可积的Riccati微分方程的不变量变换讨论

对于可积的Riccati微分方程:L[y]=-y′+p(x)yn+Q(x)y+R(x)(p(x)R(x)≠0,n≠0,1)(0)L[y]=-y′+p(x)y2+Q(x)y+R(x)(p(x)R(x)≠0)(1)利用其不变量变换,给出方程(0)和(1)的可积充分条件,并对方程(1)的特解形式L[y0]=0,讨论其不变量变换的等效性;同时,对方程(1)的非特解形式L[y0]≠0,讨论其可积性.     

圆锥曲线划分平面的定理及其证明

关于直线划分平面有一个容易记忆,应用方便的重要结论。即,直线l:f(x,y)≡Ax+By+C=0(简记为f(x,y)=0)把平面上不在l上的点划分成两个区域,点P_1(x_1,y_1)和P_2(x_2,y_2)在同一个区域(或在不同区域)的充要条件是函数值f(x_1,y_1)和f(x_2,y_2)同号(或异号)(见文[2])。对于圆锥曲线Γ:F(x,y)≡Ax~2+2Bxy+Cy~2+2Dx+2Ey+F=0(简记为F(x,y)=0),如果我们约定,圆     

三角函数周期的探讨

有高中“三角函数”这一章中,我们知道y =Asin(ωx + φ) (x∈R ,Aω≠0 ,A ,ω,φ为常数)与y =Acos(ωx + φ) (x∈R ,Aω≠0 ,A ,ω,φ为常数)及y =Asin2 (ωx + φ) (x∈R ,Aω≠0 ,A ,ω,φ为常数)与y =Acos2 (ωx +φ) (x∈R ,A·ω≠0 ,A ,ω,φ为常数)这些三角函数的周期.那么,三角函数y =Asinn(ωx+ φ)与y =Acosn(ωx + φ) (A·ω≠0 ,A ,ω,φ为常数x∈R)的周期又是怎样的呢?定理1　1 )函数y =sinnx (x∈R) .当n为偶数时的周期为kπ,(k∈Z ,k≠0 ) ,最小正周期为π;当n为奇数时,周期为2kπ(k∈Z ,k≠0 ) ,最小正周期为…     

涉及抛物线的一条性质

文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题　如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明　设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴　 x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 ,　 x1…     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

中点弦所在的直线方程

已知平面上一点M(x_0,y_0)以及二次曲线C: Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)简记为G(x,y)=0。又方程Ax_o+B(y_0+x_0y)/2+Cy_0+D(x+x_0)/2+E(y+y_0)/2+F=0简记为 G＇_(x_0,y_0)(x,y)=0 (2)显然有① G＇_(x_0,y_0)(x,y)=G＇_(x,y)(x_0,y_0) ② G＇_(x_0,y_0)(x_0,y_0)=G(x_0,y_0)我们有如下众所周知的结论1)当M(x_0,y_0)在曲线(1)上时,方程(2)表     

2004年第二期初中数学问题解答

一、如果x+1x =3 ,求 x2x4+x2 +1 的值 .解 :x2x4+x2 +1 =x2(x2 +1 ) 2 -x2 =1(x+1x) 2 -1=13 2 -1 =18.答 :略 .二、设y=|x -1 |+|x -3 |+4x2 +4x +1 ,试求使y值恒等于常数时 ,x的取值范围 .解 :∵y =|x-1 |+|x-3 |+4x2 +4x +1=|x-1 |+|x-3 |+|2x+1 |.要使y的值恒等于常数 ,必需在去绝对值后式中不含x的项 ,所以得①x-1≤ 0 ,x-3≤ 0 ,2x+1≥ 0 ;　或　②x-1≥ 0 ,x-3≥ 0 ,2x+1≤ 0 .①解得 -12 ≤x≤ 1 ;②无解 .因此 ,当 -12 ≤x≤ 1时 ,y的值恒等于常数 :y=-(x -1 ) -(x -3 ) +( 2x +1 ) =5 .答 :略 .三、△ABC中 ,∠A是最小角 ,∠B…     

Riccati方程dy/dx+ay~2=bx'可积的充分条件的探求

对于Riccati方程:dy/dx+ay~2=bx~m(a,b,m为常数,且ab≠0)(1)给出积充分条件:m=0,-2,-4k/(2k+1),-4k/(2k-1)(k=1,2,…)(2)的一种求法.     

