等腰梯形面积又一公式

我在做一道求三角形面积的习题时用到了海伦公式:s△ABC=p(P-a)(p-b)(p-c)~(1/2)[其中a、b、c为△ABC的三边长,p=1/2(a n c)]。此后又做了一道关于等腰梯形面积的习题,出于好奇,我把其数据代人海伦公式的类比公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)~(1/2)[其中a、b、c、d为等腰梯形的四条边长,p=1/12(a b c d)],发现结果是正确结论的p~(1/2)倍.     

再谈tgA tgB tgC=tgAtgBtgC

这是高中代数上册一道习题:在△ABC中,求证:tgA tgB tgC=tgAtgBtgC成立。不少文章介绍了它应用。本文再列举几例。例1 求证海伦公式 S△ABC=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中,a,b,c是△ABC的三条边长,p=(a b c)/2。     

Ⅰ.求三角形面积新法

中学课本中提到的这种求三角形的面积的方法大家是熟悉的:已知三角形的三条边长a、b、c,那么利用海伦公式,就有面积=s(s-a)(s-b)(s-c)~(1/2)其中,s=1/2(a b c)。由于海伦公式的推导比较复     

四面体中一个优美的公式——类海伦公式

古希腊几何学家海伦（Heron）在著作《度量》中提出并证明了已知三角形三边长求面积公式：用a,b,c表示三角形的边长,p表示三角形的半周长,     

一个数列模型的深化及其应用

在高中代数下册中,有这样一道习题:“已知数列{an}的项满足a1=b, an+1=can+d.其中c≠0,c≠1,证明这个数列通项公式是     

“海伦公式”的历史

已知三角形的三个边a,b,c,求它的面积S,有公式 S=(p(p-a)(p-b)(p-c))~1/2 (1)其中p=(a b c)/2。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何課本上一般都有介紹。人們以为这个公式一定是海伦所首先发現,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊末期,亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我們还不知道,大概在公元1-3世紀期間。     

海伦公式的平几法简证

若△ABC三边长为a、b、c,则它的面积: ① (P为半周长) ①式即著名的海伦公式.本文提供平面几何的证法. 证明不妨设a≥b≥c.由于最大边上的高必在△ABC内部.故选择添BC边上的高AD.(见上图).令AD=h,BD=z,DC=y.     

秦九韶—海伦公式的两种新证

设△ABC三边长度BC=a,CA=b,AB=c,面积为△,并记s=1/2(a b c),则△=s(s-a)(s-b)(s-c)/~(1/2) (1)式就是众所周知的秦九韶—海伦公式.至于秦九韶一海伦公式的证明已有种种,这里再给出两种证法.其证法1,回避了一般考参书上所用的三角方法,连初二同学都能看懂的代数证法.其证法2乃是一种构思独特的解析证法. 证法1:如图所示,设∠B,∠C为锐角,作BC边上的高     

(二)一个等比数列问题

高中代数有这样一道习题: 已知a,b,c,d成等比数列,求证a+b,b+c,c+d成等比数列。 .这是一个错题,如取a=1,b=一1。c=7,d=-1,显然a,b,c,d成等比数列,但a+b,b+c,c十d都为0,即不成等比数列。因此,须将条件改为:a, b,c,d是公比不为一1的等比数列。     

一个三角形不等式猜想的否定

文[1]中,褚小光先生建立了一个涉及三角形中线和旁切圆半径的不等式:　　　　∑1m2a r2a≤92s2.(1)并且提出了如下猜想:　　　　∑1m2a r2a≥6∑a2.(2)其中a、b、c为△ABC的三边,ma、mb、mc,ra、rb、rc分别为三边上的中线和旁切圆半径,s为半周长.本文否定这一猜想,并得到定理　在非钝角三角形ABC中,有　　　　∑1m2a r2a≤6∑a2.(3)证明　根据三角形中线公式ma=122b2 2c2-a2,旁切圆半径公式ra=△s-a以及海伦公式△=s(s-a)(s-b)(s-c)(△为△ABC的面积),(3)式等价于　　　　∑a2 b2 c2m2a r2a-6≤0　∑(a2 b2 c2)-2(m2a r2a)m2a r2a≤0　…     

严格一道课本习题

教材数列中有这样一道习题:已知a~2,b~2,c~2成等差数列。求证1/(b c),1/(c a),1/(a b)也成等差数列。严格地说,这条命题不真,它忽略了|a|=|b|=|c|时,分式1/(b c)等可能无意义。弥补的办法是加以限制条件:(a b)(b c)(c a)≠0。这时,关于它的证明也严格了。 a~2、b~2、c~2成等差数列(?)b~2-a~2=c~2-b~2 (?)(b-a)(b a)=(c-b)(c b)(其中a b,c d(?)0)(?)(b-a)/(b c)=(c-b)/(b a)①有1/(c a)-1/(b c)=1/(c a)·1/(b c)     

