The influence of tip mass on the stability of a rotating cantilever subjected to dissipative and transverse follower forces

Summary The state of stability of a rotating viscoelastic cantilever beam subjected to a transverse follower force applied at its free end in the plane of rotation is determined by a method of approximation that is based upon an adjoint variational principle. Particular attention is devoted to the determination of the dependence of the critical flutter load of the system on the transverse, twisting, and rotary inertia properties of a mass capping the free end of the beam. The equations of motion are derived from a conservation law, the adjoint boundary value problem is introduced, and an approximate stability determinant is developed from the variational principle upon assuming a set of coordinate functions which satisfy a selected set of boundary conditions. The stability determinant is solved numerically for a variety of choices of values for the internal damping, the hub radius, tip mass inertia, the rotational speed, and warping rigidity parameters, and several graphs are presented to show the influence of these parameters upon the value of the critical flutter load.

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Sommario Si constata lo stato di stabilità di una mensola viscoelastica e rotante sollecitata da un carico traversale che ruota con la sezione e che viene applicata all'estremo libero nel piano di rotazione mediante un procedimento approssimativo basato su un principio variazionale per problemi del tipo non autoaggiunti. Attenzione particolare è dedicata alla determinazione della dipendenza del carico critico di flutter del sistema dalle proprietà delle inerzie traversali, torcenti e rotatorie di una massa attaccata all'estremo libero della trave. Si derivano le equazioni di moto mediante un principio di conservazione, e si introduce il problema aggiunto. Assunto un insieme di funzioni di posizione che soddisfano certe condizioni ai limiti, si sviluppa il determinante di stabilità dal principio variazionale. Si risolve numericamente il determinante di stabilità per diverse scelte di valori dei parametri di smorzamento interno, raggio di mozzo, inerzia della massa, velocità di rotazione e rigidezza biflessionale. Parecchi grafici sono inclusi per mostrare l'influenza di questi parametri sul valore del carico critico di flutter.

     

Equations of motion of a multibody system and Lie groups

Usually, the methods used for forming the equations relating to the motion of a complex system are based either on the use of general theorems or on the use of conventional techniques of analytical mechanics (Lagrange or Hamilton equations). In this case the formation of the equations of motion was made using a method allowing us to draft these equations in a more synthetic form. It uses the properties of the displacement group as a LIE group. Its main advantage is that it allows a totally intrinsic analytical calculation in the vector space of the wrenches or complex forces [8]. A symbolic calculus code has been designed in order to apply this approach. Initially, we have used and tested it in any open loop multibody system. The symbolic calculus code was applied, for instance, in the context of a study into the crash of a vehicle driven into a barrier.

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Sommario I metodi più comunemente usati per formulare le equazioni relative al moto di un sistema complesso si basano o su teoremi generali o su tecniche convenzionali della meccanica analitica (equazioni di Lagrange o di Hamilton). Nel presente studio, invece, le equazioni del moto vengono formulate usando una metologia che ne permette la scrittura in una forma più sintetica, sfruttando le proprietà del gruppo degli spostamenti come di un gruppo di Lie: il principale vantaggio del metodo è di permettere un calcolo analitico totalmente intrinseco nello spazio vettoriale delle forze complesse [8]. Per poter applicare questo approccio, è stato sviluppato un codice di calcolo simbolico. Per cominciare, l'approccio è stato usato e sperimentato per un generico sistema multicorpo a loop aperto: per esempio, nel contesto di uno studio sull'urto di un veicolo su di una barriera.

     

A possible solution of a case of unsteady laminar plane flow for non-newtonian liquids

Summary After a few basic remarks on continuous media mechanics, equations of unsteady laminar flow for non-newtonian incompressible fluids are written; a solution for a particular plane flow (with zero hydraulic slope) is carried out, supposing that the components of the stress tensor T are polynomials in the components of the deformation rate tensor F. In particular if we adopt a cubic law, we recognize a second viscosity coefficient, which may be a positive or negative number; a way is then suggested for finding experimentally both viscosity coefficients of the fluid; a simple numerical example is also given.