探究案例一则

又到了第二课堂活动时间 ,笔者给出了下面这道题让同学们解答、探究 .题目　给定双曲线x2 - y22 =1,过点P( 1,1)能否作直线l ,使l与此双曲线交于Q1,Q2 两点 ,且点P是线段Q1Q2 的中点 ?不一会儿 ,S1同学给出了这样的解答 :假设存在符合题意的直线l,设Q1(x1,y1) ,Q2 (x2 ,y2 ) ,则有x21- y212 =1( 1)x22 - y222 =1( 2 )( 1) - ( 2 )得 :(x1+x2 ) (x1-x2 ) =12 ( y1+ y2 ) ( y1- y2 ) ,显然x1-x2 ≠ 0 ,y1+ y2 ≠ 0 ,∴有 y1- y2x1-x2=2 (x1+x2 )y1+y2,由P( 1,1)为线段Q1Q2 中点 ,有x1+x2 =2 ,y1+ y2 =2 ,则k =2 ,所求直线方程 :y =2x - 1…     

线性模型中的一个假设检验问题(英文)

本文讨论了多元线性模型中的一个假设检验问题。假定 的各行独立、正态、同协差阵Ⅴ。现在要检验假设H_0:存在矩阵C使θ=Cη是否成立。首先可将问题化为法式的形式,对法式分两种情况进行讨论: (一)V=σ~2I, σ~2未知。此时可求出θ, C,σ~2的最大似然估计(当H_0成立时)是中的资料阵y_1,y_2,d1,…,d_K是y′_3y_3的全部特征根。λ_1~*≥…λ_(p+q)~*是(y_1 y_2)(y′_1 y′_2)的全部 Λ=sum from j=p+1 to k /sum from j-1 to k d_j,λ_1≥λ_2…≥λ_k是y′_1y1+y′_2y_2的全部特征根。 (二)一般情形V未知。此时θ,C的估计量同前,可求出 (?)=1/n(y′_2T_(22)T′_(22)y_2+y′_3y_3).H_0相应的Lawley不变检验是 sum from j=p+1 to k β_j≥α_1,其中β_1≥β_2≥…≥β_k是y′1y_1+y′_2y_2的相对于y′_3y_3的全部特征根。 有关Λ的以及sum from j=p+1 to k β_j的极限分布将在另外的文章中讨论。     

2006年高考数学全国卷Ⅰ

一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.1.设集合M={x|x2-x<0},N={x||x|<2},则A.M∩N=B.M∩N=MC.M∪N=MD.M∪N=R2.已知函数y=ex的图像与函数y=f(x)的图像关于直线y=x对称,则A.f(2x)=e2x(x∈R)B.f(2x)=ln2·lnx(x>0)C.f(2x)=2ex(x∈R)D.f(2x)=lnx+ln2(x>0)3.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m=A.-41B.-4C.4D.414.如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数=A.1B.-1C.2D.-25.函数f(x)=tanx+4π的单调增区间为A.kπ-2π,kπ+2π,k∈ZB.(kπ,(k+1)π),k∈ZC.kπ-34π,kπ+4π,k∈ZD.kπ-4π,kπ+34π,k∈Z6.△ABC的内角A、B、…     

方程x_0x=p(y+y_0)的几何意义

1方程x_0x=P(y+y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)在点P(x_0,y_0)处的切线方程在现行高中数学教材中,利用导数的意义,证明了如下性质:性质1 P(x_0,y_0)是抛物线x~2=2py(p>0)上一点,则抛物线过点P的切线方程为x_0x= p(y_0+y).     

用初等变换法求Riccati方程的特解

一般的 Riccati方程 :dydx=p( x) y2 +q( x) y +r( x) ( 1 )其中 p( x)、q( x)、r( x)在区间 [a,b]上连续 ,而且 p( x)≠ 0。只利用初等积分法不一定能求出它的通解 ,但是 ,如果 p( x)、q( x)、r( x)是一些特殊的函数 ,那么 ( 1 )的通解就可能完全利用初等积分法求出来。另外我们知道 ,只要求得 ( 1 )的一个特解 ,再对 ( 1 )作适当的变换 ,就可以求出它的通解 ,可见求特解是关键。本文利用初等变换的方法 ,给出三种不同类型的 Riccati方程特解的简便求法。我们约定用 A( x)表示多项式 A( X)的次数 ,结论一　p( x)为常数 ,1 ) q( x) =0 ,…     

