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文[1]给出了四边形如下性质: 定理在四边形ABCD中,G1,G2,G3,G4分别为△ABCD,△CDA,△DAB,△ABC的重心,则S四边形G1G2G3G4=1/9S四边形ABCD. 相似文献
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本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到… 相似文献
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定理 设四边形 ABCD的边 AB、BC、CD、DA与对角线 AC、BD的中点分别为 E、F、E′、F′、G、G′,△ BCD、△ CDA、△ DAB、△ ABC的重心分别为 A′、B′、C′、D′,则 AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′、GG′七线共点 .证明 如图 1 ,连结EF、FE′、E′ F′、F′ E,图 1则可得 EF ∥=12 AC,F′ E′∥=12 AC.即有 EF∥=F′ E′,故四边形 EFE′ F′是平行四边形 ,于是 EE′、FF′互相平分 .类似地 ,可证明 FF′、GG′互相平分 .故 EE′、FF′、GG′相交于它们的中点 .令 EE′的中点为 I,连结 EC、D… 相似文献
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余弦定理在四边形的一个推广 总被引:2,自引:1,他引:1
在△ABC中 ,设内角A ,B ,C的对边分别为a ,b,c,余弦定理cosB =a2 +c2 -b22ac ( 1 )是我们所熟悉的 .笔者在文 [1 ]中给出了余弦定理在四面体的推广 ,注意到文 [2 - 3]中给出了余弦定理在四边形的推广 ,本文试给出余弦定理在四边形的另一新颖推广 ,使得三角形的余弦定理成为该推广式极限情形的一个特例 .定理 记凸四边形ABCD的四边长依次为AB =a ,BC=b ,CD =c,DA =d ,两对角线长AC =p ,BD =q ,则cos(B+D) =(ac) 2 + (bd) 2 - (pq) 22abcd ( 2 )证明 如图 ,设两对角线交角为θ ,p ,q分别由p1 ,p2 与q1 ,q2 组成 .由余弦定理得p2 =… 相似文献
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有关凸四边形的一个性质重庆市南岸区四公里小学胡波我们知道,两条相互垂直的直线将长方形分成四个小长方形(如图1),其面积分别为S1,S2,S3,S4,则有S1×S4=S2×S3。S1S2S3S4图1若将两条互相垂直的直线改成对角线,长方形就分成了四个面... 相似文献
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美国数学家R.A.约翰逊在其名著[1]中,介绍了圆内接四边形的一个美妙性质,即定理1设四边形A1A2A3A4内接于圆,△A3A4A1,△A4A1A2,△A1A2A3的垂心分别为H2,H3,H4,则顶点A1是△H2H3H4的垂心.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的共球有限点集中.为了叙述简便和节省篇幅起 相似文献
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性质 如图 ,空间四边形ABCD中 ,点E分AB ,及点F分DC所成的比均为λ ,则EF =11 +λAD + λ1 +λBC .图 1证明 如图 ,过C点作CH∥AD且CH =AD ,连结AH ,则四边形ADCH为平行四边形 .设CB和CH确定的平面为α ,过F作AD的平行线交AH于G ,连结EG .因为E ,F分AB ,DC所成比为λ所以AGGH=DFFC=λ =AEEB,因为EF =EG +GF ,EG =λ1 +λBH ,所以EF =λ1 +λBH + λ1 +λHC + 11 +λAD=λ1 +λBC + 11 +λAD .又因为E ,G ,F分别为中点 ,所以EG =12 BH ,GF =AC =HC ,所以EF =12 BH +AD =12 (BH +HC) +12 AD =1… 相似文献
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定理凸四边形的两条对角线把四边形划分成的四个小三角形中,两组对顶的两个三角形面积之积相等。证明如图1,记∠AOB=a,△AOB、△COD、△AOD和△BOC的面积分别为S_1,S_2,S_3和S_4,则由三角形面积公式,可知 sin(180°-a)。故得S_1S_2=S_3S_4。在图1中,若AB∥CD,则S_△ACD=S_△BCD,可见S_3=S_4,再据定理,有 相似文献
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图1我们先了解关于圆内接三角形的一个性质.如图1,△x1y1z1为⊙O的内接三角形,P为圆内一点,x1P、y1P、z1P与圆分别交于x2、y2、z2.则△x1y1z1△x2y2z2=Px1·Py1·Pz1Px2·Py2·Pz2.注本文等式中的“△xyz”均表示△xyz的面积.简证设⊙O的半径为R,连z1O并延长交圆于y1′,连x1y1′,则∠x1y1z1=∠x1y1′z1.于是△x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1z1=12x1y1·y1z1·sin∠x1y1′z1=12x1y1·y1z1·x1z12R=14Rx1y1·y1z1·x1z1.同理△x2y2z2=14Rx2y2·y2z2·x2z2.故△x1y1z1△x2y2z2=x1y1·y1z1·x1z1x2y2·y2z2·x2z2= 相似文献
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设ABCD为圆内接四边形,连对角线AC和BD,设△ABC的内心为E,△BCD的内心为F,△CDA的内心为G,△DAB的内心为H,则四边形EFGH是一个矩形.如图1.图1图2证明如下:如图2,首先证明B,E,F,C四点共圆.连结BE、FC、BF、EC,则∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-(21∠ABC+21∠ACB)=180°-21(∠ABC+∠ACB)=180°-21(180°-∠BAC)=90°+12∠BAC,同理可证∠BFC=90°+21∠CDB,图3因为A,B,C,D四点共圆,所以∠BAC=∠CDB,从而∠BEC=∠BFC,即B,E,F,C四点共圆.其次证明∠HEF=90°.如图3,因为B,E,F,C共圆,所以∠FEC=∠FBC,同理可证,A,H,E,B四点共圆,从而也有∠HEA=∠HBA,则∠HEF=∠AEC-(∠FEC+∠HEA)=∠AEC-(∠FBC+∠HBA)=[180°-(∠EAC+ECA)]-(∠FBC+∠HBA)=180°-(21∠BAC+21∠BCA)-(21∠DBC+21∠DBA)=180°-12(∠BAC+∠BCA+∠DBC+∠DBA)=180°-12(∠BAC+... 相似文献