从“全等三角形”中学习逻辑思维

利用全等三角形说明两个角相等或两条线段相等是常用的手段之一 ,因此 ,掌握全等三角形的识别方法是重要的知识与技能 .部分初学者在学习这部分内容时感到困难———当题中图形较为复杂时 ,有时找不对两个全等三角形的对应元素 ;有时对命题的证明思路不清或知道意思却逻辑表达欠佳 .针对这些问题 ,结合本人的教学实践 ,谈谈在“全等三角形”的学习中 ,怎样帮助学生提高逻辑思维能力 ,并通过例子说明“综合法”与“分析法”在解题中的应用 ,供大家参考 .一、导学知识1.要准确找出全等三角形的对应元素针对两个三角形不同位置关系 ,总结出寻找…     

例谈正确选择全等三角形的判定方法

在平面几何中,证明线段相等,角相等,两条直线平行或两条直线垂直等问题,常常可以通过证明三角形全等来解决,判定三角形全等的方法共有五种:即SAS、ASA、AAS、SSS以及只适用于直角三角形的HL.在实际问题的解决过程中,如何根据需要选择合适的判定方法,这是学生普遍感到困惑的地方,下面介绍几种思路,以期对同学们学习这部分知识有所帮助.     

如何证明线段相等

在平面几何中 ,证明两条线段相等是一种最常见的题型 .常用的证明方法有 :利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形 (如平行四边形、等腰梯形等 )的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等 .本文仅谈谈如何利用三角形全等和等角对等边证明线段相等的问题 ,供参考 .(一 )利用三角形全等利用三角形全等是证明两条线段相等最常用的手段 .当要证明两条线段相等时 ,可以证明它们所在的三角形全等 .证明三角形全等最主要的方法有SAS、ASA、SSS以及HL .例 1　如图 ,已知AC⊥BD于C ,AC =BC ,BE⊥AD于E ,BE交AC于F …     

全等三角形的证明

全等三角形的性质是证明角或线段相等的重要依据.是初中几何的奠基石.因此掌握全等三角形的证明是学好平面几何的关键,是进一步学好后续知识的基础. 那么,怎样证明两个三角形全等呢?本文以近年中考试题为例谈几点看法,以期提高大家的证题能力.     

探究三角形主要线段与三角形全等

<正>同学们知道判定两个三角形全等需要三个条件,并有SSS,SAS,ASA,AAS,HL等判定方法,这些都是从三角形边角的角度判定的.同学们还知道,全等三角形对应中线、对应角平分线、对应高线分别相等.那么,反过来,从三角形边角和主要线段(中线、角平分线、高线)中取三个条件,能判定两个三角形全等吗?我们按照下面的思路探究,先固定三角形中边角的两个条件,再添加一个关于三角形主要线段的条件.     

初三《几何》“习题7.2”教学启示

初三《几何》课本“习题 7.2”Ａ组中第 3 ,4 ,1 7题和Ｂ组第 3题 ,它们有一个共同点都是求证两条线段相等 .证明两条线段相等是初中几何经常出现的题型 .笔者在教学过程中 ,通过帮助学生分析已知条件、探求证明途径后 ,经过自己归纳、总结 ,得出初中几何证明两条线段相等经常使用的三种方法 ,供大家参考 .一、需证明的两条线段在同一个三角形中 ,通常利用“等角对等边”得到 .例如 :如图 ,ＢＣ为⊙Ｏ的直径 ,ＡＤ⊥ＢＣ ,垂足为Ｄ ,ＡＢ =ＡＦ ,ＢＦ和ＡＤ交于Ｅ .求证 :ＡＥ =ＢＥ .从图形上看 ,线段ＡＥ和ＢＥ ,它们既不在同一个三角形中…     

球面三角形中两个结论的另证

在高中数学选修课程《球面上的几何》第五讲——球面三角形的全等中,判定两个球面三角形全等的角边角(a,s,a)判定定理如下:如果两个球面三角形的两对角对应相等,且它们的夹边也相等,那么这两个球面三角形全等.     

三角形全等的综合应用(二)

掌握了用三角形全等证明线段相等和角相等的知识以及添线构造全等三角形的基本方法后,我们将限于利用“全等三角形”、“等腰三角形”的有关定理,综合解证一些问题, 从中可以锻炼综合分析推理的能力.     

利用定义巧添辅助线解几何题

为了证明的需要 ,在原来的图形上添画的线叫做辅助线 ,添辅助线是解决几何问题不可缺少的重要手段 .而利用定义巧添辅助线就是当几何问题中的条件或结论中出现直接和某一基本概念有关的性质 (如线段或角的和差倍分问题等 )时 ,就可以根据这些要领的定义添加辅助线 下面举例说明 1 要证明一条线段等于两条线段的和 ,可根据线段和的定义将这两条线段接起来 ,然后证明所得的线段和长的线段相等 ;也可以在长的线段上截取一条线段和短的两条线段中的一条相等 ,证明留下来的部分和另一条线段相等 (角的和差问题类似 ) 例 1　如图 1 .已知P是…     

全等的应用——与线段和相关的问题的证明

<正>在学习全等三角形时,同学们很熟悉全等三角形的对应边、对应角相等.一般情况下,在解决线段相等和角相等问题时,通常会很自然地想到运用全等的性质来解决.但是,在涉及线段的和差等结论时,有的同学就觉得有些困难,不知从哪里着手分析了.此类问题我们究竟该从哪里着手呢?能用全等三角形的性质吗?下面我们通过几个例题来感受并体会一下解决此类问题的方法.     

