用向量巧解竞赛题

教材中新增了向量的内容,向量将数、形、角、长度相结合,应用较广．本文介绍用向量巧解几道竞赛题．例1已知a·(1-b2)~(1/2) b·(1-a2)~(1/2)=1,求证:a2 b2=1．(第3届“希望杯”全国数学邀请赛高二第2试)     

利用构图法解一道染色问题竞赛题

<正>试题(2017年大梦杯福建省初中数学竞赛)将平面上每个点都以红、蓝两色之一染色.证明:(1)对任意正数a,无论如何染色,平面上总存在两个端点同色且长度为a的线段;(2)无论如何染色,平面上总存在三个顶点同色的直角三角形;(3)无论如何染色,平面上总存在三个顶点同色且面积为2017的直角三角形.     

用柯西不等式巧解竞赛题

用柯西不等式巧解竞赛题２１５６００江苏张家港市一中任夏明设ａ１，ａ２，…，ａｎ及ｂ１，ｂ２，…，ｂｎ为任意实数，则当且仅当时等号成立．此即柯西不等式．对某些竞赛题，若能注意因式的巧妙分拆，结构的灵活变形，并应用柯西不等式，常能收到出奇制胜的效果．例１...     

用二进位制巧解一道竞赛题

题目 :(第四届美国数学邀请赛试题 )递增数列 1 ,3,4 ,9,1 0 ,1 2 ,1 3,…由一些正整数组成 ,它们或者是 3的幂 ,或者是若干个不同的 3的幂之和 ,此数列的第 1 0 0项为(　　 ) .( A) 72 9　 ( B) 972　 ( C) 2 4 3　 ( D) 981解　可把问题看作从 1 ,3,32 ,… ,3n中任取一个或几个的和组成 (不可重复 ) ,即对于任一个 3的幂 ,只存在取与不取两种情况 .∴　可把这种情况看成 1个 2进制数 ,其中 1表示取其对应的 3的幂 ,0表示不取 .∵　这样可把二进制数的大小与这一递增数列一一对应起来 .二进制 110 1110 0 10 1110数　列 134910 12二进制…     

构图法巧解锐角三角函数题

在锐角三角函数习题中,有些习题若用构图法能把较难的问题变得容易、直观地解决·下面特举数例,加以说明,供读者参考·一、求锐角三角函数值问题例1不查表求cot15°的值·分析:由于15°为30°的一半,这启示我们要构造一个含有30°角的直角三角形和一个含有15°角的直角三角形,再用余切求之·解:作Rt△ABC,使∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA到点D,使AD=AB,连结BD,(如图1)设BC=1,则∠D=15°,AD=AB=2,AC=3,∴CD=2 3,∴cot15°=BCCD=2 3·例2已知3sinA=4sinB,3cosA 4cosB=3,且A、B都是锐角,求sinA cosB的值·分析:由题设的结构特点,…     

用对偶式巧解三角竞赛题

所谓对偶式,就是成对出现的对称结构. 在三角函数求值中,根据三角函数式的对称结构,灵活构造对偶式,不但可以简化计算,还能切身体会数学中的对称美.     

巧解一道竞赛题

<正>~~     

用向量的性质巧解一类竞赛题

向量是新教材中的一个重点内容,笔者发现利用向量的性质可解方程(组)．思路新颖,简洁明快,略举两例,供读者参考．     

用导数知识巧解两道竞赛题

学习导数以后，我发现它是一个很好的工具，应用非常广泛，为很多问题的解决提供了新的视角和思路．     

构造方程巧解竞赛题

利用两数和与积构造一元二次方程,是初中数学的重要内容,在数学的应用中有着重要作用.运用构造方程解决有关的数学竞赛题,能开拓思维空间,提高解题能力,使人耳目一新,感受到数学的无穷魅力,提高对数学的兴趣.求代数式的值     