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Sommario Dopo alcuni richiami sulla meccanica dei mezzi continui, si scrivono le equazioni del moto vario laminare per fluidi non newtoniani incomprimibili, e se ne trova la soluzione in un caso particolare di moto piano (a pendenza motrice nulla), supponendo di esprimere il legame fra le componenti del tensore degli sforzi T e quelle del tensore delle velocità di deformazione F con polinomi. Nel caso particolare di una legge cubica si presenta un secondo coefficiente di viscosità, positivo o negativo; si suggerisce allora un possibile metodo per determinare sperimentalmente il valore dei due coefficienti di viscosità del fluido, dando poi un semplice esempio numerico.

     

Three-dimensional shapes of looped DNA

The equilibrium shapes of a closed DNA are investigated by employing a model of a thin, homogeneous, isotropic, linearly elastic rod of circular cross section. An equilibrium configuration of such an initially straight and twisted rod, submitted to external forces and moments at its ends only, obeys equations identical to those governing the rotation of a symmetric gyrostat spinning about a fixed point in a gravitational field (the Kirchhoff analogy). To represent the equilibrium of the looped DNA, the model rod must be smoothly closed into a ring. The corresponding BVP results in a system of four nonlinear equations with respect to four parameters. The perturbation analysis and the parameter continuation approach are used to find nonplanar solutions. The conformation change is discussed for various values of parameters.

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Sommario Si analizzano le configurazioni di equilibrio di una molecola chiusa di DNA per mezzo di un modello di trave sottile, omogenea, isotropa e linearmente elastica, con sezione circolare. La configurazione di equilibrio di una tale trave, inizialmente rettilinea e poi ritorta, soggetta a forze esterne e momenti solo alle sue estremità, è descritta dalla soluzione di equazioni identiche a quelle che governano il moto di un girostato simmetrico in rotazione intorno ad un punto fisso in un campo gravitazionale (l'analogie di Kirchhoff). Per poter rappresentare l'equilibrio del cappio di DNA, il modello di trave deve essere racchiuso in un anello, Il corrispondente problema al contorno consiste in un sistema di quattro equazioni nonlineari rispetto a quattro parametri. Le soluzioni del problema fuori del piano vengono ottenute tramite l'analisi perturbativa ed una procedura di continuazione al variare di un parametro. Si discutono le modifiche di configurazione del sistema per diversi valori dei parametri.

     

A note on the optimal state of a binary solid mixture in a stressed elastic bar

We consider the potential energy of the equlibrium configuration under gravity and prescribed vertical forces or displacement of a vertical bar which is composed of a mixture of two elastic materials. It is supposed that in each horizontal cross section the mixture has an effective Young's modulus which depends only on the ratio of the two materials in that cross section, and that the dependence satisfies the bound of Paul [2].It is shown that among all arrangements of the constituents with a given volume fraction, the smallest potential energy is attained when one of the materials is segregated in a single horizontal layer. This result suggests that when a composite cylinder is kept in such a state of strain, its constituent material will eventually diffuse into this segregated state.

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Sommario Si considerano le possibili configurazioni di equilibrio di una sbarra composta da una miscela solida di due materiali elastici, posta in posizione verticale e soggetta, oltre al campo gravitazionale, ad una azione, forza o spostamento applicato, in corrispondenza di una estremità. Si suppone che, in ogni sezione trasversale, il modulo di Young della sbarra dipenda solo dal rapporto locale fra i due componenti della miscela in quella sezione e che questa dipendenza soddisfi la diseguaglianza di Paul [2].Viene mostrato che fra tutte le possibili disposizioni dei due materiali base presenti all'interno del corpo in quantità assegnata, quella che corrisponde ad un minimo per l'energia potenziale prevede che uno dei due componenti si separi dall'altro, concentrandosi in un singolo strato orizzontale. Questo risultato suggerisce che quando un cilindro composito è sottoposto a queste sollecitazioni, i suoi materiali costituenti tenderanno a diffondersi e, alla fine, a separarsi.

