Formes linéaires de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques

Dans ce papier, nous donnons des minorations de combinaisons linéaires à coefficients algébriques de logarithmes de points algébriques sur les groupes algébriques commutatifs: soitG un groupe algébrique commutatif connexe défini sur la clôture algébriqueQ de dans , et soitvT _G () un point de l'espace tangent dont l'image exp _G (v) par l'exponentielle deG appartient àG(Q). On cherche à minorer la distance du pointv aux hyperplansW deT _G (), rationnels surQ, qui ne passent pas parv. Cette minoration dépend, entre autres, d'un majorantB de la hauteur usuelle des coefficients d'une forme linéaire définissantW. LorsqueG est un groupe linéaire, il s'agit de minorer une combinaison linéaire de logarithmes de nombres algébriques, et la méthode de A. Baker permet d'obtenir une minoration

Construction et classification de certaines solutions algébriques des systèmes de Garnier

IsomonodromicdeformationsofFuchsianequationsoforder2onRiemann sphere are parameterized by the solutions of Garnier system. The purpose of this paper is to construct algebraic solutions exotic, i.e. corresponding to deformations of Fuchsian equation with Zariski dense monodromy. Specifically, we classify all the algebraic solutions (complete) exotic constructed by the method of pull-back of Doran-Kitaev: they are deduced from the data isomonodromic deformations pulling back a Fuchsian equation E given by a family of branched coverings ? _t . We first introduce the structures and associated orbifoldes underlying Fuchsian equation. This allows us to have are fined version of the Riemann Hurwitz formula that allows us quickly to show that E must be hypergeometric. Then we come to limit the degree of ? and exponents, and finally to Painlevé VI. We explicitly construct one of these solutions.     

Sur les intégrales algébriques de différentielles algébriques

Sans résumé Les résultats obtenus parM. Humbert ont déjà été trouvés parM. Weierstrass bien des années auparavant et communiqués par lui dans son, cours sur les fonctions abéliennes. Mais la méthode suivie par les deux savants est tout à fait différente. ChezM. Weierstrass les conditions pour qu'une intégrale de la forme ∫R(x,y)dx soit une fonction algébrique dex découlent, comme simple corollaire, du théorème sur la réduction de chaque intégrale de la forme considérée à une somme d'intégrales normales de la première, de la seconde et de la troisième espèce. Pour effectuer cette réduction il faut et il suffit de conna?tre: 1^o les coefficients des puissances négatives det aux environs de tous les points analytiques pour lesquels le développement deR(x _t,y_t)dx_t/dt contient en général des puissances négatives det; 2^o la valeur deR(x, y) pourp points analytiques réguliers (a ₁, b₁), …, (t_p, b_p) choisis arbitrairement. Le, théorème deM. Weierstrass est cité, quoique sans démonstration, dans la thèse inaugurale deM. Hettner (Berlin, 1877).     

Sur les réseaux de courbes et de surfaces algébriques

Sans résumé     

Points entiers et modèles des courbes algébriques

LetC: F(X, Y)=0 be an algebraic curve of genus 1, over a number fieldK. In this work we construct a modelG(Z,W)=0 of the curveC, over a fixed number fieldL with , having the following property: ifx, y are algebraic integers ofK withF(x, y)=0, thenz=Z(x, y), w=W(x, y) are algebraic integers ofL withG(z, w)=0. Also, the total degree and the height of the polynomialG are bounded. As an application of this result, we give a reduction of the problem to determine effectively the integer points on a curve of genus 2, over a number field, to the problem to determine effectively the integer solutions of an equation of degree 4, over a number field. Also we consider a family of curvesF(X, Y)=0, defined over a number fieldK, which are cyclic coverings ofP ¹ and we calculate, using our previous results, an explicit upper bound for the height of the integer points ofF(X, Y)=0 overK.

     

Problèmes de Skolem sur les champs algébriques

We extend Rumely's local-global principle (as refined by Cantor, Roquette, and the author, i.e. with local splitting conditions) to the case of algebraic stacks, in Artin's sense, over rings of (S-)integers of global fields. The nongeometrically connected case is also taken into account, as well as (in some instances) the case where local conditions are imposed at all places.     

Un problème inverse pour la réduction des groupes algébriques commutatifs

We study a problem of constructing an algebraic torus (an Abelian variety) over a p-adic field whose Néron model would have a given connected commutative unipotent group as the identity component of its special fibre.     

Premiers chiffres significatifs et nombres algébriques

I show that there is a meromorphic continuation of σ_{logβn/a<logβa}n^−s to the whole plane if and only if β is a Pisot number, α ε Q(β), and either the second largest conjugate of β is real or the conjugate of α corresponding to the second largest conjugate of β is positive.     

Sur les critères d'équivalence en géométrie algébrique

Sans résumé     

Sur le polygone de Newton et les courbes algébriques planes

Sans résumé     

Pavages auto-affines, opérateurs de transfert et critères de réseau dans ℝ d

Resumé Nous applíquons les résultats de [2] à la construction d'analyses multirésolutions et en particulier à l'étude de pavages auto-affines de ^d . Nous montrons qu'une tuile auto-affine, construite à partir d'une matrice dilatante à coefficients entiers, permet de paver ^d par translation par les éléments d'un réseau.

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We applied results from [2] to multiresolution analysis and to lattice tilings of ^d with self-affine tiles.

     

Un théorème de Harris et Segal pour un anneau d'entiers algébriques exceptionnel

Let K be a number field, O_K the ring of the integers of K, ℓ a prime integer and Z_(ℓ) the localisation of Z at ℓ. Harris and Segal [4] proved that there exists infinitely many primes p of O_K such that the natural morphism K_i(O_K) ⊗ Z_(ℓ) → K_i(O_K /p) ⊗ Z_(ℓ) in algebraic K-theory is split surjective for i > 0, except if ℓ = 1 and K is exceptional. In this Note, we prove that the Harris-Segal theorem is still true for ℓ = 2 in the exceptional case, if we replace algebraic K-theory by orthogonal K-theory defined by Karoubi [5]. Thanks to [3], we can then determine a direct summand of the 2-torsion of KO_n(O_K).     

Courbes algébriques et équations multiplicatives

We study the intersection of an algebraic curve C lying in a multiplicative torus over with the union of all algebraic subgroups of codimension 2. Finiteness of this set has already been proved by Bombieri, Masser and Zannier under the assumption that C is not contained in a translate of a proper subtorus. Following this result, the question of the minimal hypothesis implying finiteness has been raised by these authors, giving rise to the conjecture~: finiteness holds precisely when C is not contained in a proper subgroup. We prove here this statement which is also a special case of more general conjectures stated independently by Zilber and Pink. Our proof takes its inspiration from an article by Rémond and Viada concerning the Zilber-Pink conjecture for curves lying in a power of an elliptic curve. Hence, it relies on a uniform version of the Vojta inequality proven via the generalized Vojta inequality of Rémond. The main task is to establish a lower bound for some intersection numbers, here on a whole family of surfaces obtained by blowing up a compactification of C ×  C.     

Théorème de Gabrielov et fonctions log-exp-algébriques

We give a new proof of Wilkie 's theorem on log-exp algebraic functions. The tools used here are “explicit” Gabrielov's theorem and our geometric presentation of the theorem of van den Dries, Macintyre, and Marker on log-exp analytic functions.