函数方程的另一种初等解法——递推法

《数学通报》87年第8期发表了《函数方程的一种初等解法——代换法》,本文给出这类问题的另一种初等解法——递推法。 用递推法解决函数方程问题的一般思路是:先由题给条件中寻找或建立函数值间的递推关系式,然后加以恰当地运用,最终使问题归     

探索“是否存在”型问题的若干策略

“是否存在”型问题是指判断满足某种条件的数学对象是否存在的命题,它是活跃在近年来高考试题中的一种“开放式”题型。笔者根据教学中的一些体会,对这类问题的解法作一系统的归纳和总结。一、特殊引路,探测结果寓矛盾的普遍性于特珠性之中,先从具体、特殊的实例入手思考,在直觉的指引下,探测出问题的结论,然后再作严格的论证。     

向量中两个问题的辨析

问题1　已知A( 3,4 ) ,B( 9,2 ) ,把向量AB按a( - 2 ,3)平移,求平移后所得向量的坐标.解　[解法1 ]　AB =( 6 ,- 2 ) ,根据平移公式x′=x - 2 ,y′=y + 3,那么平移后的AB =( 4 ,1 ) .[解法2 ]　根据平移公式得A ( 1 ,7) ,B( 7,5) ,那么AB =( 6 ,- 2 ) .辨析　两种解法结果不同,哪种方法对呢?解法1是先求向量AB再平移;解法2是先移A ,B两点再求向量AB .要解决这个问题,首先要搞清图形的平移与向量平移的区别.教材中讲的平移有两种:一种是图形平移,一种是向量平移.向量平移是不改变大小和方向的,当然坐标也不变,所以本题中AB =( 6 ,- 2…     

评析217——函数的近似图象应反映函数的基本性态

问题至截稿时止共收稿22篇.来稿一致认为原解法2正确,解法1错误,错误的原因是解法1所绘图象失真,错误地表现了函数的性态.函数g(x)=ln/x在[1/e,e]上的图象应是上凸的,而解法1中的图象却画成了先下凸再上凸(存在拐点),导致虽思路正确,但结果错误.当然也可用几何画板等作图.这启示我们:在利用数形结合思想解题时,虽然我们画出的只是函数的大致图象,但不能太随意,要     

云深不知处,只在此山中——例说构造法求存在性问题

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题,这类问题的知识覆盖面较广,综合性较强,题意构思非常精巧,解题方法灵活,对学生分析问题和解决问题的能力要求较高,是近几年来各地中考的"热点".这类题目解法的一般思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果,就     

巧用极端化方法解竞赛题

在一些存在性和与之相关的问题中,其解答常常处于极端情形中,而极端处的条件会更多一些、强一些,因此,我们从最值处,极端处入手,以此为突破口来设计解法,往往能快捷的求出解答或找到解题思路.     

对一类问题解法的质疑及改进的再思考

《中学生数学》2012年第4期上杨洁琼同学对求二项式展开式中系数最大项的系数一种解法的质疑,不仅发现了解法中存在的不足之处.而且给出了新的方法利用函数的单调性。笔者结合存在不足的解法和新解法,谈谈自己的一点点思考与看法.     

一道函数与导数压轴题的解法和命题思路分析

先介绍武汉市2023届高中毕业生二月调研考试第22题的解法,再分析试题的命题思路.     

联想与解题

联想是回忆该类问题的解法,从中受到启示,使得问题得以解决的一种解题思路,它是解题过程中思维活动的一个基本环节.……     

转化,让数学妙趣横生

<正>今天的数学课很有意思,老师让我们谈谈一道填空题的解法,想不到的是,我的解法竟然能跟他们"规矩派"的思路迥然不同,老师盛赞,让我们再想第三种解法,脑洞大开的我,居然又破天荒地想了出来,这可把我高兴坏了!今天这是怎么啦,数学细胞快捷繁殖么?言归正传,还是先看看题目吧!     

