二次曲线的一种化简方法

二次曲线化简通常采用转轴劝移轴的方法。本刊1980年第4期[1]介绍了抛物型二次曲线的一种化简方法,但对椭圆型、双曲型二次曲线并未论及。本文拟给出二次曲线化简的另一种简捷方法,其实质为待     

二次曲线方程的一种化简方法

在解析几何里利用坐标轴的旋转和平移来化简二次曲线方程是一种基本的方法.下面我们来介绍一种化简二次曲线方程的方法,这种方法十分简便.只根据四条简单的引理就能解决问题,我们先介绍这四条引理.     

抛物型二次曲线的一种化简方法

一般二次曲线的化简可用先旋转后平移的方法,若应用不变量,虽可简捷地得出标准方程,但不能给出变换公式;而且对于退化抛物线须用不变量和半不变量的配合,才能得出标准方程,何况半不变量K_1=I_1a_(33)-a_(13)~2-a_(23)~2不易记忆,所以不够理想。     

二面角的平面角的一种作法

求二面角的大小是立体几何的重点和难点,也是多年来高考的热点之一．由三垂线定理作出二面角的平面角便是这一热点的中心;而对一些求二面角的复杂问题,学生往往不知所措;笔者根据多年的教学实践,提炼出一种由三垂线定理作二面角的平面角的简易方法——γ垂面法,收到较好效果．现简述如下： 如图１,记面ＭＡＢ为ａ,面ＣＡＢ为β,面ＭＡＣ为γ已知γ⊥β要作二面角 α－ＡＢ－β的平面角,只需过Ｍ点作ＭＮ⊥ＡＣ,Ｎ为垂足．则ＭＮ⊥β,再过Ｎ点作 ＮＯ⊥ＡＢ,Ｏ为垂足,由三垂线定理知：ＭＯ⊥ＡＢ,则ＭＯＮ即为所作的平面角． …     

二次曲面图形的一种新作法

根据二次曲面方程的特征根与其图形主轴之间的关系可化简二次曲面的一般方程为标准方程。从而作出曲面的图形。     

一种较优的正五边形近似作法

全国通用教材初中几何第二册第93页上有一个习题(28)介绍民间一种正五边形的近似画法,使用口诀“九五顶五九、八五分两边”。我们通过和木工师付的讨论,提出另一种更为精确的近似作法。因为木工一般不用圆规,主要用曲尺来划线,(曲尺是有刻度的直角尺)。那么如何使用一把曲尺可以较快地画一个比较精确的正五边形呢?我们认为下面的作法也可以介绍给学生,以培养学生学习的兴趣。     

圆锥曲线切线的一种几何作法

<正>在平面几何学习的过程中,往往可以将圆中的一些典型问题推广到椭圆,进而再类比到双曲线和抛物线,充分体现了这些圆锥曲线的内在联系和统一性质.题目(2015年全国高考新课标卷第22题(1))如图1,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线.由圆的几何性质不难证明直线DE与圆O相切于点E,再回首,发现此题蕴含着圆上任一点处的切线的一种作法,     

一种新的二次曲线系方程及其应用

确定一个二次曲线：Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０一般需五个独立条件,因此,经过四点的二次曲线一般情况下有无数条,它们组成一个二次曲线系;本文以定理形式介绍一种新的二次曲线系,并举例说明其应用,并以此引伸出一种新的解题方法;１．定理的证明定理　若直线ＡＢ的方程为Ｆ１（ｘ,ｙ）＝０;直线ＢＣ的方程为Ｆ２（ｘ,ｙ）＝０;直线ＣＤ的方程为Ｆ３（ｘ,ｙ）＝０;直线ＤＡ的方程为Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０;则方程Ｆ１（ｘ,ｙ）·Ｆ３（ｘ,ｙ）＋λＦ２（ｘ,ｙ）·Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０表示过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的…     

正17边形一种作法的证明

<数论妙趣>[1]第17章"等分圆周"的一开始的叙述,很引人入胜:     

二次曲线的弦的中点轨迹的一种求法

求二次曲线的弦的中点轨迹是中学解析几何中的一个难点,它包括求(一)平行弦的中点轨迹;(二)过二次曲线内(或外,或上)的一个定点(包括焦点)的直线截二次曲线所得弦的中点轨迹;(三)弦长为定值的动弦的中点轨迹。其中焦点弦的中点轨迹利用二次曲线的极坐标方程求解最为简便,其他类型的轨迹用直线的标准参数方程求解较为简便。     

直线与二次曲线相交弦长的一种求法

直线与二次曲线相交所得的弦,可把它简称为相交弦。解析几何中常常碰到计算相交弦长的问题,可以不必先求出交点,再计算两点间的距离,而利用韦达定理直接导出一个计算相交弦长的公式,用起来较为方便。     

二次曲线

二次曲线在解析几何中占有突出的地位,在研究有关问题时,计算和动态分析是大家面临的两大挑战与冲击,以至有些同学望而却步,如何有效地化解这方面的困难?当然不能指望一种“灵丹妙药”,使我们处处逢“凶”化“吉”,但也应该看到,其间确有一定章程可循,数形结合正是一柄解决问题的利剑。例1:设M是椭圈x~2/a~2 y~2/b~2=1上任意一点,f_1、f_2 是这椭圆的两个焦点,∠F_1MF_2=0,求sin0的最大值。解1 如图1,有关量与椭圆定义密切相关,考察利用椭圆定义,设∠MF_1F_2=a,∠MF_2=F_1=β根据正     

