圆锥曲面截线类型的判别与简单论证

关于圆锥曲面的平面截线是二次曲线(包括退化的二次曲线)的命题,常常仅以几何教具加以演示说明,本文试图用简要方法研究这一问题。为简便计,我们只取半个圆锥曲面,作图如左。先假定截面不过顶点,再考察过点的。已知圆锥曲面(半个)的轴 SH 与母线夹角为 a,平面 POP′截圆锥     

圆锥截线定理的又一证法

直圆锥面与平面相贯,其截线不外是圆、椭圆、抛物线、双曲线等四种曲线,即二次曲线,这就是圆锥截线定理。它的证明通常是纯几何的。作者通过教学实践获得如下的又一证法,它是利用几何关系作出的一种分析的证法。可供教学上参考。 为方便计,只讨论平面与圆锥在一侧相贯的情     

圆锥曲线几何性质的应用

圆锥曲线在数学上是一个非常重要的几何模型,有很多非常好的几何性质．课本中还给出了在历史上人们认识圆锥曲线的一种十分重要的方法——用平面截圆锥．     

圆锥面截口线是圆锥曲线的初等证法

高中数学教材中提到椭圆、双曲线和抛物线都称为圆锥曲线,这是因为这三种曲线都可用一个平面与圆锥面相截,所得的截口线即为这三种曲线之一.这个结论用高等数学的知识是不难证明的,但较少看到此结论的初等证明.本文拟探究此结论的初等证明方法.设圆锥面的半顶角为β,为了便于研     

立体几何中圆锥的截口曲线问题

<正>在人教版高中数学选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》的章头图和章头文中,给出了用一个不垂直于圆锥轴线的平面去截圆锥,当平面与轴线夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.但具体什么时候截得的是椭圆、双曲线和抛物线,课本中没有详细介绍,而在近几年的高考     

圆锥截线特征的新证

圆锥截线特征的新证周之夫（深圳市布吉高中５１８１２３）（图１）高中解析几何说：四种曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）可以看作不同的平面截圆锥面所得到的截线，如图１，因此，它们又统称圆锥曲线．教材仅是如此点到为止，却引得有心的老师和同学们留下了深深的疑虑...     

圓錐截线教学中的几个問題

(一) 本单元教学在平面解析几何的教学中的地位和作用根据中学数学教学的总要求,以及该学科的教学要求,不难看出:直线和圆锥截线是该学科教学的重点。然而两相比较,圆锥截线的教学则又是重点中的重点。理由如下: 1.圆锥截线的教学,是使学生对于直角坐标系中曲线和方程的相互关系的认识,达到全面、深刻的极重要(也是最后)的阶段。曲线和方程的相互关系是指:曲线方程的概念,已知曲线求它的方程,已知曲线的方程求作曲线。这些知识虽然在第一章内作了较系统的阐述,然而由于学生是初次学习,很难使他们一下子就牢固地掌握住这些知识的实质;在第二章直线中,这些知识又得到了进一步的印证,但是由于所处理的曲线十分简单,因此还不能使学生对这些知识得到全面、深刻的认识。而圆锥截线则能充分地体现出这些知识的精神实质。譬如,由曲线求它的方程的关键问题之一,是能根据曲线的特征,妥善地选择坐标系。这一点,是决定解析法是否简便的关键。对于圆锥截线的讨论,     

圆锥曲线是椭圆双曲线和抛物线的解析证明

在一次讨论《高中数学课程标准》的会议上有人问如何证明一圆锥被一平面所截 ,得出截线是椭圆、双曲线或抛物线 .在《标准》选修 1系列课程的参考案例 4中画了一张立体图 ,意示可以用立体几何的办法加以证明 .其实这种证法大约最早是由G .Daudeliu在 1 82 2年给出的 .(可参阅[1 ]P .2 47)他给出了一个定理 :“如果两个球面内切于一个圆锥并且都与一个已知平面相切 ,该平面与圆锥交于一条圆锥曲线 ,那么球面与平面的接触点是圆锥曲线的焦点 ,球面与圆锥相切的圆所在的平面同已知平面的交线是圆锥曲线的准线 .”再根据平面与圆锥轴线的夹角…     

演示圆锥曲线的简单实验

用一个盛有水的大玻藕漏斗,便可演示高中立体几何及高中代数所遇到关于圆锥截腺的概念.     

