精度方面进行了比较,数值结果表明用李群算法构造的新的显式平方守恒格式能保微分方程模守恒的特性且它和相应Runge—Kutta方法有相同的精度．     

变分与无限维系统的高精度辛格式

1.引 言 冯康和他的研究小组提出的生成函数法[1]系统地解决了象二体问题这样地有限维Hamil-ton系统辛算法的构造问题,该方法也可以自然地推广到无限维Hamilton系统[2].首先在空间方向进行离散,例如采用差分或谱离散,得到有限维Hamilton系统,然后再采用生成函数法离散该系统.这样得到的辛格式是整个一层的格式,对于研究格式的局部性质如多辛性质[3],局部能量守恒性质[5]就相当困难.     

辛变换与辛差分格式

由于数学方法在经典力学理论研究中的广泛应用,人们对于经典力学系统的内在性质的理解更加深刻,因而,在数值方法上力求模拟经典力学系统的内在守恒性质.经典力学系统的统一描述——Hamilton力学系统的数学理论体系,为探求经典力学系统的数值方法的对称与守恒奠定了坚实的基础.基于Hamilton力学系统的对称与守恒性质,[3]中提出了保持Hamilton能量守恒的差分格式,[4]中对一类Hamilton方程给出了     

具有Gilbert项的Landau-Lifshitz方程的显式平方守恒格式

构造了一种解具有Gilbert项的Landau-Lifshitz方程的显式平方守恒格式．基本思想是离散Landau-Lifshitz方程成常微分方程组,应用李群方法和显式Runge-Kutta方法解常微分方程组．数值试验比较了两方法的保平方守恒特性和精度,得出李群方法(RK-Cayley方法)比相应的Runge-Kutta(RK)方法有更好的精度和保平方守恒特性．     

二维非线性Schr(o)dinger方程的辛与多辛格式

对满足周期边界条件的二维非线性Schrödinger方程,运用中心差分对该方程进行空间离散, 得到一个有限维Hamilton系统,然后用隐式Euler中点格式进行时间离散得到其辛格式. 针对该方程的多辛形式, 运用有限体积法离散,得到一种直平行六面体上的中点型多辛格式. 用所构造的辛与多辛格式对二维非线性Schrödinger方程的平面波解和奇异解进行数值模拟,结果验证了所构 造格式的有效性. 最后, 根据计算结果,对两种格式进行了分析和比较.       

无限维Hamilton系统稳态解的保结构算法

基于Hamilton变分原理和Bridges意义下的多辛积分理论,提出了保持无穷维Hamilton系统稳态解能流通量和动量通量的保结构分析方法.针对复杂的无穷维Hamilton系统的多辛对称形式,首先讨论了其稳态解所满足的对称形式的守恒律问题;随后,以一个典型的无穷维Hamilton系统——Zufiria方程为例,采用box离散格式,模拟了其稳态解,并验证了算法的保结构性能.研究结果显示:采用保结构算法能够较好地模拟无穷维Hamilton系统的稳态解,并保持了无穷维Hamilton系统稳态解的能流通量和动量通量两个重要力学参量.这一研究结果将为复杂无穷维Hamilton系统稳态解的数值分析提供新的途径.     

广义Boussinesq方程的多辛方法

广义Boussinesq方程作为一类重要的非线性方程有着许多有趣的性质,基于Hamilton空间体系的多辛理论研究了广义Boussinesq方程的数值解法,构造了一种等价于多辛Box格式的新隐式多辛格式,该格式满足多辛守恒律、局部能量守恒律和局部动量守恒律．对广义Boussinesq方程孤子解的数值模拟结果表明,该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性．     

非线性薛定谔方程的平均向量场方法

利用平均向量场方法(AVF)对非线性薛定谔方程进行求解, 在理论上得到了一个保非线性薛定谔方程描述的系统能量守恒的AVF格式, 再分别用非线性薛定谔方程的AVF格式和辛格式数值模拟孤立波的演化行为, 并比较两个格式是否保系统能量守恒特性. 数值结果表明, AVF格式也能很好地模拟孤立波的演化行为,并且比辛格式更能保持系统的能量守恒.     