IMO试题与欧拉不等式

1　欧拉不等式设△ ABC外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则有　 R≥ 2 r ( 1 )下面寻找该不等式的几种等价形式 .记△为△ ABC的面积 ,s为半周长 ,则△ =rs=abc4R,∴　 4R△ =abc,8△2s =8r△ ,从而 R≥ 2 r等价于 abc≥ 8△2s,由海伦公式 ,又可得欧拉不等式的另一等价形式abc≥ 8( s- a) ( s- b) ( s- c) ( 2 )式 ( 2 )又等价于abc≥ ( b c- a) ( c a- b) ( a b- c) ( 3)对式 ( 3)简证如下 :a2≥ a2 - ( b - c) 2=( a b - c) ( c a - b) ,b2 ≥ b2 - ( c- a) 2=( b c- a) ( a b - c) ,c2 ≥ c2 - ( a - b) 2=( c a - b) (…     

探索:奏响数学美的乐章

这是一道在许多数学书刊可以轻易查到的习题:设a,b,c为两两不相等的有理数,求证:     

对一道不等式习题的探究性学习

人教版教材高中数学第二册 (上 ) (必修 )第30页有这样一道习题 :已知a >b>c ,求证 :1a -b 1b -c 1c -a>0 .这样一道看似普通的不等式习题 ,却蕴涵着丰富的教学功能 .笔者在教学中从这道习题出发 ,引导学生开展了一次数学探究活动 .探究 1　 变题题 1　已知a>b >c,求证 1a -b     

四边形的面积

中学数学实际上计算了两种凸四边形(平行四边形和梯形)的面积。对于不是平行四边形或梯形的四边形,没有推导出它的面积公式。因此,我们来考虑任意凸四边形面积的计算公式,如果考虑到其某种外形相似处,那么可以把这个公式叫做海伦公式的类似公式。定理:任意凸四边形面积可按照下列公式确定: S=A-abcd 2cos~2δ β/(1/2)其中A=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d),a,b,c,d是边长,p是半周长,δ和β是四边形的对角。证明设在四边     

巧证九韶——海伦公式

九韶——海伦公式:设△ABC的边长为a,b,c,记p=a 2b c,则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).证明(1)若△ABC是直角三角形,不妨设∠A为直角,则有b2 c2=a2,p(p-a)(p-b)(p-c)=a b c2·b 2c-a·c 2a-b·a 2b-c=(b c4)2-a2·a2-(4b-c)2=2bc1·62bc=12bc=S△ABC(2)若△ABC是锐角三角形,作出一个侧棱两两互相垂直的三棱锥P-A′B′C′.且使PA′2=b2 2c2-a2,PB′2=c2 a22-b2,PC′2=a2 2b2-c2,则PA′2 PB′2=c2,PB′2 PC′2=a2,PC′2 PA′2=b2,即A′B′=c,B′C′=a,C′A′=b,从而可用△ABC替换△A′B′C′.作AD⊥BC于D,连PD,易知:PA⊥…     

一道三角形最值题的多视角求解

<正>题目在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=2b,△ABC的面积为2,则边a的最小值为___.分析1本题是一道限制条件下的三角形最值问题,主要考查余弦定理和三角形面积问题,通常情况下求解本题从正余弦定理与三角形面积公式的解题视角入手,凭借已知条件确定所求量的关系式,然后根据所学知识采取相应的解题方法求出最值即可.     

一个不等式的简单证法

<正>贵刊2014年6月(下)课外练习题初三年级第2题是2013年7月(下)课外练习题初三年级第3题的再现,同题异证,各有所长,且同期《别证一个不等式》一文又给出另一种证法,令人耳目一新,三种证法从不同角度给出求解过程,认真研读,很受启迪.下面再给出一种初中生易理解和接受的简单证法,供读者参阅.题目设△ABC的三边长a、b、c,面积为S,求证:a2+b2+c2≥431/2S.证明设三角形半周长p=1/2(a+b+c),由秦九韶—海伦公式,     

一个不等式的证明及推广

1 问题的提出 数学第二册（上）有这样一道习题；已知a〉b〉c求证：1/a-b＋1/b-c＋1/c-a〉0．     

先决条件不可忽视

小华和小明正在做一道“应用不等式求最值”的习题:已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求ab~2c~3的最大值。小华解:∵a+b+c=a+ b/2+b/2+c/3+c/3+c/3≥6((a(b/2)~2(c/3)~3)~(1/6)) ∴1≥6((ab~2c~3)~(1/6))/108)),即ab~2~3≤1/432. ∴ab~2c~3的最大值为1/432。小明解:根据a+b+b+c+c+c≥6((ab~2c~3)~(1/6)),当且仅当a=b=c时取等号,右式最大。又∵a+b+c=1,∴a=b=c=1/3。得ab~2c~3=1/729,既ab~2c~3的最大值为两1/729。小华看着小明的结果,诧异地说:“我们都为都是应用正数的算术平均≥几何平均’,结果怎么不同呢?”小