椭球面圆截线问题的微分几何解法

本文用微分几何的方法求解出椭球面上圆截线所在平面的一般方程.     

圆锥曲线中一类定值问题的解决

古希腊数学家用平面去切割圆锥,发现截痕的形状与平面的倾斜程度有关:当平面垂直于圆锥的轴的时候,得到的截痕是圆,如图1(1);把平面稍微倾斜一点,就得到椭圆,如图1(2);当平面倾斜到和圆锥的一条母线平行时,得到抛物线,如图1(3);再倾斜一些就得到了双曲线,如图1(4).不过,“椭圆”、“双曲线”和“抛物线”这些名称都是后来才有的,在当时这三种曲线分别叫做“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”.     

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性黑龙江绥滨一中邹楼海椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说，三种曲线是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同，才产生这三种曲线的差别，从轨迹的观点看，三种曲线都是一个动点到定点Ｆ和定直线...     

走出圆锥曲线的认识误区

在圆锥曲线与方程[1]的开篇前言中,曾给圆锥曲线作了如下描述性的定义:如图1,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当截面与圆锥的轴夹角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭     

圆锥曲线定义的几何证明

用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口瞄线，分别是椭圆、双曲线、抛物线，通常把它们统称为圆锥曲线．那么，为什么截口曲线是椭圆、双曲线或抛物线呢？     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部     

圆锥面截口线是圆锥曲线的又一初等证法

文 [1 ]对高中数学教材中把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线 ,是因为这三种曲线可以看作是不同平面截圆锥面所得到的 ,给出了一种初等证法 .我们为肖铿老师那种精巧的构思和高超的设参 ( a、b、焦点、准线 )技巧深感由衷的敬意 .但觉得美中不足的是设参技巧性太强和运算量太大 .我们经过探索 ,得出一种较为简捷的证法如下 ,供读者参考 .图 1如图 1 ,设圆锥面的半顶角为β,AO为轴 ,截口平面为δ(不过圆锥顶点 ) ,记平面δ与直线 AO所成的角为α( 0≤α <π2 ) ,与圆锥面的交线为曲线 EDG,圆锥面的一内切球 O1与平面δ相切于点 F,球 O…     

弯头圓台的剪接与其計算的解析法

(一) 问题的提出在生产实际工作中有时会遇到将一张薄片材料卷接成圆台的问题,一个正圆台的剪接很简单,只要应用初等平面几何的知识,将圆台的侧面展开成扇形平面,进行剪裁焊接即可,但如果一个圆台是由一个正圆台和一个斜圆台连接成的,也就是圆台的中心轴在中途偏转一个角度而变成一个“弯头圆台”则其剪接起来就要求计算出最紧凑最节约材料的剪接方法。这里把个人研究的心得提出来和对这问题有兴趣的同志们商椎。 (二) 弯头圆台的构成一个正圆台,沿其与台底不平行的斜截面剖开,将其一部分绕中心轴旋转180°再将两部分沿斜截面接合,则得一弯头圆台。因为根据圆锥截线的性质不通过顶点而与圆锥一叶相截的平面,与这圆锥侧面的截线是一椭圆(图1),而根据椭圆的性质——对长轴或     

几何学概论(二)

(三)罗巴切夫斯基几何的诞生要知道罗巴切夫斯基几何是怎样诞生的,就应该回顾一下欧几里得第五公设的历史.罗巴切夫斯基几何的诞生,归根到底就是试证第五公设的结果.第五公设是这样叙述的:如果两条直线被第三条直线所截,在截线一侧的两个同侧内角之和小于两个直角,则这两条直线在这一侧无止境地延长之后,一定会相交.     

面积比较与上调和函数及其应用

本文研究了无穷远处具非负截曲率的完备非紧流形的几何和解析性质,并将 它应用于调和映照.     

实双截曲率为零的三维紧Hermite流形

复几何中的一个经典猜想是,任何全纯截曲率为常数的紧Hermite流形必为K¨ahler或Chern平坦的.该猜想在2维时已被证明.本文对该猜想在3维时的一个特殊情形给出证明:实双截曲率为0的紧3维Hermite流形必为Chern平坦的.实双截曲率是全纯截曲率概念的推广,由Yang和Zheng(2019)引入.该曲率量在Kahler时与全纯截曲率等价,在非Kahler时比后者稍强.