     

Equations of Motion of an Asymmetric Timoshenko Shaft

The equations of motion of an asymmetric Timoshenko shaft, that is having unequal principal moments of inertia, are derived within the framework of the Lagrangian formulation for continuous systems and fields. The Lagrangian density of the system is calculated in a moving frame, that is a rotating frame attached to the deformed shaft, and proves to depend on the four Lagrangian variables (fields) of the system and their first derivatives w.r.t. space and time.On account of general results of the theory of continuous systems and fields, the four Lagrange's equations of motion are derived from the Lagrangian density and are successively reduced to the two usual equations in the displacements.The procedure described in this work is compared with both a different Lagrangian formulation, based on the use of a floating frame, that is a rotating frame attached to the undeformed shaft, and the well-known Newtonian approach adopted by Dimentberg. Sommario. Si applica la formulazione lagrangiana per i sistemi continui e i campi per ricavare le equazioni del moto di un albero di Timoshenko asimmetrico, la cui sezione presenta cioé momenti principali dinerzia diversi. La densità di lagrangiana è calcolata in un sistema di riferimento rotante solidale allalbero deformato e risulta essere funzione delle quattro variabili lagrangiane (campi) del sistema e delle loro derivate prime rispetto allo spazio e al tempo.In accordo con i risultati generali della teoria dei sistemi continui e dei campi, si ricavano, a partire dalla densità di lagrangiana, le quattro equazioni di Lagrange successivamente ridotte alle due classiche equazioni rispetto ai soli spostamenti.Il procedimento proposto viene messo a confronto con una diversa formulazione lagrangiana, basata sulluso di un sistema di riferimento rotante solidale allalbero indeformato, e con la ben nota formulazione newtoniana adottata da Dimentberg.     

Smectic Liquid Crystals with Compressible Elastic Layers

Smectic liquid crystals partake some of the essential properties of both solids and fluids, in that they possess microstructure both of the material and local type (the nematic microstructure and the lamellae). Balance equations for smectics are derived from the general theory of continua with microstructure and tested against a very simple mode of movement: Couette type displacement of a cell confined between two parallel planes with strong planar anchoring conditions at the boundary. Sommario. I cristalli liquidi smettici mostrano alcune delle proprietà essenziali sia dei solidi che dei fluidi, in quanto posseggono sia una microstruttura di tipo materiale che una di tipo locale (la microstruttura nematica e le lamelle). Le equazioni di bilancio per gli smettici sono qui derivate dalla teoria generale dei continui con microstruttura e testate su un semplice tipo di moto: lo spostamento alla Couette di una cella confinata tra due piani paralleli con ancoraggio al contorno di tipo planare.     

Dynamical equations of constrained robotic devices

Summary Different forms of the dynamical equations for constrained chain systems are investigated. First Kane's equations with Lagrange's multipliers are deduced from the standard form of d'Alembert's principle. Next it is proved that, even for constrained robotic devices, Euler's equations are equivalent to Kane's equations provided only that relative coordinates are employed. This equivalence yields an outstanding mechanical interpretation of Kane's equations. The possibility of applying the procedure to closed-loop multibody systems is also examined.

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Sommario Vengono esaminate diverse formulazioni delle equazioni del moto per catene di corpi rigidi soggette a vincoli. Vengono dedotte le equazioni di Kane con moltiplicatori di Lagrange partendo dalla formulazione usuale del principio di d'Alembert. Viene poi provato che anche per i manipolatori vincolati le equazioni di Eulero sono equivalenti a quelle di Kane, purché vengano usate coordinate relative. Tale equivalenza fornisce una significativa interpretazione meccanica delle equazioni di Kane. Infine viene discussa la possibilità di applicare la procedura a sistemi a molti corpi con catene cinematiche chiuse.

     

Intellectual Consumerism

The great revolution in theoretical fluid mechanics (brought along by the advent of computers in the middle of the century) that replaced search for a formal solution of a general problem with the analysis of evolutions, is in turn threatened by consumerism replacing physical thought with easy, uncontrolled output.Sommario. La grande rivoluzione nello studio della meccanica dei fluidi (conseguente alla nascita dei calcolatori a metà del secolo) consistette nel sostituire alla ricerca formale di una soluzione generale, l'analisi delle evoluzioni fisiche; ma il consumismo imperante minaccia ora di sostituire l'interpretazione fisica con la facile produzione di risultati incontrollati.     

