从一个无理不等式的多种巧证谈起

数学报刊上介绍“一题多解”的文章不乏其例。本文涉及的一个无理不等式的几种巧证,没有沿袭有理化法证明无理不等式的固有模式(包括三角变换法化去根号的方法),旨在从开发发散性思维的角度,注重说明广泛而合理的联想对于拓宽解题思路、寻求最佳途径所起的作用。例已知f(x)=(1 x~2)~(1/2),a、b为相异实数,试证 |f(a)-f(b)|<|a-b|。证法1 欲证|f(a)-f(b)|<|a-b|,只须证|(f(a)-f(b))/(a-b)|<1。坐标平面上点A(a,f(a))与点B(b,f(b))决定的直线的斜率k_(AB)正是(f(a)-f(b))/(a-b),这样,原命题等价于证明|k_(AB)|<1,即是证明直线AB的倾斜角α小于45°或者大于135°。注意到f(x)=(1 x~2)~(1/2)的图象是双曲线y~2-x~2=1的上支,其渐近线     

“|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|”的补注及应用

“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1　定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab …     

|a-b|≥||a|-|b||的几何意义

若·,。。*,贝。}一。.、{}一}。.},它是有广泛应用的不等式,下面给出它的一个有趣的几何解释,}一。,、){一,”,…当一“时显然成立· 于是构造函数f(x)一}x卜从图像上易见线段MN所在直线的斜率Ik删}簇1,不等式得证.当a共b时,它等价于 }1 al一lb}a一b簇1(责审张思明)|a-b|≥||a|-|b||的几何意义@齐行超$山东省单县二中!274300~~     

关于|a+b|=|a|+|b|及|a-b|=|a|-|b|的应用

1.在重要不等式|a+b|≤|a|+|b|中,当且仅当a≥0,b≥0或a≤0,b≤0时等号成立,即|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0。因此|a+b|<|a|+|b|的充要条件是ab<0。同样,等式|a_1+a_2+…+a_n|=|a_1|+|a_2|+…+|a_n|成立的充要条件是a_1,a_2,…,a_n有相同符号。这一简单事实,在数学中有着重要的应用。 1)在解方程中的应用解方程|lg(2x-3)+lg(4-x~2)|==|lg(2x-3)|+|lg(4-x~2)|。解:根据|a+b|=|a|+|b|的充要条件是ab≥0,所以原方程等价于不等式 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0。解这个不等式: lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 lg(2x-3)lg(4-x~2)≥0 2x-3>0 4-x~2>0     

绝对值不等式的性质如何用?

同学们知道,绝对值不等式有性质:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.容易证明该性质还可以加强为:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.如何运用这一性质?是高中数学学习中的一个难点.下面拟举例说明如何运用它.一、运用绝对值不等式的性质不取等号的     

类比、猜想、证明的基本不等式课堂教学思路

这是一堂教学公开课的实录,真实地反映了教学双方在教学过程中的探索研究、交流互动,供读者参考.老师:前面我们研究了不等式的基本性质,今天,我们就利用不等式中一个简单的性质去推导和研究几个重要的不等式.众所周知,任何一个实数的平方非负,即n∈R,n2≥0,用任意两个实数a,b的差a-b去代替n,同样可以得到(a-b)2≥0,将其展开,可以得到a2+b2≥2ab,由于这个不等式中等号取到的特殊情况在今后有着广泛的运用,所以通常我们都要指出这个不等式等号成立的充要条件.那么这个不等式等号成立的充要条件是什么呢?学生:是a=b老师:的确,这个不等式中等号…     

Multiple solutions for weighted nonlinear elliptic system involving critical exponents

In this paper,by using the idea of category,we investigate how the shape of the graph of h(x)affects the number of positive solutions to the following weighted nonlinear elliptic system:-div(|x|-2au)-μu|x|2(a+1)=αα+βh(x)|u|α-2|v|βu|x|b2*(a,b)+λK1(x)|u|q-2u,in,-div(|x|-2av)-μv|x|2(a+1)=βα+βh(x)|u|α|v|β-2v|x|b2*(a,b)+σK2(x)|v|q-2v,in,u=v=0,on,where 0∈is a smooth bounded domain in RN(N 3),λ,σ0 are parameters,0μμa(N-2-2a2)2;h(x),K1(x)and K2(x)are positive continuous functions in,1 q2,α,β1 andα+β=2*(a,b)(2*(a,b)2N N-2(1+a-b),is critical Sobolev-Hardy exponent).We prove that the system has at least k nontrivial nonnegative solutions when the pair of the parameters(λ,σ)belongs to a certain subset of R2.     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

一个不等式的应用

若a,b∈R,则(a-b)~2≥0,展开一个括号可得,a(a-b)-b(a-b)≥0,即 a(a-b)≥b(a-b)(＊) 式中当且仅当a=b时,取等号。这个不等式说明:两实数差与被减数之积不小于此差与减数之积。用它来证明某些类型的不等式,方法简捷,颇有新意。今举例说明。例1 已知a,b,x是实数,且0相似文献   

利用“等号”成立条件解题举例

一、两个命题我们知道,对任意实数a、b,有(a-b)2≥0,当且仅当a=b时取等号.这里的当且仅当意指:若a=b,则(a-b)2=0及若(a-b)2=0,则a=b同时成立.将(a-b)2≥0利用完全平方差公式展开变形立得:     