对一类问题解法的质疑及改进的再思考

《中学生数学》2012年第4期上杨洁琼同学对求二项式展开式中系数最大项的系数一种解法的质疑，不仅发现了解法中存在的不足之处．而且给出了新的方法一一利用函数的单调性．笔者结合存在不足的解法和新解法．谈谈自己的一点点思考与看法．     

繁解、简解与妙解

<正>题目是否存在实数m,使得不等式2x-1>m(x2-1)对满足-2≤x≤2的一切实数x都成立?这是某高三复习资料上的一道以不等式恒成立为背景的存在性问题,对于本题我们可以选择四种不同的解题视角,从而得到四种不同的解法,而四种解法有繁有简有妙解.下面给出这四种解题视角及其解法与读者分享.     

涂色问题解题举例

<正>涂色问题是排列组合中的重要题型,这类题的特点是:思路新颖、解法灵活、技巧性强,同学们在解这类题时常感困难,经常出错误.为帮助同学们解决这个问题,本文举例说明涂色问题的解法,供同学们参考.例1要用四种颜色给河北、河南、山东、山西四省的地图上色(见中国地图),每一省一种颜色,只要求相领省不同色,问共有几种不同的上色方法?解法1(元素分析法)分两类,一类用四种颜色涂,有A44=24种不同的方法.第二类用三种颜色涂,选三种颜     

方程（组）的几种特殊解法

方程（组）的几种特殊解法唐宗保（武汉市四十九中学４３００８２）方程与方程组的求解问题，是中学数学中的重要内容，有些方程（组）用常规方法不易求解，如果换一种思路，往往能出奇制胜．一、利用函数的单调性求解有一类方程很容易观察出其中一解，但是否还有其它解呢...     

对“做作业的点滴体会”一文的意見

看到数学通报1964年12月号上王菅生同学写的“做作业的点滴体会”一文后,对我很有启发。作者通过一系列例子说明了不少问题,颇能发人深思。但是,我对该文的某些地方也还有一些不同的意见,现在提出来和王菅生同学商榷,并请大家指正。一.关于三角方程sin~2x-cos~2x=cosx的解法作者提出了两种解法。第一种解法是把原方程变形为:2cos~2x+cosx-1=0,然后再把左端因式分解;第二种解法是先把原方程变形为2sin~2x=1+cosx,然后再用半角的三角函数的公式把上述方程继续变形     

关于2011年CUMCM-D题的一种解法与若干思考

本文系2011年全国大学生数学建模竞赛专科组高教社杯获得者针对本年度竞赛D题的一种解法与若干思考的阐述。首先系统介绍了对此题认识和解题思路,其次提供了一类基于启发式算法求解此问题的参考解法,最后对该问题提出了进一步研究的一个方向。     

通过一道最值问题的求解研究其命制原理

对于一道最值问题,分析求解思路,总结了此类问题的两种解法,探究了此类问题的命制原理.     

简化一类对称点问题的解法

已知某曲线上存在着两个关于某直线对称的点,求参数的取植范围.这类问题多采用创造一个二次式,然后用判别式解之。笔者进行几种解法此较,觉得还是如下解法简练:先求出两点所在直线与对称直线的交点,然后使交点在曲线内部.举例如下: 例1 为使曲线y=x~2存在两个对称于直线y=m(x-3)的点,求m存在的范围。     

以美启真 优化解题

在数学史上 ,数学美是数学发展的伟大动力之一 .同时 ,数学美在微观上也是数学解题中探求思路、发现解法的一个源泉 .由于数学美的考虑而导致解题思路的设计与发现 ,即以美启真 ,这种解题策略是将数学的简单性、对称性、和谐性、奇异性与问题的条件和结论相结合 ,再凭借已有的知识经验与审美直觉 ,从而确定解题的总体思路或入手方向 .它是数学解题中的一个重要策略 .一、追求简洁性 ,探求解题捷径简洁性是数学美的特征之一 ,许多数学问题的表现形式看起来较为复杂 ,但本质总会存在着简单的一面 .因此 ,如果能用简单的知识、简化的方法对问题…     

巧用垂棱线 妙求二面角

<正>利用空间向量求二面角大小的通法是:先建立空间直角坐标系,再求二面角两个面的法向量的坐标,然后求两个法向量的夹角,最后由二面角的平面角与法向量的夹角相等或互补得出二面角的大小.这种解法虽然思路简明,但其解题过程往往有较大的运算量,不仅耗时费力,还容易计算错误.本文介绍一种利用垂棱向量求二面角大小的解法,供参考.