Equations différentielles linéaires,pour des fonctions d’ensemble

Résumée On étudie l’équation(1), où ϕ est une fonction additive d’ensemble, définie sur une σ-algèbre &, E_P un élément de &, associé au point P, et f une fonction continue de n+1 variables, lipschitzienne par rapport à la dernière. En particulier, on donne une expression simple à l’integrale de l’équation linéaire (5) et du système(22).     

Sur les équations d’Halphen et les actions de SL<Subscript>2</Subscript>(C)

Résumé On étudie les aspects locaux et globaux des actions holomorphes de SL₂(C) sur les variétés complexes de dimension trois, à partir de l’étude des algèbres de Lie de champs de vecteurs qui engendrent une action uniforme. On décrit géométriquement et dynamiquement une famille de telles algèbres étudiée par Halphen vers la fin du XIXème siècle. On donne des formes normales pour les actions de SL₂(C) au voisinage des orbites unidimensionnelles. On étudie ensuite les compactifications équivariantes des espaces homogènes de SL₂(C). On prouve que si Γ⊂SL₂(C) est un sous-groupe discret non-élémentaire alors Γ\SL₂(C) admet une compactification équivariante (comme variété complexe) si et seulement si Γ est géométriquement fini et n’a pas d’éléments paraboliques. On démontre que toutes les compactifications équivariantes sont biméromorphiquement équivalentes. De plus, si Γ n’a pas de torsion, Γ\SL₂(C) admet une compactification minimale, obtenue comme quotient d’un ouvert de l’unique compactification biéquivariante de SL₂(C).     

Une procédure de Calderón-Zygmund pour le problème de la racine <Emphasis Type="Italic">k</Emphasis>-ième

Soit f une fonction définie sur un ouvert de ℝ ^d , à valeurs positives ou nulles, de classe C ^k , où k est un entier ≥2. Un résultat de Colombini–Jannelli–Spagnolo assure que ∇(f ^{1/ k} ) appartient à L ¹ _loc. Nous démontrons ici que ∇(f ^{1/ k} )∈L _w ^{k / k −2}, ce qui fournit une amélioration optimale du résultat ci-dessus et une généralisation d’un théorème classique de Glaeser sur la racine carrée. La méthode de preuve requiert l’usage d’une décomposition de Calderón–Zygmund de la fonction f qui nous permet de nous ramener à des formes normales de manipulation simple. Nous montrons également que la régularité C ^k est essentiellement nécessaire au résultat. Nous donnons quelques applications à des problèmes d’équations aux dérivées partielles faiblement hyperboliques. L’adaptabilité des méthodes de décomposition de Calderón-Zygmund, utilisées en analyse harmonique et pseudo-différentielle, trouve dans ces résultats une nouvelle illustration.

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Received: December 13, 2001?Published online: April 14, 2003     

Cycles de congruences stratifiables dans un espace projectif de dimension impaire

Résumé Dans un espace projectif S_2n−i(n≥3) à 2n−1 dimensions, on étudie un système composé de n congruences non-paraboliques de droites L₁, L₂, ..., L_n qui jouissent de la propriété que chaque couple de congruences L_i,L _i+1(i=1, 2, ..., n; L_n+i=L_i) est stratifiable dans le sens de L_i vers L_i+1. à M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique.     

Sur les immeubles triangulaires et leurs automorphismes

Résumé  Les travaux de J. Tits ont conduit à la classification complète des immeubles euclidiens de dimension supérieure ou égale à 3. L’ensemble de ces immeubles à isomorphisme près est dénombrable et paramétré par les corps locaux qui leur correspondent. Dans cet article nous nous intéressons aux immeubles triangulaires, qui sont euclidiens de dimension 2 et pour lesquelles une paramétrisation analogue est impossible. Nous construisons une lamination Λ sur un espace topologique localement compact séparé, dont l’espace des feuilles est l’ensemble des immeubles triangulaires à isomorphisme près. On considère ainsi les immeubles triangulaires comme points d’un espace dont Λ est une désingularisation naturelle. Nous établissons des résultats de chirurgie sur les immeubles triangulaires à données locales fixées. Ils entra?nent par exemple que Λ est topologiquement transitive. Nous montrons qu’un immeuble triangulaire générique au sens de Baire a un groupe d’automorphismes trivial et qu’il contient toutes les géométries locales possibles. L’espace des immeubles triangulaires à isomorphisme près est un nouvel exemple d’espace non commutatif. Le second auteur a été en partie financé par JSPS.     