Morse families and constrained mechanical systems. Generalized hyperelastic materials

The present work deals with the geometrical desingularization of a well-known asymptotic realization of the ideal holonomic constraints in analytical mechanics. A structure of this kind is extended to the theory of continuous materials—in particular, to elastic materials with internal constraints. By using the same geometrical structure, another aim of this paper can be fulfilled: a new type of generalized hyperelastic material is introduced and some physical examples are discussed. This definition of a generalized hyperelastic material globalizes and unifies the usual definition of a hyperelastic material and its analogue for crystalline solids according to Ericksen and Pitteri. We recall that generalized hyperelastic materials can display a multi-valued strain-stress behaviour, as discussed by Ericksen. Such a behaviour can be used to describe phenomena usually regarded as typical of plasticity.

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Sommario In questo lavoro si considera una desingolarizzazione geometrica di una ben nota realizzazione asintotica dei vincoli lisci olonomi in meccanica analitica. Tale struttura è estesa allla meccanica dei continui, in particolare, al caso dei materiali elastici con vincoli interni. Utilizzando lo stesso ambiente geometrico di quest'ultima costruzione si realizza un altro scopo di questa nota: viene introdotta una nuova definizione di materiale iperelastico in senso generalizzato e sono discussi alcuni esempi fisici noti in letteratura. Questa definizione globalizza e unifica l'usuale definizione di materiale iperelastico e il suo analogo per i solidi cristallini secondo Ericksen e Pitteri. Tali materiali possono manifestare una risposta stress-strain multivoca. Questo comportamento può essere utilizzato per la descrizione di fenomenologie tipiche della plasticità.

     

Eulerian versus Lagrangian variational principles in stochastic mechanics

The Eulerian formalism versus the Lagrangian one is investigated within the framework of the variational principles in stochastic mechanics. Some suitable constraints are introduced in order to obtain rotational solutions to Nelson's equations. An enlarged Eulerian variational principle is proposed in order to cover the dissipative case described by general rotational equations.

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Sommario Il formalismo Euleriano, in contrapposizione a quello Lagrangiano, viene trattato nell'ambito dei principi variazionali in meccanica stocastica. Opportuni vincoli sono introdotti allo scopo di ottenere soluzioni rotazionali delle equazioni di Nelson. Viene inoltre proposta una estensione del principio variazionale Euleriano per ricoprire il caso dissipativo descritto da equazioni rotazionali generali.

     

A research on the problem of the motion of a rigid body with quasi gyroscopic structure and variable mass,free in space

Summary The problem of the motion of a rigid body, with variable mass, free in space is considered. The problem is studied starting from the Eulerian differential equations, which are modified in relation to the variability of the mass and of the principal moments of inertia.The case of the quasi-gyroscopic structure of the vehicle is considered and the problem of motion using Poincarè's variational equations of the Eulerian dynamical equations is studied. The external moments depend on time only. The variational equations are solved and the stability of the movements considered is demonstrated.

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Sommario Si prende in considerazione il problema del moto di un corpo rigido di massa variabile libero nello spazio. Ciò partendo dalle equazioni differenziali euleriane corrette per effetto della variazione della massa e dei momenti principali d'inerzia. Nella aprossimazione in cui è valida una tale impostazione, si suppone esista una piccola differenza fra i due primi momenti principali d'inerzia del corpo, cioè che il corpo stesso sia a struttura quasi giroscopica. I momenti sollecitanti vengono supposti dipendenti dal solo tempo. Si risolvono le equazioni alle variazioni e si fa vedere che le variazioni si mantengono sempre piccole nel tempo, consentendo così di concludere per una affermazione di stabilità dei moti nel caso a struttura giroscopica.

     

Constitutive equation and compatibility of the external loads for linear elastic masonry-like materials

Summary The first part of the paper is devoted to the motivation of the constitutive equation of the masonry-like material. It is proved that this equation is the result of three fundamental constitutive assumptions: infinitesimal elasticity, no tensile strength, and a postulate of normality. A necessary and sufficient condition for the existence of a strain energy function is also supplied.In the second part are examined some necessary conditions for equilibrium in the absence of tensile strength. As a consequence of them it is shown that, under some particular loads, a body can be decomposed into separate, self-equilibrated subbodies. This property, which has no counterpart in ordinary elastic bodies, is used to explain some peculiar behaviours of masonry structures.