两个三角形有相等外接圆的定理及其应用

众所周知,好些在同圆中具有的性质在等圆中也具有,由此使我们想到寻找两个三角形有相等外接圆定理。对此有: 定理:两个三角形如果有一条边对应相等,并且对应相等的边所对的角也相等(或互补),则这两个三角形的外接圆相等。其证明,显然由正弦定理立即可以得出。适然也可分两种情况(相等、互补)依平几知识证得(证明略)。应用这个定理,我们可以解决平几中某些较费解的问题。例1.已知:在ABC中AD、BE、CF是高,H是三条高的交点。求证:△ABC、△ABH、△BCH、△CAH的外接圆相等。证明:△ABC、△ABH     

从证明线段相等谈个性教育的研究性学习

培养学生个性的教育 ,是造就各方面人才的长远之计 .每个学生都有自己的个性 ,个性教育的根本目的是使学生的个性得到全面而充分的健康发展 .每个学生生来都具有追求成功 ,避免失败的心理倾向 .因此 ,在数学教学中 ,如何创设个性教育的条件 ,把个性教育与数学教学有机地结合起来 ,是深化素质教育的重要措施 .为此 ,现以初中证明线段相等的一堂课谈谈我们对这一问题的探究与做法 .大家知道 ,证明线段的相等 ,除用平行四边形对角线互相平分 ,等腰三角形两腰相等等定理外 ,用得最多的还是全等三角形的对应边相等 .但线段的相等有时变形为某一线…     

探讨凸四边形全等的条件

能够完全重合的两个图形叫做全等形.我们已经知道两个三角形全等的条件为:①三条边对应相等,简记为SSS;②两角和它们的夹边对应相等,简记为ASA;③两个角和其中一角的对边对应相等,简记为AAS;④两边和两边的夹角对应相等,简记为SAS.进一步,我们自然会想,有没有判定两个凸四边形全等的条件呢?已知凸四边形ABCD和凸四边形A′B′C′D′,如图1,问在什么条件下两个四边形全等.     

五个元素相等的非全等三角形——答一些初中学生所问

在讲授“全等三角形”一节时,有几位同学提出了这样一个有趣的问题:“一个三角形有六个元素;三条边和三个角,是否有这样两个非全等三角形,第一个三角形的五个元素与第二个三角形的五个元素分别相等”呢? 虽然这是一个比较简单的问题,但饶有意     

关于两角相等问题的证明

在几何中 ,证明两角相等是我们经常遇见的问题之一 ,它所涉及的知识内容十分广泛 ,是平面几何中一项重要的基本技能 ,因而成为中考的一个热点问题 .解决此类问题的依据很多 ,本文拟给予归类说明 ,供读者参考 ,愿能对读者有所启迪 .一、利用三角形中“等边对等角”来证 .当所要证相等的两个角是一三角形中的角时 ,我们优先考虑的是能否利用“等边对等角”来证 .例 1　已知 :如图 1 ,在四边形ABCD中 ,AD =BC ,P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 .求证 :∠PMN =∠PNM .分析 :欲证∠PMN =∠PNM ,观察图形 ,可以发现∠PMN和∠PNM都是△PMN的内角 ,因此 ,只要证出它们所对的边相等 ,即PN =PM ,然后利用“在同一三角形中 ,等边对等角”即可推出结论 .证明 :∵P ,M ,N分别为AB ,AC ,BD的中点 ,∴PN =12 AD ,　PM =12 BC .又∵AD =BC ,∴PN =PM .∴∠PMN =∠PNM .二、利用“全等三角形的对应角相等” ,或“相似三角形的对应角相等”来证 .当所要证相等的两个角分别是两个三角形的内角时 ,我们首先考虑的是能否...     

用“四点共圆”解题几例

<正>"在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等",这条重要的定理为我们提供了证明线段相等或角相等的一种思路和方法.鉴于此,对于满足四点共圆条件的四边形,如果我们能构造出它的辅助圆,就可以利用前面提到的思路和方法,证明线段相等或角相等.四点共圆判定定理1如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.     

活添辅助线巧解几何题

在几何证明或解题中,一时想不出办法,何不加几条辅助线,让它来“辅助”你分析解题呢?使用辅助线将会使复杂问题变的简单,思路变得顺畅平坦.现举一例,与同学们共赏. 题目如图1,已知正△ABC,延长BC到D,延长BA到E,使AE=BD,连结CE、DE,求证:EC=ED. 总体分析证线段相等的方法有很多,如可以利用等角对等边、全等三角形对应边相等,利用角平分线性质定理、中垂线性质定理等. 具体分析从本题已知条件来看,试图去证     

探寻角含半角问题的类型及求解路径

新课标指出,数学教学应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想.“角含半角模型”是指过等腰三角形的顶点引两条射线,使这两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半的模型,解决的一般思路为:将半角两边的其中一个三角形通过旋转与其他图形拼到一起形成新的三角形,然后证明新三角形与半角形成的三角形全等,最后利用全等三角形的性质得到线段之间的数量关系,从而解决问题.     

利用面积证明三角形全等

<正>我们知道利用三角形的三对边、角相等可证明三角形全等.除此之外,能否把边、角相等条件的其中之一换成面积相等呢?我们一起来探讨一下.首先把三对边、角相等的条件减少为两对,分别可能是两边、两角或者一边一角.1两个三角形两边相等+面积相等如图1所示,△ABC和△DEF中,AB=DE,     

例谈证明线段相等的常用方法

在平面几何中,证明两条线段相等是一种最常见的题型.常用的证明方法有:利用三角形全等、利用等角对等边、利用特殊四边形(如平行四边形、等腰梯形等)的有关性质、利用平行线等分线段定理、利用比例线段等等.现将