巧构重心解竞赛题

2004年全国高中数学联赛选择题4为: 设O点在△ABC内部,且有OA十ZOB+ 3OC一O,则△ABC的面积与△AO〔:的面积之 比为(). ,‘、。,~、3,~、八,~、5 又八,乙气廿)万又七,d又U,了 预备知识若OA+OB十OC一。,则O为 △ABC的重心,且△AOB、△BOC、△AOC的 面积相等. 证明取BC中点D, AC中点E,则口刀十OC一 ZOD,从而O八一一ZOD,故 aA,OL)共线,它们都过O 点,从而O、A、D三点共线, 故O在BC边中线AD上. 同理O在AC边中线 △ABC的重心. 由OA~一ZOD,得 图1 BE上,故O为 S△乃/一25△联一普S△ACD 1。 一了。△ABC 同理 故 …     

利用概念巧解竞赛题

在近几年的数学竞赛中,有些试题并不深奥,却令不少学生为之困惑,望题兴叹.究其原因,有的学生对概念、定义一知半解,盲目追求题海战术,试图从中获得解题的能力与技巧,而忽视了概念、定义等基本知识的认真学习与深刻领悟.本文将通过几个典型的实例分析,介绍如何利用概念、定义巧解竞赛题,以此引起学生对学习数学基本知识的重视和兴趣.     

构造一元二次方程巧解竞赛题

对于实数a,b,若满足:a+b=p且ab=q,则a,b是关于x的一元二次方程:x2-px+q =0的两个实数根,于是△≥0,即:(-p)2 -4q≥0,则p2≥4q.利用上述构造一元二次方程的方法,通过建立不等式,我们可简洁、有效地解答数学竞赛题,本文举例介绍其应用.     

利用基本形巧解竞赛题

平面几何的图形形形色色,千变万化,但如若我们仔细研究,很多的复杂图形都是由某些基本图形变化而来的.例1 如图1,在△ABC中,D为AB边上任意一点,过点A、B分别作CD的平行线交BC,AC的延长线于点E、F.求证:1/AE+1/BF=1/CD.证明 ∵ AE∥CD,∴ CD/AE=DB/AB     

构造不等式 巧解竞赛题

不等式既是初中数学的有机组成部分,也是解决数学问题的秘密武器.本文以竞赛题为例,介绍几种构造不等式的方法,意在增强同学们应用不等式的意识,开拓思维空间,提高解题能力,迎接新知识、新科技的挑战.     

妙用旋转巧解竞赛题

<正>旋转是几何中的一种图形变换,充分利用旋转的性质,将分散的已知条件和未知条件巧妙加以整合,可以在已知与未知之间架起一座桥梁,可使复杂问题简单化,使解题过程简洁.下面举例说明.例1(第十九届全国中小学生数学公开赛八年级人教版第24题)如图1,△ABC是边长为1的等边三角形,△BCD是顶角为120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的∠MDN,点M、N分别在AB、AC上,求△AMN的周长.     

用待定系数法巧解两道国外竞赛题

题1（第44届加拿大数学奥林匹克）已知x,y,z是正实数,证明：x2＋xy2＋xyz2≥4xyz-4.原解注意到（x-2）2≥0→x2≥4x-4,x（y-2）2≥0→4x＋xy2≥4xy,xy（z-2）2≥0→4xy＋xyz2≥4xyz,以上三式相加即得证.上述解法虽巧妙无比,美轮美奂,让人夸口称赞,但解题技巧性强,不具有普遍性,不太符合学生的思维规律,学生一般很难想到.对此,     

巧解一元二次方程的整数解竞赛题

一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一,题型多变、难度大是这类问题的特点．但其解法仍然是有章可循的,本文就这类问题的解法用实例加以说明．     

变换主元巧解竞赛题

<正>学习数学离不开解题,而许多题目都会含有参量、变量等多个量,对于这些量,我们应辩证地看待,若正面考虑比较困难或过程繁琐时,不妨变换主元,反客为主,这样往往能收到较好的效果,从而柳暗花明,下面举例说明.     

活用换元法 巧解竞赛题

令标老师在文中介绍的各种换元法确乎巧妙.但读者更希望知道这些巧妙的换元法是如何想到的,其中有哪些规律性的东西,以便今后自己也能灵活应用它.令标老师文章的美中不足之处正是缺少这样的分析.这些只能由读者自己来动脑筋分析完成了,读者经过自己分析,也许能收获更多.