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Sommario La prima parte del lavoro è dedicata alla ricerca di una soddisfacente motivazione dell'equazione costitutiva comunemente usata per i solidi murari. Si dimostra che essa è il risultato di tre ipotesi costitutive: elasticità infinitesima, non resistenza a trazione, e un postulato di normalità. Viene inoltre data una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di una energia di deformazione. Nella seconda parte si esaminano alcune condizioni necessarie per l'equilibrio, in assenza di resistenza a trazione. Si dimostra che, sotto particolari condizioni di carico, un corpo continuo può essere decomposto in sottocorpi autoequilibrati. Questa proprietà, che non trova riscontro negli ordinari solidi elastici, spiega alcuni comportamenti tipici dei materiali non resistenti a trazione.

     

A rationally based yield criterion for work hardening materials

Summary The paper is concerned with the development of a rationally based yield criterion for work hardening materials. In an attempt to construct a single analytical function to represent yield behaviour the mathematics of continuum mechanics is combined with a statistical argument to produce a yield criterion which takes into account the inherent inhomogeneity of stress and strain distribution throughout a polycrystalline aggregate.A mathematical model is proposed which consists of spherical, anisotropic inclusions embedded in an elastic-plastic matrix. The yield criterion derived from this model is based on three main considerations, (a) arguments involving the local value of shear strain energy density, (b) Eshelby's solution for the local stress acting on a spherical inclusion in an infinite matrix and (c) the statistics of extreme values.An example is given on the fitting of the yield criterion to the results of thin-walled aluminium tubes prestrained in tensiontorsion space.

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Sommario Si considera lo sviluppo di una razionale condizione di plasticità per materiali con incrudimento. Nel tentativo di costruire una sola funzione analitica per rappresentare il comportamento plastico del materiale, la matematica della meccanica dei continui è combinata con considerazioni statiche onde definire una condizione di plasticità che tenga conto dell'implicita inomogeneità nella distribuzione di sforzi e deformazioni in un aggregato policristallino.Si propone un modello matematico che prende in considerazione inclusioni sferiche anisotrope avvolta da materiale elastoplastico. La condizione di plasticità derivata da questo modello è basata su tre considerazioni principali, (a) argomenti che involvono il valore locale della densità di energia di deformazione al taglio, (b) la soluzione di Eshelby per lo sforzo locale che agisce su ogni inclusione sferica in una matrice infinita e (c) la statistica dei valori estremi.Si dà un esempio sulla capacità del criterio di plasticità di interpretare i risultati ottenuti su tubi di alluminio sottile precaricato nello spazio tensione-torsione.

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On balance equations for materials with affine structure

Summary The equations of balance of mass, inertia, momentum and generalized moment of momentum for materials with affine structure are derived as consequences of the invariance under change of observer of a postulated law of energy balance.

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Sommario Si deducono le equazioni di bilancio di massa, inerzia, quantità di moto e momento generalizzato della quantità di moto per materiali con struttura affine, come conseguenze dell'invarianza al cambiamento di osservatore di un conveniente principio di bilancio dell'energia.

     

General stress analysis method by means of integral equations and boundary elements

Summary This paper concerns an integral equation method for the numerical solution of the linear problems of elasticity of the homogeneous continuum. The mathematical form adopted is sufficiently general to refer to both plane and three dimensional analysis as well as to analysis of plates and specialized axisymmetric cases.Having indirectly deduced the integral equations, the resolving procedure is based on variational principles and uses a convenient discretization of the boundary through the use of finite elements.Particular attention is given to the definition of the asymptotic conditions of the elementary displacement field to theoretically ensure a priori the conditioning of the resolving algebraic equations without any restriction as regards the nature of the boundary and the conditions thereby imposed.Efficiency, praticality and flexibility of use are characteristics particular of this method and have already been widely tested by the author in varying applications. Further information on the above can be found in the bibliography cited.

