初等概率介紹

§1.概率概念概率論是数学的一个分支。它研究或然現象。或然現象如何理解呢?为了說明或然現象我們先看它的对立概念“必然現象”。所謂一个現象是必然的,就是说这一現象在一定的条件下必然发生。例如在欧氏几何里,三角形三个內角和必然等于180°,又如手拿一块鉄,如果松手,鉄必然下落等等。必然現象的对立概念就是或然現象,例如擲一顆股子(条件),我們得到哪个点是事先不能肯定的。又如一个口袋內有同大小同重的紅白球各十个,閉着眼从口袋里取一个球,誰也不敢肯定所取的球是紅还是白。所以取球这一事件称作或然事件,如果当条件一实行,事件A可能发生但不一定发生,則事件A叫作或然事件。对于或然事件的量的刻划就是它的概率。一个或然事件的概率大就表示这个事件的发生可能性大。例如在上面所說的口袋里,我們問取紅球的概率与取白球的概率如何,我們一下子可以回答說,这两种事件的概率是相等的,又如一个口袋有10个白球,一个紅球,那么一下子可以說出,取白球的概率比取紅球的概率大。必須合理地定义或然事件的概率,才能說出其概率究竟等于多少。     

均值和方差不变的值序統計量

<正> 在数理統計学显著性检定的領域中,拟合良好性的检定是一个基本重要的問題.它的目的在于考察一組真实的观察值与某个設想的概率分布之間的符合程度,明确客观随机現象的变化情况和統計規律,从而帮助了人們首先认識这种現象,然后采取相应的措施来解决在实践中存在的問題. 本文所处理的統計問題的形式如下.随机变数ξ的分布函数是未知的.     

关于“复数无大小”的問题

在高三代数課复数这一章的教学中,一个突出的問題是如何向学生讲授“复数无大小”?教学大綱的說明中沒有涉及这个問題,但現行課本中关于这个問題却有一段比較含糊的敍述。根据历年来我讲授这部分教材的經驗,都有較多学生提出問題,最普遍的問題是:“为什么不規定复数的大小?”     

讀者·作者·編者

中国数学会第二次全国代表大会所討論的两个重大問題,即数学发展方向与数学教学改革問題。这两大问题关系着数学怎样为現代化生产和尖端科学技术服务,如何多快好省地培养建设人材的根本問題。这一期比較集中地刊登了这方面的文章,我們希望能引起全国广大同志的注意与热烈的討論。关于数学教学改革間题,“对中小学数学教材內容現代化的建議”一文比較詳細地指出現行中小学內容贫乏、陈旧、孤立、割裂、繁瑣、重复和落后于社会主义建設实际;数学教学改革已經到了瓜熱蒂落,势在必行的地步了;指出:新的数学教学体系必須为社会主义服务,特别是現代化生产和尖端科学服务,同时还指出改革时应該注意理論与实际結合,概念与計算結合,数与形的結合。     

压縮映象原理的产生与应用——抽象和概括是数学研究中的一个重要方法

这篇短文的目的,一方面固然是介紹“压縮映象原理”这个在分析里著名的不动点方法,另一方面,也想通过这个較为典型的例子来說明在数学研究里如何运用抽象、概括的方法,从一些个別的現象里总結出普遍的規律,然后再借此研究另一些現象。 1.Kepler 方程的求解著名的德国天文学家J.Kepler(1571-1630)在研究行星运动規律时曾經考虑过下面这个方程的求解問題:     

电子学中的若干微分方程間題

<正> 电子学中的一些物理現象,和近代其它学科中的許許多多物理現象一样,常常是用微分方程来描述的.这是因为,尽管許多物理問題都包合着一系列相互制約的复杂的現象,但是,我們总还是可以研究这些現象的主要方面,并且就这些主要方面来說,除了在某些特殊时間以及在空間的某些特殊点,物理过程又常常可以看作是連續的.这样,电子学中許多物理問題的求解就常常归結为相应的微分方程問題的求解.     

關於“數学中的無窮”一文中的幾點說明

本刊1955年1月号發表了苏联科学院阔尔莫果洛夫院士的“數学中的無窮”一文,因該文很简略,其內容較深,有些讀者提出了一些問題。現由該文譁者罗國光先生就某些读者所提的問題作了一些補充說明,現在發表在这里,以供参考。     

在小学五年級試教代数“二次方程”部分的經过和結果

一、引言在学制实驗中有两个与数学教学直接有关的問題:1)提前入学、提前学习較深的数学課程,学生是否能够接受的問題;2)現行的数学教学内容和教学方法是否应改变和应如何改变的問題。要正确回答这两个問題,必須通过若干教学实驗来提出客观論据,本研究就是根据这項需要設計和进行的。这次实驗是把高一的代数二次方程部分提前五年教給五年級学生。     