一类强色散DGH方程的多辛普雷斯曼格式

DGH方程作为一类重要的非线性水波方程有着许多广泛的应用前景.基于Hamilton系统的多辛理论研究了一类强色散DGH方程的数值解法,利用多辛普雷斯曼方法构造了一种典型的半隐式的多辛格式.分析了该格式的局部能量和动量守恒律误差,并给出了数值算例.数值算例结果表明该多辛离散格式具有较好的长时间数值稳定性.     

约束Hamilton系统的Lie对称性及其在场论中的应用

研究了约束Hamilton系统的Lie对称性,得到了场论系统的守恒量.首先给出约束Hamilton系统的正则运动方程和固有约束方程;其次构建了约束Hamilton 系统的Lie对称性确定方程和结构方程;然后给出了约束Hamilton系统的Lie守恒定理和守恒量;最后研究了复标量场与Chern-Simons项耦合系统的Lie对称性和另外一个例子以说明此方法在场论中的应用.     

二维线性哈密尔顿系统的有限元法及辛格式

利用连续有限元法得到了二维线性哈密尔顿系统一次元和二次元的计算格式，并证明了它们都是辛格式．系统的内在特征在离散后能保持．本的数值例子也证实了这些结论．     

Hamilton系统下基于相位误差的精细辛算法

Hamilton系统是一类重要的动力系统，辛算法（如生成函数法、SRK法、SPRK法、多步法等）是针对Hamilton系统所设计的具有保持相空间辛结构不变或保Hamilton函数不变的算法.但是，时域上，同阶的辛算法与Runge-Kutta法具有相同的数值精度，即辛算法在计算过程中也存在相位误差，导致时域上解的数值精度不高.经过长时间计算后，计算结果在时域上也会变得“面目全非”.为了提高辛算法在时域上解的精度，将精细算法引入到辛差分格式中，提出了基于相位误差的精细辛算法（HPD-symplectic method），这种算法满足辛格式的要求，因此在离散过程中具有保Hamilton系统辛结构的优良特性.同时，由于精细化时间步长，极大地减小了辛算法的相位误差，大幅度提高了时域上解的数值精度，几乎可以达到计算机的精度，误差为O（10-13）.对于高低混频系统和刚性系统，常规的辛算法很难在较大的步长下同时实现对高低频精确仿真，精细辛算法通过精细计算时间步长，在大步长情况下，没有额外增加计算量，实现了高低混频的精确仿真.数值结果验证了此方法的有效性和可靠性.     

约束Hamilton系统的积分因子和守恒量及其在场论中的应用

在约束Hamilton系统的研究中,场论系统一直是重要且难度大的一部分.近年来,场论系统已经成为一个热门的研究领域.论文基于积分因子方法给出了构造场论系统守恒量的一般性方法.首先,构造了约束Hamilton系统的广义Hamilton正则方程;其次,给出了场论系统积分因子的定义和守恒定理;然后,建立了场论系统的广义Killing方程,从而导出系统的积分因子和守恒量;最后,给出了几个场论中的例子以说明这种方法的可行性和有效性.显然,与Noether对称性理论和Lie对称性理论相比较,这种方法具有步骤清晰,计算简便,限制条件少等优点.     

Hamilton系统的连续有限元法

利用常微分方程的连续有限元法,对非线性Hamilton系统证明了连续一次、二次有限元法分别是2阶和3阶的拟辛格式,且保持能量守恒;连续有限元法是辛算法对线性Hamilton系统,且保持能量守恒．在数值计算上探讨了辛性质和能量守恒性,与已有的辛算法进行对比,结果与理论相吻合．     

双曲型守恒律方程的熵稳定格式的一些讨论

本文讨论双曲型守恒律方程的熵稳定格式.对于给定的熵对,格式所满足的熵条件中的数值熵通量是不唯一的.Tadmor的充分条件可以唯一地确定标量方程的熵守恒通量,但不能唯一确定方程组的熵守恒通量,却可以给出方程组的空间一阶精度的熵守恒格式.也讨论了在熵守恒通量上添加数值粘性得到的显式熵稳定格式需要满足的条件及常见的时间离散对熵守恒和熵稳定的影响.     

自治Birkhoff系统的广义正则变换和辛算法研究

研究了自治Birkhoff系统的广义正则变换,将Hamilton系统的辛算法推广到Birkhoff系统,通过引入凯莱变换和生成函数法构造Birkhoff方程的Birkhoff的辛差分格式,同时讨论了Birkhoff差分格式的辛算法.