关于公式1+2+…+n=(n(n+1))/2

<正>九年义务教育三年制初中《代数》第一册(上)第38页,B组第二题为:正整数从1开始,逐个相加,一直加到n,它们的和记作s,即s=1+2+3+…+n(n表示一个正整数),写出计算s的公式.这道题目中含有字母且设问富有思考性,解题方法体现了数学方法,更重要的是结果能作公式用,而且应用分层次用.为帮助同学理解这些特点,现对这道题进行解读,供同学们参考.     

差分方程x_(n+1)=x_n+(x_n~α)/(n~β)解的渐近性

我们研究差分方程(1)的解的渐近性和全局吸引性.     

“特征根法”求a_(n+1)=(sa_n+t)/(pa_n+q)的通项公式的几何背景

我们常用特征根法求解这样的一类题目:已知数列{an}的首项为a1,且满足an+1=san+t/pan+q(其中n∈N+,s,t,p∈R且p≠0),求数列的通项公式.解决问题的方法如下     

从(n 1)/n×(n 1)=(n 1)/n (n 1)谈起

一问题的提出本刊2003年第5期刊载了《运用发现法解题》(以下简称《解题》)一文,文章在谈到“归纳发现法”时,提到这样一个例子: 1.观察下列各式     

由递推式a_(n+1)=pa_n+f(n)求通项的方法

一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数     

数列a_n=n(n+1)前n项和公式的三种推导方法

<正>在《数列》教学过程中,很多学生对数列a_n=n(n+1)前n项和公式S_n=n(n+1)(n+2)/3比较陌生,为了让学生在了解课本知识的基础上有所拓展,本文特总结了3种证明方法,以期为学生解决疑惑,起到举一反三的效果.证法1∵a_n=n(n+1)=n~2+n,     

用转化法求 a_(n+1)=pa_n+f(n)型的数列通项

本文重点介绍a.+,=p“,十。(‘为常数)型和u,、二灿十少了元少型的数列求通项的方法, 当户“0或l时,其解法是常见的,此处从略,否则,可用下法作转化: 等式两边同除以产‘’(P半(j),则有砂织产”声织P”‘一牛十渗李 尹尹令“一合 从而得举例如下: 。_、_一二一、*。左止、.二、I‘,一人.十1、羌人人月,lj 产犷且,:=八+尺”),这样就不难求其通项,口.+l2.十‘已知数列{a.},‘z。=l,‘,,,l=2“.+2·,求‘,。.由‘·,=2。+2,,两边同除以2内,得=牛十吝,今八一牛,一2’’2’丫二知一2”,例解则‘+,一二+告,…八“,1,一‘),“一“+‘一‘)·告一省…     

关于Diophantine方程(n+1)+(n+2)y=nz

设n是正整数.本文证明了:方程(n+1)+(n+2)y=nz仅当n=3时有正整数解(y,z)=(1,2).     

元素d_(ij)=(i+j-1)~2的n阶行列式的性质

设n阶行列式D_n的元素d_(ij)=(i+j-1)~2,本文讨论了D_n的一些性质,概括为:D_n的任一二阶子式为负数;D_n的任一三阶子式为负偶数;D_n的任一四阶子式和四阶以上的子式均为零,特别D_n=0.还讨论了四个连续正整数的平方数之间的关系,并推出了计算任一三阶子式的简便公式.     

F(x_1,x_2)=(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2)型函数相关问题的转化方法

<正>近年来,纵观全国各省市高考及自主招生考试的命题,形如标题中所提到的函数形式极为常见.问题有不同的设问方式,落点在于不等式的证明,或者在于解参数值.但是,此类问题最终可以通过转化,利用相似的方法来解决.本文将结合近三年各省市的高考真题、自招试题、高考模拟试题,重点对这类问题的两种不同的处理方法进行梳理与总结.     