Sur le problème de Plateau pour un quadrilatère variable qui peut acquérir un point double

Résumé Soit Γ un quadrilatère variable, dont deux c?tés opposés A₂A₃, A₁A₄ sont dans les plans x₃=c, x₃=−c. Quand c tend vers0, Γ tend vers un quadrilatèreΓ ⁰ présentant un point double, A⁰. Le travail étudie la représentation conforme sur le demi-plan R(ix)<0 (ou sur le cercle - unité) de la surface minimale ∑ passant par Γ. Il montre (§ I) que si les affixes x de A₁, A₂, A₄ sont 0, 1, ∞, l'affixe de A₃ sera ɛ⁻², où ɛ tend vers 0 avec c. Il étudie (§ II) l'allure pour ɛ tendant vers 0 des intégrales canoniques de l'équation linéaire du problème. La forme de la relation entre ɛ et c est indiquée au n^o 19; on montre que dans la région de striction ɛ |x| reste borné et que la surface ∑ y est assimilable à une surface minimale simple: la surface de vis à filet carré. La représentation conforme de l'une des deux régions de ∑ qui tendent à se séparer l'une de l'autre tend à envahir tout le demi-plan (ou tout le cercle-unité). Les représentations conformes de ∑ pour c>0 et c<0 ne sont pas analytiquement distinctes (n⁰ 20). A titre d'exemple, on étudie (n⁰ 21) le cas où ∑ possède un axe de symétrie. A M. Enrico Bompiani pour son Jubilé scientifique     

Sur les ensembles linéairement connexes

Résumé Sur la droite projective, la notion de connexité est intuitive. Dans un espace projectif E_n, un ensemble est dit:linéairement connexe, si toutes ses traces sur les droites de E_n sont connexes. Deux ensembles complémentaires sont simultanément linéairement connexes ou non. On définit l'index (d'expansion linéaire intérieure) d'un ensemble linéairement connexe, possèdant des points intérieurs, comme le nombre maximum de dimensions des multiplicités linéaires qu'on peut mener à l'intérieur de l'ensemble. C'est uń nombre positif ou nul. Soient dans E_n deux ensembles complémentaires linéairement connexes possèdant chacun des points intérieurs: A_n et B_n. Leurs index respectifs α_n et β_n, satisfont à la relation: α_n + β_n +1 ≤ n. L'essentiel des résultats du Mémoire est le suivant: Si α_n et β_n sont tout deux nuls ou positifs, la frontière commune F_n, à A_n et B_n, estalgébrique et du secoud degré; si un seul est nul, F_n estconvexe, dégénérée ou non, mais pas nécessairement algébrique. Dans tous les cas la connaissance de α_n et β_n permet de préciser la nature de F_n. En particulier, si α_n + β_n +1 = n, F_n est sans singularité, et réciproquement.     

Approximation d'operateurs d'extension minimale et de division

Résumé Nous nous proposons dans ce travail d'approximer à l'aide d'opérateurs explicites certains opérateurs d'extension minimale en normeL ² ainsi que les projecteurs orthogonaux deA ² (D) surJ (X) ⋂A ² D ou deH ² (D) surJ (X) ⋂H ² D lorsqueX est une sous variété analytique (d'idéal d'annulationJ (X)) d'un domaineD borné et strictement pseudoconvexe dans ℂ ⁿ . Les opérateurs intégraux construits par B. Berndtsson [B] pour résoudre des problèmes de division et d'extension holomorphes permettent d'obtenir des estimations optimales en un certain sens (cf. [BCZ] et le théorème 0.2 ci-après). Nous allons montrer que dans le cadre hilbertien des espacesH ² (D) etA ² (D) et sous une hypothèse de transversalité, des opérateurs de ce type convenablement rectifiés représentent en fait la partie singulière des opérateurs de projection orthogonale ou d'extension minimale que nous cherchons à approximer.     

On the isometries of ideal polyhedra

Résumé  On montre que siX est un polyèdre idéal complet fini satisfaisant la condition CAT(−1) locale, alors toute isométrie deX homotope à l’identité est l’identité, pourvu queπ ₁(X) ne soit pas élémentaire. On montre aussi que le groupe des isométies deX est fini.