“二次曲线”一章的教学体会

在新编高中课本第二册,二次曲线一章的教学中,我有如下的体会:教材先介绍椭圆定义,“动点到两定点的距离之和等于定值的点轨迹叫椭圆”.然后据此定义导出标准方程,后来安排一个例题:(即现行教材中的例4)点M(x,y)到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=a~2/c的距离的比是常数c/a(a>c>0),     

二次曲线的切线两种定义的等价性

众所周知,若直线与椭圆仅有一个交点,则称此直线为椭圆的切线,但这一定义对一般曲线来说可能不成立,即若直线与曲线仅有一个交点,此直线与曲线未必相切,因而平面曲线与直线相切的定义应为:设有曲线C及C上一点M,在C上任取一个异于M的点N,作割线MN,当点N沿曲线C趋向点M时,如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.然而当曲线C为平面二次曲线时我们可以断言这种定义在去掉某些特殊情况时(即直线的方向为二次曲线的非渐近方向且M(x0,y0)不是C的奇点)是等价的.本文将对此结论作出证明.首先考虑直线与二次…     

不可及点的三种作法

我们先来看一个问题 :图 1如图 1,ａ、ｂ是已修好的两条铁路 ,铁路的前方是尚未开辟的小山丘 .现要经过工厂Ｐ增筑一条铁路 .使在山丘开辟后 ,能与ａ、ｂ两铁路相会于一点 .请你确定这条铁路的位置 .这个问题看起来有点玄 .其实是要过Ｐ作一条直线 ,使它经过已知直线ａ、ｂ的交点Ｑ .由于Ｑ点现在不能作出 ,用尺规也接触不到 ,我们称Ｑ点为不可及点 .但我们可用三种方法作出这不可及点Ｑ ,以解决上面的问题 .图 2作法 1　利用三角形三条高相交于一点的性质 ,即过Ｐ作ａ的垂线 ,和ａ、ｂ分别交于Ｄ、Ｂ .同样 ,过Ｐ作直线ｂ的垂线 ,和ａ、ｂ…     

二次曲线的对称性

1引言 通过高中必修《平面解析几何》专题的学习,椭圆、拋物线、双曲线等圆锥曲线的图形具有对称性（中心对称或轴对称）.代数上,这些曲线都可以用坐标的二次方程来表示.在此基础上笔者考虑了更一般的问题：二次曲线是否也具有类似的对称性呢？在介绍了相关定义的基础上,本文给出了二次曲线中心对称和轴对称的充要条件.     

二次曲线问题

二次曲线是解析几何的主要内容,二次曲线问题在数学竞赛中十分常见.特别是在近几年的高中数学联赛中,除了小题外几乎每年都有一个大题,尽管问题并不很复杂,亦十分传统,但却相当综合,要用到的知识和方法很广,需要我们灵活应用所学的基础知识和基本技能.例1　(1998年第九届希望杯数学邀请赛试题)Ｐ是抛物线ｙ=ｘ2上的任意一点,则当Ｐ和直线ｘ ｙ 2=0上的点的距离最小时,Ｐ与该抛物线准线的距离是(　　)(Ａ)19.　(Ｂ)12.　(Ｃ)1.　(Ｄ)2.解　设Ｐ点的坐标是(ｘ,ｘ2),则Ｐ到直线ｘ ｙ 2=0的距离ｄ=|ｘ ｘ2 2|2=22[(ｘ 12)2 74]≥728.∴当ｘ=-12…     

四种Fermat点及其作法

1　 0型Ｆｅｒｍａｔ点　定义 1　在空间里 ,若点Ｐ0 到已知的三点Ａ ,Ｂ ,Ｃ的距离之和最小 (此时必有Ｐ0 ,Ａ ,Ｂ ,Ｃ共面 ) ,则点Ｐ0 叫做Ａ ,Ｂ ,Ｃ的 0型Ｆｅｒｍａｔ点 .点Ｐ0 就是我们熟知的Ｆｅｒｍａｔ点 .读者可从文 [1]得出点Ｐ0 的作法 .2　 1型Ｆｅｒｍａｔ点及其作法定义 2　在空间里 ,若点Ｐ1 到已知的两点Ａ ,Ｂ及直线ｃ(Ａ ,Ｂ ,ｃ共面 )的距离之和最小 (此时必有Ｐ1 ,Ａ ,Ｂ ,ｃ共面 ) ,则点Ｐ1叫做Ａ ,Ｂ ,ｃ的 1型Ｆｅｒｍａｔ点 .图 1　情形 1图关于点Ｐ1 的作法 ,这里只给出Ａ ,Ｂ在ｃ的同侧的情形 (读者不难得到其余…     

二次曲线的极坐标方程与标准直角坐标方程互化的一种简单方法

在十年制统编教材高中第二册中,我们知道二次曲线统一的极坐标方程是:ρ=ep/(1-ecosθ)(1)其中p是焦点是准线的距离,即焦距。e是二次曲线的离心率,当e<1时,曲线为椭圆,当e>1时,曲线为双曲线;当e=1时,曲线为抛物线。把二次曲线的极坐标方程(1)化成标准直角坐标方的程一般方法是: 由(1)得:ρ-eρcosθ=ep,ρ=ex+ep ∴ρ~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2, ∴x~2+y~2=e~2x~2+2e~2px+e~2p~2 ∴(1-e~2)x~2+y~2-2e~2px-e~2p~2=0 (2) (1)当e=1时,方程(2)变成;