独立随机变数及极限定理

§1.引言在工厂生产中,經常会遇到下列问題:如何估計一台机器(或一个车间等)生产的某一种产品的质量指标(例如棉紗的强力,螺丝釘的口径等)? 这种問題的解决,对生产是有重要意义的,例如对于某一道工序进行了技术革新,我們就必须了解革新后质量和指标提高的情况;或者是比較用两种不同生产方法生产同一种产品的效果是否相同;某一天生产出来的某种产品是否合格等等問題的解决,都和我们前面提出的問題有密切的关系。这种問题的解决不仅是工厂生产所需要的,在其他生产和建设方面也有用。根据实践經驗知道,一台机器所生产的产品的指标一般来說是稳定的,也就是說产品指标变化不大,但是并不都是完全一样的,而是经常有些出入,并且这些出入有时偏高或偏低,也有大有小,驟然看来,很不規則。經过人們长期統計的实践,发現在一定条件下一     

中学数学里的求函数极值問題

在中学里研究函数极值問題,散見于二次函数与不等式各单元的习題中。課本内因缺乏明确的要求,学生在学习时往往不能深入地理解,因而感到困难。所以教师在不加深課本原有的深度下,通过复习,使学生能够較完整的掌握这部分知識,还是必要的。現就这方面試作較为綜合系統的說明,以供参考。一、求二次函数的极值問題。在高一代数“二次函数”这一单元里,学生就初次遇到求二次函数的极大值与极小值問題,此时教师在讲了二次函数y=ax~2++bx+c的图象后,可以指出,从y=ax~2+bx+c图象里,我們很清楚地看到:在(1)a>0的时候,函数图象的拋物綫口向上,它的纵坐标由递減轉为递增,这个頂点的纵坐标相当于极小值。(2)a<0的时候,拋     

二次方程中的物理問题

在現有的各种代数习題集中,除了关于均勻运动的問題外,物理問题所构成的二次方程只有很少的一些。在(?)拉利切夫的习題集中比其他的还稍微多些。但是在他的109个題目中,若不算均匀运动的問題吋,共有9个。下表說明在这几个問題中,是如何采用了物理定律的:     

紀中國数学会論文宣讀大会華罗庚指出我國数学应朝着“質高、量多、方面寬”的方向發展

中国数学会論文宣讀大会於8月13日-19日在北京举行。出席大会的代表有100人,其中約半数是青年。在170余篇論文里,年青数学家的成果佔了很大的比重。华罗庚先生致开幕詞 会上,中国数学会理事長华罗庚教授致开冪詞,他首先說,这次論文宣讀大会,是在近一、二年来,各地研究工作比較开展,大批新生力量正在成長了起来,各种条件較为成熟的情况下召开的。在党中央提出向科学进軍、爭取十二年內赶上国际先进水平,特別是貫徹“百家爭鳴”的方針的时候,檢閱一下我們的力量,是完全必要的。接着他談到数学在国家建設中的重要性和理論与实际結合的問題,他指出:数学是人們研究自然現象和处理工程技术問題的强有力的工具,因此,数学的發展一方面受着自然現象和工程技术研究的推动和刺激,另一方面,也有着它內在的必然性。所以,我們必須遵循理論和实际相結合的精神。在反对理論脫离实际的     

中学生需要学習概率論与数理統計

在日常生活与生产实践中經常遇到或然性的現象,例如在一个汽車站候車的人数、某地区的降雨量、细紗的重量或强力、无线电通訊中所受的干扰(噪声),等等。研究这些大量的或然性现象的规律性,利用它来为我們的事业服务,这正是概率论与数理統計所要做的工作。这門学科的发展是与人类的生产实践密切相連的。在概率论发展的初始时期(十六、七世紀),赌博问题曾經引起过許多人的討論,但是概率論的真正发展,还是因为后来工农业的发展和自然科学的进展,例如工农业的发展需要应用数理統計的方法研究抽样检查、质量控制、試驗設計等问题。二十世紀科学技术的发展引起了随机过程論的研究,近代通訊技术的发展产生了訊息論这门学科。近十多年来,统计数学的新分支不断地兴起。人們要問,为什么这个学科的生命力显得如此旺盛?这是因为,人类社会愈是进步,对科学技术的要求就愈来愈高,在考虑問題时,或然因素就愈是不能忽略,举例說,象某些近代大型建筑的设计     

0和1的方程组

“0和1,这个題材太簡单了!”讀者或許会这样说。其实不然,这是一个很丰富的領域。所謂丰富,并不是說我們单純从兴趣出发可以推出关于0和1的一大堆性貭、定理、甚至建立一些理論,等等。(单純那样做是没有意义的)而是在于它能反映不少实际現象,关于它們的数学知識能帮助解决一些实际問題。現在,0和1在有些技术領域中应用已經比較普遍,例如在数字計算机的邏輯設計中,用到一种关于0和1的数学理论——布尔代数。本文不打算談这方面的內容,讀者可以去参看专书(見文末的附注)。本文打算談的是关于0和1的通常属于高等代数的一部分內容——它們的綫性方程組的应用。另外,0和1的多項式理論、綫性代数理論在一些技术問題中也已开始得到应用,本文也暫不去談它們(读者可参看文末的附注)。     