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Sommario Nella presente memoria si delinea un metodo di calcolo fondato sulle equazioni integrali per la soluzione numerica dei problemi lineari di elasticità del continuo omogeneo. La veste matematica adottata é sufficientemente generale perché possa riferirsi all'analisi sia dello stato triplo sia dello stato piano di deformazione o di tensione, come pure all'analisi delle lastre e dei casi specializzati assialsimmetrici.Dedotte per via indiretta le equazioni integrali, il procedimento risolutivo è fondato su principi variazionali e si avvale di una conveniente discretizzazione del contorno mediante elementi finiti.Particolare attenzione è rivolta a definire le condizioni asintotiche dei campi elementari di spostamento al fine di assicurare teoricamente a priori il condizionamento delle equazioni algebriche risolventi, senza alcuna restrizione per quanto riguarda la natura del contorno e le condizioni ivi imposte.L'efficienza, la praticità e la flessibilità d'impiego sono caratteristiche peculiari del metodo, per altro già ampiamente collaudato dall'autore in diverse applicazioni di cui possono trovarsi notizie nella bibliografia citata.

     

Petite Histoire de L'experimentation en Mecanique des Solides

This short history of experiments in Solid Mechanics is written especially for my good friend Giulio Maier 'Dilecte Julius Magister praeclare tibi gratias agimus atque continuas magnas contributiones tuas mechanicae scientiae advocamus ad multos annos'. This is the reason why it is written in French, so beautifully spoken by him. It is divided into four parts. (1) Before the 16th century where no real methodology for experiments exists, the nice buildings which still remain are the result of previous successes and defeats. (2) From the 16th to the 19th centuries this is the birth and development of theoretical and experimental tools of the strength of materials. From Leonardo da Vinci to J. Baushinger or Wöhler, the concepts of stresses and strains are formulated and machines are invented to measure the mechanical characteristics of materials. (3) The 20th century where ultimate properties of materials such as plasticity, fracture, and damage are studied and used for safety purposes. (4) The end of the 20th century and the 21th (! ! !) is the time of numerical modelling which needs experiments at the microscale to take into consideration the real phenomena and at the macroscale to check the health of structures during their service. Sommario. Questa breve storia della sperimentazione in Meccanica dei Solidi è scritta in particolare per il mio caro amico Giulio Maier 'Dilecte Julius Magister praeclare tibi gratias agimus atque continuas magnas contributiones tuas mechanicae scientiae advocamus ad multos annos'. Per questa ragione il lavoro è scritto in francese, lingua da lui ben conosciuta. Questa nota è divisa in quattro parti. (1) Prima del 16° secolo, quando non esiste una vera metodologia sperimentale e il bell'edificio è il risultato di precedenti successi ed insuccessi. (2) dal 16° al 19° secolo ove si registra la nascita e lo sviluppo degli strumenti teorici e sperimentali per la scienza delle costruzioni. Da Leonardo da Vinci a J. Baushinger o Wöhler, vengono formulati i concetti di sforzo e deformazione e vengono inventate macchine per la misura delle caratteristiche meccaniche dei materiali. (3) Il 20° secolo, in cui le proprietà ultime dei materiali come la plasticità, la frattura ed il danneggiamento vengono studiate ed utilizzate per la verifica di sicurezza. (4) La fine del 20° secolo ed il 21°(!!!) secolo costituiscono il tempo della modellazione numerica che necessita da un lato di esperimenti condotti alla micro-scala al fine di poter considerare i fenomeni reali e dall'altro di esperimenti condotti alla macro-scala per verificare l'integrità delle strutture in condizioni di esercizio.     

Theoretical analysis of self-excited vibrations in a machine-tool,isolated mounting-base system

Summary This paper describes the theoretical analysis of the dynamic performance of a machine-tool isolated mounting-base system when unstable behaviour of the moving slider — stick slip motion — occurs owing to low driving speed. The equations of motion are derived from Lagrange's equation when the basic energy expressions of such a system are known.Numerical examples are calculated by making use of the digital computer in order to clarify the relation between the principal parameters governing the behaviour of the vibrating system so that the factors that influence the design and operational conditions of a machine tool supported by a vibration-isolating base may be more clearly understood and specifically identified. By this method a detailed analysis is carried out of the performance of an experimental rig fixed to a concrete mounting base supported on helical springs, in order to investigate the mechanism of frictional damping of machine tool slideways.