数形结合巧解绝对值方程

定理对于方程|x-a|+|x-b|=c,(1)当|x-a|+|x-b|<|a-b|时,方程无解.(2)当|x-a\+|x-b|=|a-b|时,方程的解为min{a,b}≤x≤max{a,b}.(max{a,b)表示a、b中较大的数,min{a,b}表示a、b中较小的数)(3)当|x-a|+|x-b|>|a-b|时,方程     

《数学通报》第2063题的正确解答

安振平老师在《数学通报》2012年第5、6期问题解答栏中提出了如下问题(第2063题):已知a,b∈[1,3],a+b=4,求证:|a+1槡a-b+1槡b|≤2-2槡3.安老师认为当且仅当a=1,b=3或a=3,b=1时取等号,很明显此时右边应为10槡-槡2,因     

运用向量知识求解函数的最值问题

向量是现行高中新教材的新增内容 ,作为现代数学重要标志的向量引入中学数学 ,进一步发展和完善了中学数学知识结构体系 ,拓宽了研究和解决数学问题的思维通道 ,也为激发和培养学生的探索精神和创造意识提供了更广泛的途径 .本文将立足于向量这一全新视角 ,探讨运用向量知识求解函数最值的问题 .1　 运用 a .b≤ |a|.|b|,|a.b|≤ |a|.|b|,求函数最值对于两个非零向量 a、b,其数量积 a .b=| a| .| b| cosθ(θ为 a与 b的夹角 ) ,显然 a .b≤| a| .| b| ,| a .b|≤ | a| .| b| .其中前者等号成立的条件是 a =λb　 (λ >0 ) ,后者等号成立的条…     

不等式“|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|”应用例析

不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|[1] ”(以下简称 [1])是高中数学的一个重要知识点 ,考试大纲说明中对此有明确要求 :会应用不等式“|a|- |b|≤ |a b|≤ |a| |b|”.事实上 ,如何有效地、灵活地应用不等式 [1]证明有关综合性代数推理题是高中数学的难点 .以下简述知识要点     

斜率公式与两个不等式

关于绝对值不等式|a|-|b|≤|a b|≤|a| |b|的另证.当b=0时,不等式显然成立.当b≠0时,它等价于-|b|≤|a b|-|a|≤|b|-1≤|a |b|b|-|a|≤1-1≤||(aa b|b)--|aa||≤1|(aa b|b)--|aa|≤1.图1 y=|x|于是作y=|x|的图象如图1.易见MN所在直线的斜率k满足|k|≤1,故不等式得证.2不等式1 x≤1 21x(x>0)的“斜率”表示.此不等式等价于1 x-1(1 x)-1≤21.它表示过P(1 x,1 x),Q(1,1)两点的斜率不小于y=1 x在Q(1,1)点的切线的斜率.3如何比较23与32大小.令f(x)=lgxx则f(x)=lgxx--00,它可视为y=lgx图象上的动点(x,lgx)与原点连线的斜率,作出y=lgx的图象易…     

一道习题的多种精彩解法

新课程理念指导我们在数学学习中,勇于实践探索,善于合作交流．在解决问题的过程中,我们能体验到数学的美妙和战胜困难后的愉悦．下面这道习题就给我们美的享受．习题已知函数f(x)=(1 x2)~(1/2)当a≠b时,比较|f(a)-f(b)|与|a—b|的大小．解法1 (1 x2)~(1/2)与|a-b|和平面上两点     

从等号成立的条件探讨不等式的证明

不等式的证明是中学数学中的难点,方法灵活多样,技巧性强,没有固定的证题模式。有些不等式,如果我们挖掘出其等号成立的条件,则常使我们觅得解决问题的途径,为了说明问题,先看下面的题目: 例1 a,b为正实数,且a b=1,求证: 因观察以上证明过程,虽然推理没有错误,但没有达到证明原不等式的目的,不难发现使用的不等式ab 2/ab≥2(ab·2/ab)~(1/2)中,等号不能成立,这说明这一不等式还需进一步加强,那么如果使用平均不等式,如何使等号成立呢?所证不等式中,易知a=b=1/2时等号成立,此     

数学解题应立足基础 力求简单自然──对一组不等式的证法再探有感

利用基本不等式a2+b2≥2ab在b>0时的变式a/2b≥a-b4,a2/b≥2a-b和a2/b≥2λa-λ2b,文[1]、文[2]证明了一组不等式.读后深受启发之余,感到有与原作者及广大同仁商榷之处:首先,基本不等式的变式较多,必会增加记忆负担,且易致应用时选择的困惑;其次,利用这些变式解决较复杂问题时恒等变形的取等号条件的配凑并非简单.鉴于此,笔者从立足基础、追求简单自然的视角,并根据整体优先意识     

不等式α~2/b≥α-b/4的推广及应用

《中学生数学》2001年6月上期第26页刊文《不等式a/b≥2a-b的推广及应用》,读后受益匪浅·受此启发,笔者又发现不等式a/b≥a-b/4及其推广也有很高的应用价值,由恒不等式 ,容易推得 ,当b>0,有不等式 成立. 在不等式的两端同乘以 得