(一)近似公式(1+α)~n≈1+nα的条件

高中代数教材介绍了如下的近似公式: “当α的绝对值与1相比很小时,(1+a)~n的近似值可用公式(1+α)~n≈1+nα来计算。”其实,在仅有α的绝对值与1相比很小的条件下,运用(1+α)~n≈l+nα来计算,往往得到不可思议的结果。如计算(1-0.001)~2000。这里-0.001的绝对值与1相比很小,若按上述公式计算:(1-0.001)~2000=1-2000×0.001=-1。显然(1-0.001)~2000是个正值,而经过公式近似成了一个负值,荒谬。由此可见,仅有α的绝对值与1相比很小还不行,得须加上条件:nα的绝对值与1相比也很小。     

递推数列x_(n+1)=f(x_n)的单调性与收敛性讨论

利用函数单调递增对递推数列xn+1=f(xn)单调性进行讨论,在对递推数列收敛性作分析的基础上,得到使得递推数列收敛的初始迭代值的区域,讨论的方法可以用于类似问题的研究.     

关于n阶矩阵m次方幂的通项公式问题

先看一道题。为解此题,自然会想到这个矩阵的方幂组成的一列矩阵,会不会有通项公式(简称矩阵的通项公式)对于数列存在有无通项公式的问题,矩阵也同样存在这个问题。只是比数列的情况复杂了许多。     

On positive integers n with $$\sigma _l (2n+1)<\sigma _l (2n)$$ σ l ( 2 n + 1 ) < σ l ( 2 n )

Periodica Mathematica Hungarica - For any integer l and any positive integer n, let $$ \sigma _{l}(n)=\sum _{d\mid n}d^{l}$$ . In 1936, Erd?s proved that the set of positive integers n with...     

关于周期数列的通项公式

利用三角数列系的正交性,可以得到周期数列的一种最简单、最明朗的通项公式。 1 三角数列系及其正交性 定义1 若p=2m(m为自然数),则称数列系统。     

用函数性质研究数列x_(n 1)=f(x_n)

二阶递归数列x_(n 1)=f(x_n)对应的函数y=f(x)称为递归函数。用递归函数研究数列的单调性、有界性和极限等,是十分方便的。一、关于单调性从图上(如图1)分析,可发现决定数列增(减)的关键为:在数列各项x_i(i=1,2,…)取     

对公式(n-1) (n-2) … 2 1=n(n-1)/2的认识

在学习过程中,有许多同学对公式(n-1) (n-2) … 2 1=n(n-1)/2记忆不牢固.其主要的原因恐怕是没有理解此公式的意义.本文通过从不同的角度说明其意义,以帮助同学们真正掌握此公式,并能进行灵活运用. 一、从数量的角度思考方法1 在数列n-1、n-2、…、2、1中, (1)若,n-1为偶数,则易知数列中间的两     

关于数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的极限

用单调有界定理证明了数列{Γ(n+1/2)/√nΓ(n/2)}+∞n=1的奇子列和偶子列极限的存在性,并给出了该数列的极限为1/√2.本文所得结果对帮助学生更好理解概率统计论中t分布密度函数的极限函数的证明有一定指导作用.     

关于函数项级数∑(-1)n(x+n)n/nn+1在[0,1]上的一致收敛性判定

讨论了函数项级数∑(-1)n 1在[0,1]上的一致收敛性判定的两个方法,同时对[1]中的判别方法作了一些补充.     

S_(ABCD)=(abcd-(pk-ad)~2)～(1/2)——圆外切四边形面积公式

著名的布拉麦高塔(Brahmaguta)定理已给出圆内接四边形面积公式,书中可常见,而圆外切四边形面积公式却鲜为人知.问边长为a,b,c,d的圆外切四边形的面积S是多少?答曰:S≤abcd.这是因为仅知边长为a,b,c,d的圆外切四边形,其形状无法确定(或者说它可以外切于无数个半径相异的圆),所以,其面积无法确定———有无穷多个值,其中有一个最大值为abcd.然而,边长一定的圆内接四边形却又有确定的面积值.这是因为它不仅边长一定,并且还隐含着一个制约条件:“圆内接四边形的对角和等于180°”.从而固定了四边形的形状,所以,面积唯一.同理,给边长一定的圆…