数理邏辑的簡单介紹

我国的讀者近来已越來越多地对数理邏輯发生兴趣了,这是一个很好的現象。它表明了我国大众已經开始重視这門重要的科学;从而将使这門科学在我們祖国的土地上开出光輝灿烂的花朵来。但是一般讀者每每詢問下列一連串問題:数理邏輯是怎样的一門科学?它研究什么?有什么主要內容?学习它时需要什么预备知識?有什么主要参考书?……这些問題如果得不到很好的回答,对数理邏輯的学习将受到不良的影响。本文的目的想介紹数理邏輯的主要內容,部分地回答上述各問題。由于数理邏輯內容的丰富,任何人想在一篇短文內加以介紹,势必掛一漏万。再由于作者水平不够,本文必然会詳略失宜甚至含有严重的錯誤。因此讀者必須用批判的眼光来閱读它,这样才可以不因本文可能出現的錯誤而受到影响。否則本文原来的目的不但沒有达到反而带來了流弊了。数理邏輯簡史数理邏輯的內容是非常丰富的,要介紹它真是不知从何說起。現在我們先从它的发展过程来說起吧。因为一件东西,无論多么复杂,如果能够从它的发展史来看,每每极易得出它的基本特性的。     

博奕論杂談:(一)二人博奕

正象十七世紀时概率論的产生与一些賭博問題有关那样,在本世紀发展起来的博奕論也与一些賭博以及下棋中的数学問題有关。在1921年时,法国的E.Borel为了在用数学方法处理賭博一类問題时,提出了“策略”这样一个概念,賭徒智力的高下就体現在是否能善于选择策略这一点上,这可以說是博突論的萌芽。我們先来举一个用撲克牌打賭的例子。甲乙两人各从一付撲克牌中选取5张后同时下注,賭注限定是a元或b元,此处a>b>     

希尔伯特第五問題

1900年在巴黎举行的国际数学会議上,希尔伯特(D.Hilbert)作了以数学問題为題的讲演,向数学界提出了23个問題。这篇讲演具有十分重大的意义,这不仅是因为希尔伯特恰恰在两个世紀轉折的时候提出了这些問題,更重要的是,如在他讲演的一开始所說的,“揭起包着未来的面紗,一瞥我們今后科学的进展,探索未来世紀如何发展的秘密,以及有否不可解者,追求引导这些一般化的数学思想的特殊目的是什么,在未来的世紀里,在广闊而且丰富的数学思想的各个領域里,将能发現什么新的方法和新的事实”。这篇讲演中的各个問題之間的联系不太大,問題的大小和难易也各不相同,但是可以說几乎是包含了本世紀数学界所有致力研究的課題。本文所要談的第五問題已經肯定地被解决,它已成为数学界閑談的資料。問題是这样叙述的:“試不用可微性来定义Lie羣”。首先,让我們来說明它的意义。     

概率論中一些最簡單的問題

§1.古典概率的定义在日常生活中,可能性(或然性)的概念对我們來說是熟悉的,我們每个人經常估計(近似地)各种不同事件的可能性,这些估計在我們的行动上有着决定性的影响,数学給可能性的概念引進了准确的意义。为了說明必然事件,对不可能事件和随机件的概念,应該举一些例子。 擲骰子(圖1)时,我們得到的点数总在前六个自然数的范圍之內,这是必然事件,出現七点是不可能事件。出现大於4的点是随机事件:它可能出现或不出現。順利情况的数目与可能性均等的所有情况的数目之比值称为随机事件的数学概率。     

关于三分角問題的“研究”问题——答一些青年学生問

近年来,我們中国科学院数学研究所收到了不少关于三分角問題的来信。在这些信中,絕大多数都是来自全国各地的青年学生,他們在钻研数學問題上,敢于通过自己的独立钻研,想尽种种方法来謀求“問題”的解决,这种精神是好的。但是由于对三分角問題的实质缺乏全面的了解,对用圓規直尺三等分任意一角的不可能性沒有得到正确的理解。因此他們白白地耗費了很多时間和精力。根据这种情况,我們认为有必要向青年学生再作一次广泛的說明,使对三分角問題的提法上有較为正     

三角函数为什么可以解释为数值变量的函数

在中学的三角課里,最初是把三角函数定义为以角或弧为自变量的函数.在引入角和弧的弧度制(经制)以后,开始把三角函数解释为以实数为自变数的函数(現行課本沒有明确指明这一点),这无論对进一步学习本門課程或进一步学习高等数学,都是必要的。但是,为什么可以把三角函数解释为以实数为自变数的函数呢?这个問题在实际教学中,可能在闡述上不够清楚。特別是,角的弧度制在这一問題中究竟起着怎佯的作用,也往往被不恰当地解释了。例如,认为只有引入了弧度制以后,才能把三角函数的自变量解释为实数,这并不是个別的。那么,問題应該如何解释呢?我們說,問題的实貭并不在于选择怎样的度量制度。因为,无論在角(或弧)的那一种度量制度下,都能使角的集合(有向角)与实数集合建立起一一对应关系。这就是說,当度量方