常系数非齐次线性微分方程特解的一种求法--升阶法

考虑 n阶常系数非齐次线性方程y(n) +p1y(n- 1) +… +pn- 1y′+pny =f ( x) ( 1 )方程 ( 1 )的通解等于其对应的齐次方程y(n) +p1y(n- 1) +… +pn- 1y′+pny =0 ( 2 )的通解与它本身的一个特解之和。而方程 ( 2 )的通解 ,只要能求得 ( 2 )对应的特征方程的特征根 ,则( 2 )的通解问题就解决了。因此 ,求得 ( 1 )的一个特解就成为求微分方程 ( 1 )的通解的关键了。一般常微分方程教材或参考书 ,对于 f( x)的不同类型 ,分别采用降阶法、待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、算子法等方法求得其特解。本文再介绍一种新的方法——升阶法 ,用…     

高斯公式应用小议

在利用高斯公式计算曲面积分时 ,许多学生往往忽视了对定理条件的考察。比如 :同济四版《高等数学》下册总习题十的第 3 ( 4)题就是一例。例 1 :计算 ∑xdydz +ydzdx +zdxdy( x2 +y2 +z2 ) 3 ,其中 ∑:1 -z5=( x -2 ) 21 6+( y -1 ) 29( z≥ 0 )上侧。多数学生在利用高斯公式求解时 ,做法如下 :解 :令 P =x( x2 +y2 +z2 ) 3 ,Q =y( x2 +y2 +z2 ) 3 ,R =zx2 +y2 +z2 ) 3 ,补 ∑1:z =0 ( x -2 ) 21 6+( y -1 ) 29≤ 1 下侧。于是由高斯公式得 : ∑+ ∑ 1Pdydz +Qdzdx +Rdxdy = Ω P x+ Q y+ R z dv Ω0 dv =0 ,其中Ω为由 ∑ +∑1所围区…     

综合题新编选登

题 8 2 　已知函数 f(x) =- x3 +ax2 +b(a,b∈R) .1)若函数 y=f(x)图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求证 :- 3相似文献   

综合题新编选登

题 98 　设抛物线y2 =2px (p >0 )的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A ,B两点 ,点M在抛物线的准线上 ,O为坐标原点 ,求证 :1)MA ,MF ,MB的斜率成等差数列 ;2 )当MA⊥MB时 ,∠MFO =|∠BMF -∠AMF|.证　 1)设MA ,MF ,MB的斜率分别为k1,k ,k2 ,点A ,B ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,(- p2 ,m) .图 1　第 98题图因AB经过点F(p2 ,0 ) ,所以AB的方程可设为x =ty +p2 ,代入抛物线方程 y2=2 px ,得 y2 - 2 pty - p2 =0 .由根与系数关系可知 ,y1y2 =- p2 .注意到 y12 =2 px1,y22 =2 px2 ,得x1+p2 =y122 p+p2 =12 p(y2 +p2 ) …     

關於利卡迪方程的幾個可稹情形

1. 設在利卡迪方程 dy/dx=f(x)y~2+g(x)y+h(x) (1)中,係數f(x),g(x),h(x)均在某區間a相似文献   

初中数学总复习(三)(函数与解三角形)

1.填空题 (1)(陕西榆林1993)已知y=y_1 y_2,y_1与x成正比例,y_2与x成反比例,并且x=1时,y=4;x=2时,y=5.则x=4时,y的值是_______ (2)(徐州市1992)直线y=kx b经过点(0,4)且平行于直线y=-x,则k=______ ,b=_______.     

函数思想在数学解题中的应用

所谓函数思想的运用 ,就是对于一个实际问题或数学问题 ,构建一个相应的函数 ,用函数的有关知识去分析问题 ,最终达到目的———解决问题 .运用函数思想解题是中学数学中的一种重要方法 .下面举例说明函数思想在数学解题中的应用 .1　求值例 1　设x ,y∈R ,且 (x - 1 ) 3 +2 0 0 3(x- 1 ) =- 1 ,(y - 1 ) 3 +2 0 0 3(y - 1 ) =1 ,求x+y的值 .解　设 f(t) =t3 +2 0 0 3t,易知 f(t)是奇函数 ,且在R上是增函数 ,故由已知条件得f(x - 1 ) =- f(y - 1 ) =f(1 - y) ,∴x - 1 =1 - y ,∴x +y =2 .例 2　已知x ,y∈ - π4 ,π4 ,a∈R且x3 +sinx - …