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Sommario Nell'articolo è effettuata l'analisi teorica del comportamento dinamico di un sistema costituito da una macchina utensile con relativa fondazione, quando il moto rettilineo della slitta, alle basse velocità, manifesta condizioni instabili dipendenti dall'insorgere di vibrazioni autoeccitate. Le equazioni del moto sono ottenute dalle equazioni di Lagrange una volta calcolate le espressioni energetiche del sistema.Mediante un calcolatore digitale sono stati elaborati alcuni esempi numerici per definire la relazione esistente tra i principali parametri da cui dipende il comportamento del sistema vibrante, in modo da valutare la complicata interdipendenza dei fattori che influenzano il progetto e le condizioni operative di una macchina utensile vincolata ad una fondazione isolata dal terreno con supporti elastici.Con il metodo numerico proposto è stato studiato il comportamento dinamico di un'apparecchiatura sperimentale, fissata ad una fondazione in cemento sostenuta da molle elicoidali, predisposta per valutare gli effetti combinati dello smorzamento e dell'attrito nelle guide di una macchina utensile.

     

On the Ljapunov stability of a system with known first integrals

Summary The differential equations of the perturbed motion with known independent first integrals are considered, and it is shown that a sufficient condition for the stability of the imperturbed motion of the complete system is given by the total stability of the corresponding solution of a certain reduced system, of lower rank. This theorem finds an interesting application in the study of the stability of the merostatic motions of a holonomic system with ignorable coordinates and acted upon by dissipative forces.

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Sommario Si considerano sistemi di equazioni differenziali del moto perturbato per i quali siano noti alcuni integrali primi indipendenti, e si dimostra che una condizione sufficiente per la stabilità del moto non perturbato del sistema completo è data dalla stabilità totale della corrispondente soluzione di un certo sistema ridotto, di rango inferiore. Questo teorema trova una significativa applicazione nello studio della stabilità dei moti merostatici di un sistema olonomo con coordinate ignorabili e soggetto a sollecitazioni dissipative.

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Research supported by the Gruppo di Ricerca No. 7 of the C. N. R.     

Correction of two errors in the kinetic theory of gases which have been used to cast unfounded doubt upon the principle of material frame-indifference

Summary Certain results of formal processes of approximation in the kinetic theory are similar in form to constitutive relations of continuum mechanics. It is wrong to regard them as such. Continuum mechanics takes the variables entering constitutive functions as being independent. Thus it is possible to ask whether or not those functions be frame-indifferent. In the kinetic theory, on the contrary, all solutions automatically satisfy the principle of linear momentum. In order even to ask whether gross relations satisfied by solutions be frame-indifferent, it would be necessary to show first that those relations pertain to a class of solutions that correspond to velocity fields which differ from one another by arbitrary time-dependent orthogonal transformations of the motion. It is not presently known whether any such classes of solutions exist in the kinetic theory. Indeed, as the constraint imposed by the principle of linear momentum is frame-dependent, the existence of any such class is implausible. Be that as it may, to claim that the kinetic theory can bear in any way whatever upon the principle of material frame-indifference is presently ridiculous.

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Sommario Alcuni risultati di procedimenti formali di approssimazione nella teoria cinetica dei gas sono formalmente simili a relazioni costitutive della meccanica dei continui. È peraltro errato considerarli come tali. La meccanica dei continui considera le variabili che entrano nelle funzioni costitutive come indipendenti. È così possibile domandarsi se queste funzioni siano, o no, indipendenti dal sistema di riferimento. Nella teoria cinetica dei gas, invece, tutte le soluzioni soddisfano automaticamente il principio delle quantità di moto. Al fine di poter domandarsi se relazioni globali soddisfatte da soluzioni siano indipendenti dal riferimento, sarebbe necessario dimostrare anzitutto che queste relazioni appartengono a classi di soluzioni che corrispondono a campi di velocità differenti l'uno dall'altro per trasformazioni arbitrarie ortogonali dipendenti dal tempo. Non è al presente noto se tali classi di soluzioni esistono nella teoria cinetica. Anzi, poichè il vincolo imposto dal principio della quantità di moto è dipendente dal riferimento, la esistenza di una classe siffatta non è plausibile. Ad ogni modo, l'asserire che la teoria cinetica possa aver riferimento in un qualche modo con il principio della indipendenza dal riferimento è al presente assurdo.

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Investigation supported by a grant of the U.S. National Science Foundation. I am indebted to Messrs. Müller, Wang, Ericksen, and Muncaster for discussion over the past several years and to Messrs. Ericksen and Wang for criticism of the first draught of this note.