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若ai∈R,bi∈R+(i=1,2,…,n),由柯西不等式得ni=1a2ibini=1bi≥ni=1aibi·bi2=(ni=1ai)2.所以ni=1a2ibi≥(ni=1ai)2ni=1bi①当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时... 相似文献
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一些不等式的共同解法 总被引:1,自引:0,他引:1
一些不等式的共同解法徐鸿迟(江苏泰州中学225300)ai∈R,bi∈R+(i=1,2,…,n),由柯西(Cauchy)不等式很容易得到ni=1a2ibi(ni=1ai)2ni=1bi(1)当且仅当bi=kai(k为常数,i=1,2,…,n)... 相似文献
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一组互相关联的不等式命题 总被引:4,自引:2,他引:2
大家知道,由n元均值不等式可方便地得到如下一个不等式:设ai∈R+(i=1,2,…,n,n≥2),则∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2;(1)不等式(1)相当有用,对它作适当代换,可引出一组互相关联的不等式命题;首先,对(1)作代换(S-a1,S-a2,…,S-an)→(a1,a2,…,an),其中S=∑ni=1ai,得命题1 设ai∈R+(i=1,2,…,n,n≥2),∑ni=1ai=S,则∑ni=11S-ai≥n2(n-1)S ;(2)证明 由(1),∑ni=1(S-ai)∑ni=11S-… 相似文献
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文[1]采取配置常数的方法解决了两类多元函数的最值问题,本文将对其类型二的通解进行简化和简证,并对这两类问题进行一些推广,先引述原文中的问题及结果如下:类型一 设∑ni=1aixmii=d,求f=∑ni=1bix-mii的最小值(其中ai,bi和d为正的常数,mi为自然数,xi∈R+).结论是minf=1d[∑ni=1(aibi)1/2]2①类型二 设∑ni=1aix2mii=d,求g=∑ni=1bixmii的最大值(其中ai,bi和d为正常数,mi为自然数).结论是maxg=12(b1l1a1… 相似文献
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一个代数不等式的修正 总被引:1,自引:0,他引:1
刊文[1]引用的Popoviciu不等式:设xi,yi≥0,且xp1-∑ni=2xpi>0和yp1-∑ni=2ypi>0(i=1,2,…,n).则对于p≥1,有(xp1-∑ni=2xpi)(yp1-∑ni=2ypi)≤(x1y1-∑ni=2xiyi)... 相似文献
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柯西不等式 :设ai,bi ∈R ,i=1 ,2 ,… ,n .则∑ni=1a2 i ∑ni=1b2 i ≥ ∑ni=1aibi2 (1 )证明 记A =∑ni=1a2 i,B =∑ni=1b2 i,C =∑ni=1aibi.ABC2 1 =∑ni=1a2 iBC2 ∑ni=1b2 iB=∑ni =1a2 iBC2 b2 iB≥ ∑ni =12 ·aibiC =2 .所以 ABC2 1 ≥ 2 ,即AB≥C2 .因此不等式 (1 )成立 .柯西不等式的一个简证@张延卫$江苏宿迁市教委!223800… 相似文献
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《数学通报》上《从一道习题的创新谈创造性思维规律》一文,第3《问题的再创造》中,对新问题16再创造的结论有错误.文中的新问题16是:设ai∈R+,λi∈R+(i=1,2,…,n),则∑ni=1λiaαi∑ni=1aiα∑ni=11λi1α-1-(α... 相似文献
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文[1]将Popoviciu不等式修正为:“设xi,yi≥0(i=1,2,…,n),且xp1-∑ni=2xpi>0和yp1-∑ni=2ypi>0,其中0<p≤2,则(xp1-∑ni=2xpi)(yp1-∑ni=2ypi)≤(x1y1-∑ni=2xiyi)p①当且仅当p=2且x1y1=x2y2=…=xnyn时,①式取等号”.这里,应加上“当0<p≤2,x2=x3=…=xn=y2=y3=…=yn=0时,①也取等号”才完整.本文我们将不等式①进一步推广为:定理 设xij>0(i=1,2,…,m,j=1… 相似文献
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一个代数不等式及其应用王福楠(江苏省昆山震川高级中学215300)本文将利用算术———几何平均值不等式,导出一个形式简洁、内涵深刻的代数不等式.定理设m,n∈N,mi=1ai1,mi=1bi1,ai0,bi>0(i=1,2,…,m,m2)... 相似文献
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一个猜想的证明 总被引:8,自引:3,他引:5
文[1 ]利用均值不等式对一类最小值问题进行了研究 ,但限于所推导的不等式 ,未能完全解决这一类问题 ,文末提出了如下猜想 :(以下简记∑ni =1为∑)设ai,bi,∈R+,i=1 ,2 ,… ,n .α >0 ,则有 :∑ biα+1aiα ≥(∑bi) α+1(∑ai) α ,当且仅当 aibi =∑ai∑bi时等号成立 .本文利用凸函数定理证明了上述猜想 ,从而使这一类最小值问题得到了比较圆满的解决 .证明 首先介绍凸函数定理 [2 ]:设函数f(x)在区间I为下凸函数 ,λi∈R+,且 ∑λi=1 ,则对任意xi ∈I,有 :f(∑λixi) ≤ ∑λif(xi)现取f(x… 相似文献
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一道分式不等式的进一步改进及简证 总被引:1,自引:1,他引:0
文[1]、[2]、[3]分别对下面的不等式进行了证明和改进.本文将作进一步的改进,并给出一个相当简洁的证明.设xi∈(0,1),i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=a,∑ni=1x2i=b,求证:∑ni=1x3i1-xi≥a2+ab-nbn-a.改... 相似文献
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一个代数不等式与几类三角函数的最值马统一(白银市甘肃省煤炭工业技校730919)本文给出与文[1]定理对偶的一个代数不等式,并由此便可求得另四类三角函数的最值.定理设ai,bi∈R+,且ai>bi(i=1,2,…,n),则有(an1-bn1)(an2... 相似文献
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权方和不等式及其应用谭登林(贵州平塘县民族中学558300)设ai,bi>0(i=1,2,…,n),mN,则等号当且仅当时成立.不等式(*)称为权方和不等式,这个不等式对称、和谐,充分体现了数学美.本文拟通过换元并利用均值不等式对它作出一个简洁的证明... 相似文献
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一类分式不等式的证法——柯西均值法 总被引:3,自引:3,他引:0
一类分式不等式的证法—柯西均值法陶兴模(重庆市铜梁中学632560)众所周知,柯西不等式(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)(a1b1+a2b2+…+anbn)2(ai∈R,bi∈R,ai=kbi时取等号,i=1,2,3,…... 相似文献
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一类分式不等式的新证法 总被引:1,自引:0,他引:1
一类分式不等式的新证法郭慧清(广东深圳市深圳中学518025)设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则有(a21+a22+…+a2n)(b21+b22+…+b2n)(a1b1+a2b2+…+anbn)2这是众所周知的柯西不等式,若令ai=xiyi... 相似文献
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关于《一个不等式的推广》杨正义(四川省资中师范641200)数学通报1993年第9期胡道煊老师著文给出了不等式的推广:若ai,bi∈R+,i=1,2,…,n,则事实上,这个推广不成立.如取a1=1,2=2,a3=3,b1=2,b2=3,b3=4,m=... 相似文献